Python实现斐波那契数列之青铜,白银,黄金及铂金版本

斐波那契数列(Fibonacci sequence) ,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21 ......。


一、青铜(纯递归)

python 复制代码
def fib(num: int):
    if num == 0: return 0
    elif num == 1: return 1
    else: return fib(num - 1) + fib(num - 2)

print(fib(10)) # 55
  • 每次调用都会触发两个子调用,导致调用树是一个二叉树:

    scss 复制代码
    fib(5)
    ├── fib(4)
    │   ├── fib(3)
    │   │   ├── ...
    └── fib(3)
  • 时间复杂度 O(2ⁿ)

    • 每层都递归两次,重复计算非常严重。
  • 空间复杂度 O(n)

    • 函数调用栈最大深度为 n

二、白银(记忆化递归)

python 复制代码
def fib(num: int, memo = { 0: 0, 1: 1 }):
    if num in memo: return memo[num]
    memo[num] = fib(num - 1, memo) + fib(num - 2, memo)
    return memo[num]

print(fib(50)) # 12586269025
  • 使用了"备忘录"缓存中间结果,避免重复计算。

  • 时间复杂度 O(n)

    • 每个数字最多只计算一次。
  • 空间复杂度 O(n)

    • 存储 memo 字典,同时递归调用栈也是 O(n)。

三、黄金(循环迭代)

python 复制代码
def fib(num: int):
    if num == 0: return 0
    a, b = 0, 1
    for _ in range(2, num + 1):
        a, b = b, a + b
    return b

print(fib(50)) # 12586269025
  • 使用变量滑窗 a, b 来不断推导下一个数。

  • 时间复杂度 O(n)

    • 只需循环一次。
  • 空间复杂度 O(1)

    • 只用两个变量 ab

四、铂金(矩阵快速幂法)

python 复制代码
def matrix_mult(a, b):
    return [
        [a[0][0]*b[0][0] + a[0][1]*b[1][0],
         a[0][0]*b[0][1] + a[0][1]*b[1][1]],
        [a[1][0]*b[0][0] + a[1][1]*b[1][0],
         a[1][0]*b[0][1] + a[1][1]*b[1][1]]
    ]

def matrix_pow(mat, power):
    result = [[1, 0], [0, 1]]  # 单位矩阵
    while power > 0:
        if power % 2 == 1:
            result = matrix_mult(result, mat)
        mat = matrix_mult(mat, mat)
        power //= 2
    return result

def fib(n: int):
    if n == 0: return 0
    base = [[1, 1], [1, 0]]
    result = matrix_pow(base, n - 1)
    return result[0][0]

print(fib(50)) # 12586269025

五、总结建议

等级 方法 时间复杂度 空间复杂度 优缺点简述
青铜 递归 ❌ O(2ⁿ) O(n) 极慢,仅用于教学展示,重复子问题多
白银 记忆化递归 ✅ O(n) O(n) 快速,但使用了递归 + 额外内存开销
黄金 迭代(循环) ✅ O(n) ✅ O(1) 最快、最省内存、适合生产环境
铂金 矩阵快速幂 ✅ O(log n) ✅ O(1) 超快、最省内存、适合算法竞赛、海量计算

好了,今天就分享到这,Bye~~

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