关于 RSA：RSA 加密算法过程

RSA 是一种非对称加密算法，用"公钥"加密，用"私钥"解密，保证数据传输安全。

比喻理解：锁和钥匙

想象一下：

公钥是"上锁的锁"，别人可以用它锁住箱子（加密），但打不开。
私钥是"钥匙"，只有你自己有，可以打开锁（解密）。

所以：

我给你一个"锁"（公钥），你用它锁住一个箱子（加密数据）送回来。
只有我有钥匙（私钥），我能打开箱子（解密数据）。

注意事项

明文必须小于 n，也就是 m<n 否则需分块加密
实际使用中，RSA 通常只加密 对称密钥（比如 AES），而不是大量数据
使用填充算法（如 OAEP）防止加密攻击

第一步：选两个质数

我们先选两个质数（不能被整除的整数）：

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p = 3
q = 11

第二步：计算 n 和 φ(n)

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n = p × q = 3 × 11 = 33
φ(n) = (p - 1) × (q - 1) = 2 × 10 = 20

其中 φ(n) 是一种叫"欧拉函数"的东西，是 RSA 算法的核心之一。

第三步：选一个公钥 e

我们要选一个跟 φ(n) = 20 互质的整数 e，通常选一个小的质数。

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e = 7 （因为 7 跟 20 没有公因数，合法）

第四步：求私钥 d（让它能反过来解密）

找一个整数 d，让它满足：

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(e × d) % φ(n) = 1
(7 × d) % 20 = 1

试试：

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7 × 3 = 21，21 % 20 = 1

所以：

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d = 3

总结密钥对：

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公钥 (e, n) = (7, 33)
私钥 (d, n) = (3, 33)

加密过程

假设明文**m = 4** ，我们用公钥 (7, 33) 加密：

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c = m^e % n = 4^7 % 33
   = 16384 % 33
   = 16

得到密文：c = 16

解密过程

我们收到密文 16，用私钥 (3, 33) 解密：

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m = c^d % n = 16^3 % 33 = 4096 % 33 = 4

恢复出原文：m = 4

欧拉定理

欧拉定理（非常关键）

如果：

n 是两个大质数**p * q**
m 与**n** 互质（也就是说 m 不能被 n 的质因子整除）

那么一定成立：m^φ(n) mod n = 1 （其中 φ(n) 是欧拉函数）

φ(n)：如果 n 是两个质数 p 和 q 的乘积：n = **p * q，**那么欧拉函数就是：φ(n)=(p−1)(q−1) ，这表示从 1 到 n−1 里面，有多少个数跟 n 互质。

假设：

p=7 ，q=11
那么 n=p ⋅ q=7 * 11 = 77
则：

φ(77) = (7 − 1)(11 − 1) = 6 * 10 = 60

所以如果 m 与 77 互质，那：m ^ 60 mod 77 = 1

深入理解

我们选 d 的时候，是专门选出来能"抵消" e 的效果的。

所以：

加密是：先做 e 次方
解密是：再做 d 次方
e 和 d 是互相"取消"的

就像是这样理解（m是需要用rsa加密的数据）

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m^e 再 ^d   就等于 m^(e*d)     

而我们生成 d 的时候，保证 e*d 刚好变成 "1 + φ(n) 的倍数"

这个时候 m^(e*d) 就刚好又变回 m 本人。

解释：

如果：e * d = 1 mod φ(n) ⇒ e * d = 1 + k * φ(n)

所以：m ^ (e * d) = m ^ (1+k * φ(n)) = m * m ^ (k * φ(n))

然后根据欧拉定理：m ^ φ(n) mod n = 1 ⇒ m ^ (k * φ(n)) mod n = 1

所以：m^(e * d) mod n = m mod n = m 数据被解密（rsa要求被加密的数据满足 m < n）

总结

步骤	操作
选质数	`p = 3`, `q = 11`
计算 n	`n = 33`
计算 φ(n)	`φ(n) = 20`
选公钥 e	`e = 7`
求私钥 d	`d = 3`
加密	`m = 4` → `c = 16`（用公钥）
解密	`c = 16` → `m = 4`（用私钥）