【密码学】2. 古典密码

目录

• [2. 古典密码](#2. 古典密码)
• • [2.1 经典加密技术基础](#2.1 经典加密技术基础)
  • [2.2 代换技术](#2.2 代换技术)
  • • [2.2.1 算术密码](#2.2.1 算术密码)
    • [2.2.2 代换密码（Substitution Cipher）](#2.2.2 代换密码（Substitution Cipher）)
  • [2.3 置换技术](#2.3 置换技术)
  • [2.4 乘积密码](#2.4 乘积密码)
  • [2.5 历史上的教训](#2.5 历史上的教训)

2. 古典密码

2.1 经典加密技术基础

1. 分类
   • 代换（Substitution）：明文内容的表示形式改变（元素被替换），但元素相对位置不变（如明文字母被密文字母替代）。
   • 置换（Transposition/Permutation）：明文元素的相对位置改变，但内容表示形式不变（仅重排顺序）。
   • 乘积密码（Product Ciphers）：多个加密技术的叠加使用。
2. 约定
   • 小写字母表示明文，大写字母表示密文。
   • 加密时通常舍弃标点、空格（因普通文本中空格占比 17%-18%，频率过高易泄露信息）。

2.2 代换技术

2.2.1 算术密码

1. 移位密码（凯撒密码，Caesar Cipher）
   • 原理：由 Julius Caesar 提出，每个字母用字母表中其后第 k 个字母替代。
     • 加密： C = E ( k , p ) = ( p + k ) m o d 26 C=E(k,p)=(p+k)mod26 C=E(k,p)=(p+k)mod26
     • 解密： p = D ( k , C ) = ( C − k ) m o d 26 p=D(k,C)=(C−k)mod26 p=D(k,C)=(C−k)mod26
     • 部分文献中凯撒密码固定使用 k=3。
   • 示例：明文 "meet me after the toga party"，k=3 时，密文为 "PHHW PH DIWHU WKH WRJD SDUWB"。
   • 安全性：
     • 密钥空间：26 个可能密钥，仅 25 个可用（k=0 时密文与明文一致，无效）。
     • 易被穷举攻击：最坏需尝试 25 次，平均 12.5 次。
2. 仿射密码（Affine Cipher）
   • 目的：扩大密钥空间，映射关系简单。
   • 原理：
     • 密钥：(a,b)
     • 加密： C = E ( [ a , b ] , p ) = ( a p + b ) m o d 26 C=E([a,b],p)=(ap+b)mod26 C=E([a,b],p)=(ap+b)mod26
     • 解密： p = D ( [ a , b ] , C ) = ( ( C − b ) × a − 1 ) m o d 26 （ a − 1 为 a 在模 26 下的逆元） p=D([a,b],C)=((C−b)×a^{−1})mod26（a^{−1}为a在模26下的逆元） p=D([a,b],C)=((C−b)×a−1)mod26（a−1为a在模26下的逆元）。
   • 密钥选取：
     • a ≠ 1 a ≠ 1 a=1（否则退化为凯撒密码），且需满足 g c d ( a , 26 ) = 1 gcd(a,26)=1 gcd(a,26)=1（保证一一映射，否则不同明文可能对应同一密文）。
     • 有效 a 值：3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25（共 11 个）。
   • 密钥空间：11×26=286。

2.2.2 代换密码（Substitution Cipher）

1. 单表代换密码（Monoalphabetic Cipher）
   • 原理：每个明文字母按固定密钥（26 个字母的置换）替换为唯一密文字母。
   • 示例：
     • 明文：a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z
     • 密钥：D K V Q F I B J W P E S C X H T M Y A U O L R G Z N
     • 明文 "ifwewishtoreplaceletters" 加密后为 "WIRFRWAJUHYFTSDVFSFUUFYA"（忽略空格）。
   • 密钥空间：26!≈4×1026（部分密钥含不动点，不可用）。
   • 辅助工具：惠斯通（Wheatstone）密码，一种钟表形式设备，1867 年巴黎世纪博览会首次出现，通过旋转指针和圆盘实现加密。
   • 安全性：
     • 短信息（长度小于密钥）可能被穷举攻击；长信息因字母频率不变（单表替换不改变字母出现频率），易被频率统计攻击。
2. 英语字母频率特征（密码破译关键）
   • 单字母频率：e 频率最高（12.702%），其次为 t（9.056%）、a（8.167%）等；z、q、x、j 频率接近 0。
   • 双字母组合：最常见为 th、he、in、er、an 等。
   • 三字母组合：最常见为 the、ing、and、her 等。
   • 经典密码破译三要素：频率特征（字母使用次数差异）、连接特征（前后字母关联性，如 q 后几乎必接 u）、重复特征（多字符字符串重复出现，如 th、tion）。
3. 多表代换加密（Polyalphabetic Cipher）
   • 原理：使用多个单表代换，明文不同位置的字母用不同单表加密，以抵抗频率统计攻击。
4. 维吉尼亚密码（Vigenère Cipher）
   • 原理：最简单的多表替换密码，由多个凯撒替换表循环构成。
     • 密钥： k = k 0 k 1 ... k d − 1 （长度为 d ） k=k_0k_1...k_{d−1}（长度为 d） k=k0k1...kd−1（长度为d），第 i 位密钥 k i k_i ki 对应凯撒替换表 k = k i k=k_i k=ki，密钥重复使用。
     • 加密： C i = E ( k , p i ) = ( p i + k i m o d d ) m o d 26 C_i=E(k,p_i)=(p_i+k_{i\ mod\ d})mod26 Ci=E(k,pi)=(pi+ki mod d)mod26
     • 解密： p i = D ( k , C i ) = ( C i − k i m o d d ) m o d 26 p_i=D(k,C_i)=(C_i−k_{i\ mod\ d})mod26 pi=D(k,Ci)=(Ci−ki mod d)mod26
   • 示例：密钥 "deceptive"（d=9），明文 "wearediscoveredsaveyourself"，密文为 "ZICVTWQNGRZGVTWAVZHCQYGLMGJ"。
   • 安全性：字母频率被模糊但未完全消失，可通过分组统计破解。
   • 破解方法：
     • 第一步确定密钥长度 d：使用 Kasiski 方法，通过寻找密文中重复字段，计算其间距的最大公约数，即为 d（重复字段间距为 d 的整数倍）。
     • 第二步分组攻击：将密文按位置 i、i+d、i+2d... 分组，每组对应同一单表，再用频率统计攻击破解各分组密钥。

2.3 置换技术

• 核心特点：通过重排字母顺序隐藏信息，不改变字母表示形式（与代换技术的本质区别：代换改字母，置换改位置）。

1. 栅栏技术（Rail Fence Cipher）
   • 原理：将明文按对角线方向写成若干行，再按行输出作为密文。
   • 示例：明文 "meet me after the toga party"，写成两行（m e m a t r h t g p r y 和 e t e f e t e o a a t），密文为 "MEMATRHTGPRYETEFETEOAAT"。
2. 纵行换位（Row Transposition Cipher）
   • 原理：将明文按密钥位数写为若干列，再按密钥顺序输出各列。
   • 示例：明文 "attack postponed until two am"，密钥 "4 3 1 2 5 6 7"（7 位），明文按列排列后，按密钥顺序输出列，密文为 "TTNAAPTMTSUOAODWCOIXKNLYPETZ"。

2.4 乘积密码

1. 原理：单纯代换或置换安全性不足，连续使用多种加密技术（如交替代换和置换）可大幅提高安全性，是现代密码构造的基本技术之一。
2. 转轮机（Rotor Machines）
   • 本质：机械时代最复杂的密码机，核心是复杂的多表代换系统，通过多个转轮实现，二战广泛应用（如德国 Enigma、盟军 Hagelin、日本 Purple）。
   • 原理：包含多个圆柱体（转轮），每个圆柱体代表一个代换表；每个字母加密后，转轮旋转，改变代换表。
   • 密钥空间：3 个转轮可提供263=17576个代换表。
3. Enigma（谜）密码机
   • 发展历程：1918 年由德国 Arthur Scherbius 提出专利，1923 年带反射板的 Enigma-A 问世，1926 年德国海军开始采购，后发展出多种型号。
   • 结构：包含键盘、指示灯板、密钥轮、反射板、接插板等，需 3 人操作（输入明文、读指示灯、记录密文）。
   • 破译关键：
     • 波兰贡献：1928 年获得商业型 Enigma，1931 年通过 "灰烬先生"（汉斯・蒂洛・施密特）获得操作手册等；马里安・雷耶夫斯基利用指标组（随机 3 字母连续加密两遍）构造字母循环圈，开发 "循环测定机" 和 "炸弹机"（Bomba），1939 年向英、法赠送仿制 Enigma 及技术。
     • 英国贡献：1938 年布莱奇利庄园成为国家破译中心，阿兰・图灵 1940 年设计 Bombe 机，针对指标组不再重复加密的情况，通过密文全文寻找明文 - 密文关联破解。
     • 美国贡献：1942 年 Joseph Desch 设计可破解四转轮 Enigma 的机器，1943 年起交付海军，最终 121 台 Bombe 机每日破译德国 Enigma 密钥。
   • 教训：军民混用、叛徒与间谍影响、使用规则错误（主密钥更新周期长、转轮进位点固定）、对安全性过于自负（未及时销毁设备、低估对手）等。

2.5 历史上的教训

1. Kerckhoff 原则：密码安全性不应依赖算法保密，而应依赖密钥；敌方可能知晓算法，需假设算法公开下仍安全。
2. 不可低估对手能力："不可能被攻破" 的密码常被破译（如 DES，1973 年预计需数十年破译，1999 年 22.25 小时即可破解）。
3. 密码安全性评估：
   • 仅靠密钥组合数评估安全性是片面的（上限为穷举攻击难度），需公开接受全球研究和攻击检验。
   • 表面复杂性可能降低安全性（如禁止字母加密为自身，反而减少攻击者工作量）。
4. 随机数重要性：随机数生成是密码关键，二战日军曾用编织篮抽纸条（写四位数字）产生随机数。