第九章-数字三角形

你撅嘴真丑2026-02-08 23:53

数字三角形问题

给定一个数字三角形（通常是一个二维数组或类似结构），例如：

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你从顶部出发，每次可以向下走左下或右下的相邻数字，到达底部，求出从顶部到底部的路径上数字之和的最大值。

解：

设三角形有 nn 行，用 a $i$ $j$ a $i$ $j$ 表示第 ii 行、第 jj 列的数字（从 0 开始计数，且第 ii 行有 i+1i+1 个数）。

定义：dp $i$ $j$ =从位置 (i,j) 出发到达最底层的最大路径和

状态转移方程（自底向上）： dp $i$ $j$ =a $i$ $j$ +max⁡(dp $i+1$ $j$ , dp $i+1$ $j+1$ )

边界条件： dp $n-1$ $j$ =a $n-1$ $j$

最后答案 = dp $0$ $0$

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int maxSum(vector<vector<int>>& b) {
    int n = b.size();
    if (n == 0) return 0;
    
    // 只需要一维数组存储当前行的dp值
    vector<int> dp(b[n-1].begin(), b[n-1].end());
    
    // 自底向上更新
    for (int i = n-2; i >= 0; i--) {
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            dp[j] = b[i][j] + max(dp[j], dp[j+1]);
        }
    }
    
    return dp[0];
}

int main(){
    vector<vector<int>> a = {
        {7},
        {3, 8},
        {8, 1, 0},
        {2, 7, 4, 4},
        {4, 5, 2, 6, 5}
    };
    // 最大路径和
    int max = maxSum(a);
    cout << "最大路径和: " << max << endl;
}

三角形： DP表：

7 30

3 8 23 21

8 1 0 20 13 10

2 7 4 4 7 12 10 10

4 5 2 6 5 4 5 2 6 5

最大路径和: 30

路径: 7 -> 3 -> 8 -> 7 -> 5