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ID：HL_5461
前言
本文为张宇老师《基础三十讲》高数第八讲的自用笔记。不做商用，侵删致歉！
例题的序号，以1.2.1为例，意思是一里第2的第1个例题，总之从标题一（一、二、三酱紫的）往里数就是。
这一章重点在不定积分和定积分的存在定理、定积分、变限积分的性质，难点是反常积分的敛散性判别。
一、不定积分与定积分
虽然这俩名字相像，在计算上也有相似，但是个人感觉性质这里还是把它们看成完全不同的东西便于理解，放一起说是便于区分
1.原函数与不定积分
求不定积分其实就是算一个函数的全体原函数，比如，
只是一个记号，代表求
的全体原函数。或者把它写作
会更好理解一点。
也就说定积分内部的函数与其结果是导数与函数的关系。这和后面的变限积分有着明显区别，变限积分只在特殊（
连续）情况下与得到的函数
是函数与导数关系。这也导致了不定积分与变限积分
和
性质的不同（变限积分后面说）。
正如前面所说，
是
2.定积分
定积分求的是曲线与x轴所围面积的代数和
（1）定义
①定义式：
②特殊形式：
特殊形式可用于n趋于无穷的n项和计算，做不出来再考虑放缩
++例1.2.1++ ：求
思路：
先考虑定积分，做不出来再考虑放缩
（2）性质
①保号性：
特殊地，有：
②估值定理：
③中值定理：
3.存在定理
（1）不定积分存在定理
如果往导函数的性质上面去想这个就挺明显了，无穷间断点和第一类间断点都不符合导函数"介质性"，所以这两个一定没有原函数，即不定积分不存在
①连续函数必有原函数
②有震荡间断点的不一定有原函数
③有第一类间断点和无穷间断点的一定没有原函数
（2）定积分存在定理
定积分求的是面积，所以要定积分存在只需曲线可以"围起来"即可
所以定积分存在的必要条件是：
①定积分存在则函数在有界区间上必有界
充分条件是比必要条件更"广泛"的条件，必要条件可以看作充分条件的子集，所以直接引申：
②在
上连续，则定积分存在
③在
上单调，则定积分存在
④在
上有界，且只有有限个间断点，则定积分存在
二、变限积分
是表示一个面积的函数，很神奇的，再大多数情况下它是
的原函数，但不代表
，因为前者永远是
的原函数，但后者只在一些情况下成立。
1.性质
①变限积分本质是一个函数，该函数存在即连续
②可积，则
连续
③连续，则
可导，且导数为
④为跳跃间断点，则
在
不可导
⑤为可去间断点，则
在
可导，但导数不为
，而是
三、反常积分
1.概念
前面说定积分的必要条件是区间有界和函数有界，那么如果不有界就成了反常积分
（1）反常积分的敛散性
在
的邻域内无界，则
为瑕点，瑕点和
统称为奇点
若是唯一奇点，则
，两个积分都收敛则反常积分收敛。反常积分不能用"偶倍奇零"计算
（2）敛散性判别
这部分虽是难点但其实和之前算极值是一样的，因为除了少数放缩（下面的方法①）的，其余都是无穷大（小）比阶的问题，而且瑕点也就那几个，0或者，其它点那都极少极少。极限计算掌握熟练的其实比阶上面差不多一眼就能看出来了
①比较反常积分里面的函数，大的收敛小的必收敛，小的发散大的必发散
注意这里要求函数都大于0，但是由于函数的绝对值收敛函数也收敛，所以得出的结果是一样的，但是大题最好多写一步，比如例3.1的D选项
②奇点为，比较函数无穷小的阶次，同阶一致，低阶无穷小收敛高阶无穷小必收敛，高阶无穷小发散低阶无穷小必发散
③奇点为瑕点，比较函数无穷大的阶次，同阶一致，低阶无穷小发散高阶无穷小必发散，高阶无穷小收敛散低阶无穷小必收敛
④
2.例题
++例3.1++：以下反常积分发散的是？
（A）
（B）
（C）
（D）
思路：
（A）不太好比阶，所以考虑放缩，
（B）有两个瑕点，注意先拆分，
（C）
（D）有两个瑕点，注意先拆分，
结论
一天一篇，这两天高产似那啥（不是）
这一篇的敛散性判别确实有难度，可以去复习一下无穷大（无穷小）比阶再回来看，会有不一样的收获~