Python实现斐波那契数列之青铜，白银，黄金及铂金版本

斐波那契数列（Fibonacci sequence） ，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21 ......。

一、青铜（纯递归）

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def fib(num: int):
    if num == 0: return 0
    elif num == 1: return 1
    else: return fib(num - 1) + fib(num - 2)

print(fib(10)) # 55

每次调用都会触发两个子调用，导致调用树是一个二叉树：
scss 复制代码
```
fib(5)
├── fib(4)
│   ├── fib(3)
│   │   ├── ...
└── fib(3)
```
时间复杂度 O(2ⁿ) ：
- 每层都递归两次，重复计算非常严重。
空间复杂度 O(n) ：
- 函数调用栈最大深度为 n。

二、白银（记忆化递归）

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def fib(num: int, memo = { 0: 0, 1: 1 }):
    if num in memo: return memo[num]
    memo[num] = fib(num - 1, memo) + fib(num - 2, memo)
    return memo[num]

print(fib(50)) # 12586269025

使用了"备忘录"缓存中间结果，避免重复计算。
时间复杂度 O(n) ：
- 每个数字最多只计算一次。
空间复杂度 O(n) ：
- 存储 memo 字典，同时递归调用栈也是 O(n)。

三、黄金（循环迭代）

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def fib(num: int):
    if num == 0: return 0
    a, b = 0, 1
    for _ in range(2, num + 1):
        a, b = b, a + b
    return b

print(fib(50)) # 12586269025

使用变量滑窗 a, b 来不断推导下一个数。
时间复杂度 O(n) ：
- 只需循环一次。
空间复杂度 O(1) ：
- 只用两个变量 a 和 b。

四、铂金（矩阵快速幂法）

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def matrix_mult(a, b):
    return [
        [a[0][0]*b[0][0] + a[0][1]*b[1][0],
         a[0][0]*b[0][1] + a[0][1]*b[1][1]],
        [a[1][0]*b[0][0] + a[1][1]*b[1][0],
         a[1][0]*b[0][1] + a[1][1]*b[1][1]]
    ]

def matrix_pow(mat, power):
    result = [[1, 0], [0, 1]]  # 单位矩阵
    while power > 0:
        if power % 2 == 1:
            result = matrix_mult(result, mat)
        mat = matrix_mult(mat, mat)
        power //= 2
    return result

def fib(n: int):
    if n == 0: return 0
    base = [[1, 1], [1, 0]]
    result = matrix_pow(base, n - 1)
    return result[0][0]

print(fib(50)) # 12586269025

五、总结建议

等级	方法	时间复杂度	空间复杂度	优缺点简述
青铜	递归	❌ O(2ⁿ)	O(n)	极慢，仅用于教学展示，重复子问题多
白银	记忆化递归	✅ O(n)	O(n)	快速，但使用了递归 + 额外内存开销
黄金	迭代（循环）	✅ O(n)	✅ O(1)	最快、最省内存、适合生产环境
铂金	矩阵快速幂	✅ O(log n)	✅ O(1)	超快、最省内存、适合算法竞赛、海量计算

好了，今天就分享到这，Bye~~