遗传算法是一种受生物进化理论启发的随机优化算法,其核心思想是模拟自然界中 "物竞天择、适者生存" 的进化过程,通过对候选解的迭代优化,找到问题的最优解。
一、核心思想
遗传算法将优化问题的候选解视为生物群体中的"个体",每个个体的"基因"对应解的参数。通过模拟生物进化中的选择、交叉、变异等过程,让群体中 "适应性强"(即更接近最优解)的个体保留并繁衍,"适应性弱" 的个体被淘汰,最终使群体逐渐逼近最优解。
二、算法步骤
1. 编码:将问题解转化为"基因"形式
首先需要将实际问题的候选解编码为计算机可处理的字符串(如二进制串、实数编码等),这个字符串称为 "染色体",其中的每个元素(如二进制位)称为 "基因"。
例如:若优化问题是求"x 在 [0,31] 范围内使函数 f (x)=x² 最大的解",可将 x 用 5 位二进制编码(如 x=5 对应染色体"00101")。
2. 初始化群体
随机生成一定数量的染色体,组成初始 "群体"(个体数量称为 "种群规模")。
例如:随机生成 4 个 5 位二进制串,组成初始群体:00101、11011、01001、10010。
3. 适应度评估:衡量个体的 "优劣"
定义"适应度函数",计算每个个体的适应度值,值越高表示该个体(解)越优。
例如:对上述问题,适应度函数可直接用 f (x)=x²,将染色体转为十进制后计算:
00101(x=5)→ 适应度 = 25;
11011(x=27)→ 适应度 = 729(最优)。
4. 遗传操作:模拟进化过程
通过选择、交叉、变异,生成下一代群体:
选择(Selection) :从当前群体中筛选出适应度高的个体,使其有更高概率繁衍后代(类似 "适者生存")。
常用方法:轮盘赌选择(适应度越高的个体,被选中的概率越大)。例如:适应度为 729 的个体被选中的概率远高于25的个体。
交叉(Crossover):将两个选中的个体(父代染色体)按一定概率(交叉概率)交换部分基因,生成新个体(子代染色体),增加群体多样性。
例如:对父代11011和10010,随机选择交叉点(如第 3 位后),交换后半部分:
父代 1:110 | 11 → 子代 1:11010;
父代 2:100 | 10 → 子代 2:10011。
变异(Mutation):对子代染色体的基因按一定概率(变异概率)随机改变(如二进制位 0 变 1 或 1 变 0),避免群体陷入局部最优。
例如:对子代11010的第 4 位进行变异(1→0),得到11000。
5. 终止条件
重复步骤 3 和 4,直到满足终止条件(如迭代次数达到上限、最优个体的适应度不再提升等),最终输出适应度最高的个体作为最优解。
三、算法特点
鲁棒性 :对问题的数学性质要求低,可处理非线性、多峰等复杂问题。
并行性 :群体中的多个个体可同时优化,适合并行计算。
随机性:通过随机操作探索解空间,但通过适应度评估引导优化方向,兼顾 "探索" 与 "利用"。
四、应用场景
遗传算法广泛用于函数优化、机器学习(如神经网络参数优化)、组合优化(如旅行商问题、背包问题)、工程设计(如电路布局)等领域。
五、Python实现示例
现寻找函数 f ( x ) = − x 2 + 10 f(x)=-x^2+10 f(x)=−x2+10在区间 [ − 10 , 10 ] [-10,10] [−10,10]内的最大值。理论上,当 x = 0 x=0 x=0时函数取得最大值 f ( 0 ) = 10 f(0)=10 f(0)=10。运行该程序后,可以观察算法如何逐步逼近这个最优解。
python
import matplotlib
matplotlib.use('TkAgg')
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 目标函数:寻找 -x^2 + 10 的最大值
def objective_function(x):
return -x ** 2 + 10
# 解码染色体为实际数值
def decode_chromosome(chromosome, min_val, max_val):
"""将二进制染色体解码为区间内的实数值"""
binary_str = ''.join(map(str, chromosome))
decimal = int(binary_str, 2)
max_decimal = 2 ** len(chromosome) - 1
return min_val + (max_val - min_val) * decimal / max_decimal
# 计算适应度(函数值越大适应度越高)
def calculate_fitness(population, min_val, max_val):
fitness = []
for chromosome in population:
x = decode_chromosome(chromosome, min_val, max_val)
fitness.append(objective_function(x))
return fitness
# 选择操作(锦标赛选择)
def tournament_selection(population, fitness, tournament_size=3):
selected = []
for _ in range(len(population)):
# 随机选择几个个体进行比较
tournament_indices = np.random.choice(len(population), tournament_size)
tournament_fitness = [fitness[i] for i in tournament_indices]
# 选择适应度最高的个体
winner_index = tournament_indices[np.argmax(tournament_fitness)]
selected.append(population[winner_index])
return selected
# 交叉操作(单点交叉)
def crossover(parents, crossover_rate=0.8):
children = []
for i in range(0, len(parents), 2):
parent1 = parents[i]
parent2 = parents[i + 1] if i + 1 < len(parents) else parents[0]
# 以一定概率进行交叉
if np.random.random() < crossover_rate:
crossover_point = np.random.randint(1, len(parent1))
child1 = parent1[:crossover_point] + parent2[crossover_point:]
child2 = parent2[:crossover_point] + parent1[crossover_point:]
else:
child1, child2 = parent1.copy(), parent2.copy()
children.extend([child1, child2])
# 确保种群大小不变
return children[:len(parents)]
# 变异操作
def mutate(population, mutation_rate=0.01):
for chromosome in population:
for i in range(len(chromosome)):
if np.random.random() < mutation_rate:
chromosome[i] = 1 - chromosome[i] # 翻转位
return population
# 主函数
def genetic_algorithm(pop_size=100, chromosome_length=10, generations=100,
min_val=-10, max_val=10):
# 初始化种群
population = [np.random.randint(0, 2, chromosome_length).tolist() for _ in range(pop_size)]
best_fitness_history = []
best_solution = None
best_x = None
for generation in range(generations):
# 计算适应度
fitness = calculate_fitness(population, min_val, max_val)
# 记录最佳解
best_idx = np.argmax(fitness)
best_fitness_history.append(fitness[best_idx])
if best_solution is None or fitness[best_idx] > calculate_fitness([best_solution], min_val, max_val)[0]:
best_solution = population[best_idx]
best_x = decode_chromosome(best_solution, min_val, max_val)
# 选择
parents = tournament_selection(population, fitness)
# 交叉
children = crossover(parents)
# 变异
population = mutate(children)
# 打印进度
if generation % 10 == 0:
print(f"Generation {generation}: Best fitness = {best_fitness_history[-1]:.4f}, Best x = {best_x:.4f}")
# 绘制适应度进化曲线
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(best_fitness_history)
plt.title('Best Fitness Over Generations')
plt.xlabel('Generation')
plt.ylabel('Fitness')
plt.grid(True)
plt.savefig('figure/fitness_evolution.png')
return best_solution, best_x, objective_function(best_x)
# 运行算法
best_chromosome, best_x, best_fitness = genetic_algorithm()
print("\n优化结果:")
print(f"最佳染色体: {best_chromosome}")
print(f"最优解 x = {best_x:.6f}")
print(f"最大值 f(x) = {best_fitness:.6f}")
示例通过模拟生物进化过程来寻找函数的最优解。流程包括:
初始化种群 :随机生成一组二进制编码的染色体
评估适应度 :计算每个染色体对应的函数值
选择操作 :使用锦标赛选择法选出较优个体
交叉操作 :对选中的个体进行基因重组
变异操作 :引入随机变异增加多样性
迭代进化:重复上述过程直到满足终止条件
通过模拟生物进化的"优胜劣汰"机制,遗传算法能在复杂解空间中高效搜索最优解,是启发式优化算法中的经典方法之一。
End.