🧠 小哆啦解题记 —— 谁偷走了我的快乐？

📅 小哆啦刷题 Day 37

题号：202. 快乐数 - 力扣（LeetCode）

关键词：数位平方和、哈希判环、数学循环论证、无限循环解释

第一章：大雄的灵魂发问

"哆啦A梦，最近怎么也开心不起来......难道我......不是个快乐数？"

大雄满脸迷茫地趴在课桌上。

哆啦A梦吃着铜锣烧冷静回答："来，我带你刷一道题，看看你到底'快乐不快乐'。"

第二章：题目来了

给你一个正整数 n，重复如下操作：

将其每一位数字的平方求和，得出新数。

不断重复此过程。

如果最终可以变成 1，就是快乐数 ；

如果陷入无限循环 却始终得不到 1，那就很遗憾，它不是快乐数。

第三章：大雄的第一版代码（带点 Bug）

typescript 复制代码

function isHappy(n: number): boolean {
    let numMap: Map<number, number> = new Map();
    while (true) {
        let str = n.toString();
        n = str.split("").reduce((acc, cur) => acc + Math.pow(Number(cur), 2), 0);
        if (n == 1) return true;
        if (numMap.has(n)) return false;
        numMap.set(Number(str), n);
    }
}

"我每出现一个数就记录一下，如果又出现了，说明在无限转圈。"大雄自信地说。

哆啦A梦一边擦眼镜一边点头："嗯......基本思路对，但你这 Map 存得太复杂，Set 更合适。"

第四章：哆啦A梦的快乐优化器

于是他甩出优化后的版本：

ini 复制代码

function isHappy(n: number): boolean {
    const seen = new Set<number>();
    while (n !== 1) {
        if (seen.has(n)) return false;
        seen.add(n);
        n = getNext(n);
    }
    return true;
}

function getNext(num: number): number {
    let sum = 0;
    while (num > 0) {
        const digit = num % 10;
        sum += digit * digit;
        num = Math.floor(num / 10);
    }
    return sum;
}

"每次记录出现过的数，只要你再走进来一次，就说明------你在绕圈。"

第五章：大雄困惑了：为什么就一定会循环？

"等等等等......你说 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 是循环，那为啥一定会循环？为啥不能一直变大，或者跑到 1e10？"

哆啦A梦收起铜锣烧，郑重地回答：

🧠 第六章：无限循环的数学机制，正式揭晓

🧩 一、每一步"变换"都有上限！

你以为这些数字会无限增长？错！

👉 最大增长速率远小于原数值本身。

比如一个 4 位数 9999，变换后是：

ini 复制代码

9² + 9² + 9² + 9² = 81 × 4 = 324

✨ 所以，不管你是 999999999 还是 9999，最终都收敛到一个相对较小的数。

实验证明：任意正整数，变换后最终都会收敛到 ≤ 243。

所以你最多只会经历 243 个不同状态，一旦遇到重复，就铁定进入循环！

🌀 二、经典环：不快乐循环的"死亡八卦阵"

试试 n = 2，看它怎么绕回自己：

erlang 复制代码

2 → 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 ...

恭喜，它回到 4 了，这就是经典的"非快乐数死循环" 。

第七章：进阶姿势·快慢指针

如果你不想用额外空间，那就用链表判环那一套------快慢指针：

ini 复制代码

function isHappy(n: number): boolean {
    let slow = n, fast = getNext(n);
    while (fast !== 1 && slow !== fast) {
        slow = getNext(slow);
        fast = getNext(getNext(fast));
    }
    return fast === 1;
}

就像两只赛跑的仓鼠，一快一慢在圆环里转，如果能碰头，就说明陷入循环了。

第八章：终章·算法与人生的哲学

静香眨了眨眼："那你们说，人类的快乐，是不是也能像这样判定？"

哆啦A梦认真回答："如果你重复做一些事，却永远得不到满足，可能你已经掉进了非快乐循环。"

✅ 小哆啦的技术小结

解法	判环方式	时间复杂度	空间复杂度	特点
哈希表判环	Set 记录状态	O(logN)	O(logN)	简单直观，好调试
快慢指针	空间优化	O(logN)	O(1)	进阶思维，链表判环思想迁移

🎓 总结一句话

不是每一个数都有快乐结局，但每一个循环都有逃出生天的可能。