深度学习中的常见损失函数详解及PyTorch实现

损失函数（Loss Function）是深度学习中至关重要的组成部分，它衡量模型预测结果与真实标签之间的差异，是模型优化的目标。本文将详细介绍线性回归损失函数（MAE、MSE）、CrossEntropyLoss和BCELoss的原理、特点及PyTorch实现。

1. 线性回归损失函数

线性回归问题通常使用MAE（平均绝对误差）和MSE（均方误差）作为损失函数。

1.1 MAE损失（L1 Loss）

MAE（Mean Absolute Error）计算预测值与真实值之间绝对差值的平均值。

公式：

特点：

• 对异常值不敏感

• 梯度恒定，不利于梯度下降优化

PyTorch实现：

import torch
import torch.nn as nn

# 创建MAE损失函数实例
mae_loss = nn.L1Loss()

# 示例数据
predictions = torch.tensor([1.5, 2.0, 3.2], dtype=torch.float32)
targets = torch.tensor([1.0, 2.5, 2.8], dtype=torch.float32)

# 计算损失
loss = mae_loss(predictions, targets)
print(f"MAE Loss: {loss.item():.4f}")  # 输出: MAE Loss: 0.4667

1.2 MSE损失（L2 Loss）

MSE（Mean Squared Error）计算预测值与真实值之间平方差值的平均值。

公式：

特点：

• 对异常值敏感

• 梯度随误差增大而增大，有利于梯度下降

PyTorch实现：

# 创建MSE损失函数实例
mse_loss = nn.MSELoss()

# 使用之前的示例数据
loss = mse_loss(predictions, targets)
print(f"MSE Loss: {loss.item():.4f}")  # 输出: MSE Loss: 0.2967

# 带reduction参数的MSE
mse_loss_sum = nn.MSELoss(reduction='sum')  # 求和而非平均
loss_sum = mse_loss_sum(predictions, targets)
print(f"MSE Sum Loss: {loss_sum.item():.4f}")  # 输出: MSE Sum Loss: 0.8900

参数说明：

• reduction：指定缩减方式，可选：

  • 'mean'（默认）：返回损失的平均值

  • 'sum'：返回损失的总和

  • 'none'：返回每个样本的损失

2. CrossEntropyLoss（交叉熵损失）

交叉熵损失是分类任务中最常用的损失函数，尤其适用于多分类问题。

2.1 信息理论基础

2.1.1 信息量

对于一个事件x，其发生的概率为 P(x)，信息量I(x)

信息量是衡量一个事件发生的"惊讶程度"，定义：

2.1.2 信息熵

信息熵是信息量的期望，衡量系统的不确定性：

2.1.3 KL散度

KL散度衡量两个概率分布的差异：

2.1.4 交叉熵

交叉熵是信息熵与KL散度的组合：

在分类任务中，P是真实分布（one-hot），Q是预测分布，因此最小化交叉熵等价于最小化KL散度。

2.2 PyTorch实现

# 创建交叉熵损失函数实例
ce_loss = nn.CrossEntropyLoss()

# 示例数据
# 3个样本，5分类问题（注意输入不需要softmax，内部会自动处理）
logits = torch.tensor([[1.2, 0.4, -0.5, 2.1, 0.3],
                       [0.8, 1.9, -1.2, 0.4, 1.1],
                       [-0.1, 2.4, 0.7, 1.5, -0.5]], dtype=torch.float32)

# 每个样本的真实类别索引（0-4）
targets = torch.tensor([3, 1, 4], dtype=torch.long)

# 计算损失
loss = ce_loss(logits, targets)
print(f"CrossEntropy Loss: {loss.item():.4f}")  # 输出示例: CrossEntropy Loss: 0.8765

参数说明：

• weight（Tensor, 可选）：给每个类别分配权重，用于处理类别不平衡问题

• ignore_index（int, 可选）：指定一个被忽略的类别索引，其不会贡献损失

• reduction（str, 可选）：与MSE相同，指定缩减方式

• label_smoothing（float, 可选）：标签平滑系数，0.0表示不使用

带权重的示例：

# 假设5个类别的权重分别为[0.1, 0.2, 0.3, 0.2, 0.2]
weights = torch.tensor([0.1, 0.2, 0.3, 0.2, 0.2], dtype=torch.float32)

ce_loss_weighted = nn.CrossEntropyLoss(weight=weights)
loss_weighted = ce_loss_weighted(logits, targets)
print(f"Weighted CrossEntropy Loss: {loss_weighted.item():.4f}")

3. BCELoss（二元交叉熵损失）

BCELoss（Binary Cross Entropy Loss）用于二分类问题，每个样本只能属于正类或负类。

公式：

参数说明

1. n：

   • 表示当前批次中的样本数量

   • 用于计算所有样本损失的平均值

   • 在PyTorch中可以通过reduction='mean'（默认）或reduction='sum'来改变这个行为

2. i：

   • 样本索引，从1到n

   • 表示对批次中每个样本的计算

3. yᵢ：

   • 第i个样本的真实标签（ground truth）

   • 取值为0或1（负类或正类）

   • 在PyTorch中通常是一个浮点型Tensor，形状为[batch_size]或[batch_size, 1]

4. ŷᵢ（y hat）：

   • 模型对第i个样本的预测概率

   • 取值范围应该在(0,1)之间，通常通过sigmoid函数得到

   • 形状与yᵢ相同

5. log：

   • 自然对数（以e为底）

   • 在PyTorch实现中会处理数值稳定性问题（如添加微小值防止log(0)）

PyTorch实现：

# 创建BCE损失函数实例
bce_loss = nn.BCELoss()

# 示例数据
# 4个样本的预测概率（经过sigmoid激活）
predictions = torch.tensor([0.8, 0.2, 0.6, 0.9], dtype=torch.float32)
# 真实标签（0或1）
targets = torch.tensor([1.0, 0.0, 1.0, 1.0], dtype=torch.float32)

# 计算损失
loss = bce_loss(predictions, targets)
print(f"BCE Loss: {loss.item():.4f}")  # 输出示例: BCE Loss: 0.2070

# 带权重的BCE
bce_loss_weighted = nn.BCELoss(weight=torch.tensor([1.0, 2.0, 1.0, 1.0]))
loss_weighted = bce_loss_weighted(predictions, targets)
print(f"Weighted BCE Loss: {loss_weighted.item():.4f}")

BCEWithLogitsLoss：

通常在实际使用中，我们更常用BCEWithLogitsLoss，它结合了Sigmoid激活和BCELoss，数值计算更稳定。

bce_logits_loss = nn.BCEWithLogitsLoss()

# 输入是未经过sigmoid的原始logits
logits = torch.tensor([1.5, -1.2, 0.4, 2.1], dtype=torch.float32)
targets = torch.tensor([1.0, 0.0, 1.0, 1.0], dtype=torch.float32)

loss = bce_logits_loss(logits, targets)
print(f"BCEWithLogits Loss: {loss.item():.4f}")

参数说明：

• weight：与CrossEntropyLoss类似，用于样本加权重

• pos_weight：正样本的权重，用于调整正负样本不平衡

• reduction：同上

4. 损失函数总结与选择指南

损失函数	适用场景	特点
MAE (L1 Loss)	回归问题	对异常值不敏感，梯度恒定
MSE (L2 Loss)	回归问题	对异常值敏感，梯度随误差增大
CrossEntropyLoss	多分类问题	结合Softmax，直接处理类别概率
BCELoss	二分类问题	需配合Sigmoid使用，处理0-1概率
BCEWithLogitsLoss	二分类问题	结合Sigmoid，数值稳定性更好

选择建议：

1. 回归问题：

   • 数据中有异常值：优先考虑MAE

   • 数据质量较好：使用MSE

2. 分类问题：

   • 二分类：使用BCEWithLogitsLoss

   • 多分类：使用CrossEntropyLoss

   • 类别不平衡：使用带权重的版本

3. 特殊需求：

   • 需要更关注困难样本：考虑使用Focal Loss等变体

   • 多标签分类：可能需要组合多个BCELoss

5. 完整示例：MNIST分类中的损失函数应用

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
from torchvision import datasets, transforms
from torch.utils.data import DataLoader

# 数据准备
transform = transforms.Compose([
    transforms.ToTensor(),
    transforms.Normalize((0.1307,), (0.3081,))
])

train_dataset = datasets.MNIST('./data', train=True, download=True, transform=transform)
train_loader = DataLoader(train_dataset, batch_size=64, shuffle=True)

# 简单模型
class Net(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(Net, self).__init__()
        self.fc1 = nn.Linear(28*28, 128)
        self.fc2 = nn.Linear(128, 10)
    
    def forward(self, x):
        x = x.view(-1, 28*28)
        x = torch.relu(self.fc1(x))
        x = self.fc2(x)
        return x

model = Net()
optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)

# 使用CrossEntropyLoss
criterion = nn.CrossEntropyLoss()

# 训练循环
for epoch in range(5):
    for batch_idx, (data, target) in enumerate(train_loader):
        optimizer.zero_grad()
        output = model(data)
        loss = criterion(output, target)
        loss.backward()
        optimizer.step()
        
        if batch_idx % 100 == 0:
            print(f'Epoch: {epoch} | Batch: {batch_idx} | Loss: {loss.item():.4f}')

通过本文的详细讲解，相信您已经对深度学习中常见的损失函数有了全面的了解。在实际应用中，根据具体问题和数据特点选择合适的损失函数，是构建高效模型的重要一步。