【模板】并查集（洛谷P3367）

题目背景

本题数据范围已经更新到 1≤N≤2×105，1≤M≤106。

题目描述

如题，现在有一个并查集，你需要完成合并和查询操作。

输入格式

第一行包含两个整数 N,M ,表示共有 N 个元素和 M 个操作。

接下来 M 行，每行包含三个整数 Zi,Xi,Yi 。

当 Zi=1 时，将 Xi 与 Yi 所在的集合合并。

当 Zi=2 时，输出 Xi 与 Yi 是否在同一集合内，是的输出 Y ；否则输出 N 。

输出格式

对于每一个 Zi=2 的操作，都有一行输出，每行包含一个大写字母，为 Y 或者 N 。

输入输出样例

输入 #1复制运行

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输出 #1复制运行

复制代码

N
Y
N
Y

说明/提示

对于 15% 的数据，N≤10，M≤20。

对于 35% 的数据，N≤100，M≤103。

对于 50% 的数据，1≤N≤104，1≤M≤2×105。

对于 100% 的数据，1≤N≤2×105，1≤M≤106，1≤Xi,Yi≤N，Zi∈{1,2}。

【算法模板】并查集 (Union-Find)：路径压缩与集合合并

1. 核心概念

并查集是一种用于管理元素所属集合的数据结构，主要支持两种操作：

合并（Union）：将两个不同的集合合并为一个集合。
查询（Find）：查询某个元素属于哪个集合（即寻找该集合的"代表"或"老大"）。

通俗理解

数组 fa[i] ：记录第 i 个人的"上级"是谁。
初始化 ：刚开始每个人都是自己的老大 (fa[i] = i)。
查询 (find)：想知道你是哪个帮派的？就一级一级往上找，直到找到那个"上级是自己"的人，他就是帮主。
路径压缩：找帮主太累了？一旦找到帮主，直接把你的上级改成帮主。以后再问，一步就能找到。
合并 (uni)：两个帮派要合并？让 A 帮派的帮主，认 B 帮派的帮主做老大。

2. 完整代码

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,z,x,y;
int fa[200010];//记录每个节点的父节点 即所在集合的老大

//找老大的过程中进行路径压缩
//即找到x的祖宗节点，并在过程中将x到祖宗路径上所有点的父节点直接设为祖宗
int find(int x){
    if(fa[x]==x) return x;//如果自己就是自己老大，返回自己
    //这一行完成了在查询过程中进行路径压缩 将最终的老大赋给到路径上每一个元素
    else return fa[x]=find(fa[x]);
}

void uni(int x,int y){
    int fax=find(x);
    int fay=find(y);
    //如果x和y老大不同 就要合并 让x的老大变成y的老大的老大
    if(fax!=fay) fa[fay]=fax;
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    //初始化所有元素的老大是自己
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    while(m--){
        cin>>z>>x>>y;
        if(z==1){//合并
            uni(x,y);
        }
        else if(z==2){//查询
            //\n代替endl输出更快
            if(find(x)==find(y)) cout<<"Y"<<"\n";
            else cout<<"N"<<"\n";
        }
    }
}

3. 关键细节解析

A. 路径压缩

cpp 复制代码

return fa[x]=find(fa[x]);

这行代码是并查集效率极高的关键。如果不加这一步，树可能会退化成一条长链，查询复杂度变成 O(N)。加上路径压缩后，每次查询都会"压扁"树的高度，平均时间复杂度接近 O(1) （准确说是反阿克曼函数 O((N))）。

B. 初始化的时机

很多新手（包括以前的我）容易犯的错误：

复制代码

// ❌ 错误写法
for(int i=1; i<=n; i++) fa[i]=i; // 此时 n 还是 0！
cin >> n >> m;

// ✅ 正确写法
cin >> n >> m; // 先读入 n
for(int i=1; i<=n; i++) fa[i]=i; // 再根据 n 初始化

如果顺序反了，fa 数组全是 0，后续的 find 操作会陷入死循环或访问越界。

C. 输出优化

在算法竞赛中，当输出行数非常多（例如10^5行）时：

cout<<endl：会强制刷新缓冲区，速度慢。
cout << "\n"：仅换行，速度快。

建议习惯性使用 \n。

4. 应用场景

并查集不仅用于判断连通性，还是很多高级算法的基石：

图论判环：加边时，如果两个点已经在一个集合里，说明形成了环。
Kruskal 算法：最小生成树的核心，利用并查集判断边是否连接了两个不同的连通块。
连通块数量统计 ：最后遍历一遍 fa 数组，统计 fa[i]==i的个数。