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十一、方程组解的结构和性质
1、齐次线性方程组
方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = 0 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = 0 , ⋯ ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = 0 \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0, \\ \quad \quad \quad \quad \cdots \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0,⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=0 （Ⅰ）
称为m个方程，n个未知量的齐次线性方程组
（1）有解的条件
①当r(A ) = n( α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α n α_1,α_2,···，α_n α1,α2,⋅⋅⋅，αn线性无关)时，方程组（Ⅰ）有唯一零解
②当r(A ) = r < n( α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α n α_1,α_2,···，α_n α1,α2,⋅⋅⋅，αn线性相关)时，方程组（Ⅰ）有非零解（无穷多解），且有n-r个线性无关解
（2）求解方法
①将系数矩阵A 作初等行变换化为行阶梯形矩阵B ，求出r(A)
②按列找出一个秩为r的子矩阵，剩余列位置的未知数设为自由变量 n - r(A)个自由变量
③ 按基础解系定义求出 ξ 1 , ξ 2 , ... , ξ n − r \boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}2, \dots, \boldsymbol{\xi}{n-r} ξ1,ξ2,...,ξn−r ，并写出通解。
2、非齐次线性方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 , ⋯ ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\ \quad \quad \quad \quad \cdots \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm （Ⅱ）
称为m个方程，n个未知量的非齐次线性方程组
（1）有解的条件
①若r(A )≠r([A ,b ])（b 不能由 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α n α_1,α_2,···，α_n α1,α2,⋅⋅⋅，αn线性表示），则方程组（Ⅱ）无解
②若r(A )＝r([A ,b ]) = n（即 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α n α_1,α_2,···，α_n α1,α2,⋅⋅⋅，αn线性无关， α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α n ， b α_1,α_2,···，α_n，b α1,α2,⋅⋅⋅，αn，b线性相关），则方程组（Ⅱ）有唯一解
③若r(A )＝r([A ,b]) < n，则方程组（Ⅱ）有无穷多解
（2）求解方法
① 写出 A x = b A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} Ax=b 的导出方程组 A x = 0 A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Ax=0 ，并求 A x = 0 A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Ax=0 的通解：
x = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k n − r ξ n − r \boldsymbol{x} = k_1\boldsymbol{\xi}1 + k_2\boldsymbol{\xi}2 + \dots + k{n-r}\boldsymbol{\xi}{n-r} x=k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r
② 求 A x = b A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} Ax=b 的一个特解 η \boldsymbol{\eta} η
③非齐次线性方程组 A x = b A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} Ax=b 的通解为：
x = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k n − r ξ n − r + η \boldsymbol{x} = k_1\boldsymbol{\xi}1 + k_2\boldsymbol{\xi}2 + \dots + k{n-r}\boldsymbol{\xi}{n-r} + \boldsymbol{\eta} x=k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r+η
其中 k 1 , k 2 , ... , k n − r k_1, k_2, \dots, k_{n-r} k1,k2,...,kn−r为任意常数
十二、Ax=0的基础解系
设 ξ 1 , ξ 2 , ... , ξ n − r \boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}2, \dots, \boldsymbol{\xi}{n-r} ξ1,ξ2,...,ξn−r 满足以下充要条件 ，则称 ξ 1 , ξ 2 , ... , ξ n − r \boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}2, \dots, \boldsymbol{\xi}{n-r} ξ1,ξ2,...,ξn−r 为齐次线性方程组 A x = 0 A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Ax=0 的基础解系：
-
是方程组的解：
ξ 1 , ξ 2 , ... , ξ n − r \boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}2, \dots, \boldsymbol{\xi}{n-r} ξ1,ξ2,...,ξn−r 均满足 A x = 0 A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Ax=0（即属于解空间）；
-
线性无关：
ξ 1 , ξ 2 , ... , ξ n − r \boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}2, \dots, \boldsymbol{\xi}{n-r} ξ1,ξ2,...,ξn−r 作为向量组线性无关（是解空间的一组"基"的候选）；
-
能表示所有解：
方程组 A x = 0 A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Ax=0的任一解 都可由 ξ 1 , ξ 2 , ... , ξ n − r \boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}2, \dots, \boldsymbol{\xi}{n-r} ξ1,ξ2,...,ξn−r 线性表示（即它们构成解空间的一组基）。
十三、两个方程组的公共解
已知线性方程组：
{ (I) { x 1 + x 2 = 0 , x 2 − x 4 = 0 (II) { x 1 − x 2 + x 3 = 0 , x 2 − x 3 + x 4 = 0 \begin{cases} \text{(I)} & \begin{cases} x_1 + x_2 = 0, \\ x_2 - x_4 = 0 \end{cases} \\[1em] \text{(II)} & \begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = 0, \\ x_2 - x_3 + x_4 = 0 \end{cases} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧(I)(II){x1+x2=0,x2−x4=0{x1−x2+x3=0,x2−x3+x4=0
(1) 求方程组 (I)、(II) 的基础解系
(2) 求方程组 (I)、(II) 的公共解
【解】
(1)
方程组 (I)的基础解析为
ξ 1 = ( 0 0 1 0 ) , ξ 2 = ( − 1 1 0 1 ) \boldsymbol{\xi}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\xi}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ξ1= 0010 ,ξ2= −1101
方程组(II)的基础解析为
η 1 = ( 0 1 1 0 ) , η 2 = ( − 1 − 1 0 1 ) \boldsymbol{\eta}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\eta}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} η1= 0110 ,η2= −1−101
（2）
方法一：联立方程
联立后的系数矩阵为：
A B \] = \[ 1 1 0 0 0 1 0 − 1 1 − 1 1 0 0 1 − 1 1 \] \\begin{bmatrix} \\boldsymbol{A} \\\\ \\boldsymbol{B} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1 \& 1 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& 0 \& -1 \\\\ 1 \& -1 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& -1 \& 1 \\end{bmatrix} \[AB\]= 101011−11001−10−101 对矩阵作初等行变换 \[ 1 0 0 1 0 1 0 − 1 0 0 1 − 2 0 0 0 0 \] \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 0 \& 1 \\\\ 0 \& 1 \& 0 \& -1 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& -2 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 1000010000101−1−20 因此方程组 (I)、(II)的公共解为 x = k \[ − 1 1 2 1 \] , k ∈ R \\boldsymbol{x} = k \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\quad k \\in \\mathbb{R} x=k −1121 ,k∈R **方法二**：通解代入 在方程组 (I) 的通解中，筛选出同时满足方程组 (II) 的解，即为 (I)、(II) 的公共解（也可在 (II) 的通解中筛选满足 (I) 的解 ） 已知方程组 (I) 的基础解系为 ξ 1 , ξ 2 \\boldsymbol{\\xi}_1, \\boldsymbol{\\xi}_2 ξ1,ξ2 ，因此其通解为： x = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 = k 1 \[ 0 0 1 0 \] + k 2 \[ − 1 1 0 1 \] = \[ − k 2 k 2 k 1 k 2 \] \\boldsymbol{x} = k_1\\boldsymbol{\\xi}_1 + k_2\\boldsymbol{\\xi}_2 = k_1 \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + k_2 \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -k_2 \\\\ k_2 \\\\ k_1 \\\\ k_2 \\end{bmatrix} x=k1ξ1+k2ξ2=k1 0010 +k2 −1101 = −k2k2k1k2 （其中 k 1 , k 2 ∈ R k_1, k_2 \\in \\mathbb{R} k1,k2∈R 为任意常数 ） 将通解 x = \[ − k 2 k 2 k 1 k 2 \] 代入方程组 ( I I ) \\boldsymbol{x} = \\begin{bmatrix} -k_2 \\\\ k_2 \\\\ k_1 \\\\ k_2 \\end{bmatrix} 代入方程组 (II) x= −k2k2k1k2 代入方程组(II)： { x 1 − x 2 + x 3 = 0 , x 2 − x 3 + x 4 = 0 \\begin{cases}x_1 - x_2 + x_3 = 0, \\\\ x_2 - x_3 + x_4 = 0 \\end{cases} {x1−x2+x3=0,x2−x3+x4=0 **代入第1个方程**： ( − k 2 ) − k 2 + k 1 = 0 ⟹ k 1 − 2 k 2 = 0 ⟹ k 1 = 2 k 2 (-k_2) - k_2 + k_1 = 0 \\implies k_1 - 2k_2 = 0 \\implies k_1 = 2k_2 (−k2)−k2+k1=0⟹k1−2k2=0⟹k1=2k2 **代入第2个方程**： k 2 − k 1 + k 2 = 0 ⟹ 2 k 2 − k 1 = 0 k_2 - k_1 + k_2 = 0 \\implies 2k_2 - k_1 = 0 k2−k1+k2=0⟹2k2−k1=0 结合 $k_1 = 2k_2 $，得方程组(I)、(II) 的公共解为 x = k 2 \[ − 1 1 2 1 \] , k 2 ∈ R \\boldsymbol{x} = k_2 \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\quad k_2 \\in \\mathbb{R} x=k2 −1121 ,k2∈R **方法三**：通解相等 ( I ) 的通解： k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 = k 1 \[ 0 0 1 0 \] + k 2 \[ − 1 1 0 1 \] = \[ − k 2 k 2 k 1 k 2 \] (I) 的通解：k_1\\boldsymbol{\\xi}_1 + k_2\\boldsymbol{\\xi}_2 = k_1 \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + k_2 \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -k_2 \\\\ k_2 \\\\ k_1 \\\\ k_2 \\end{bmatrix} (I)的通解：k1ξ1+k2ξ2=k1 0010 +k2 −1101 = −k2k2k1k2 ( I I ) 的通解： l 1 η 1 + l 2 η 2 = l 1 \[ 0 1 1 0 \] + l 2 \[ − 1 − 1 0 1 \] = \[ − l 2 l 1 − l 2 l 1 l 2 \] (II) 的通解：l_1\\boldsymbol{\\eta}_1 + l_2\\boldsymbol{\\eta}_2 = l_1 \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + l_2 \\begin{bmatrix} -1 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -l_2 \\\\ l_1 - l_2 \\\\ l_1 \\\\ l_2 \\end{bmatrix} (II)的通解：l1η1+l2η2=l1 0110 +l2 −1−101 = −l2l1−l2l1l2 由上式可得 k 2 = l 2 , k 2 = l 1 − l 2 , k 1 = l 1 k_2 = l_2, k_2 = l_1 - l_2, k_1 = l_1 k2=l2,k2=l1−l2,k1=l1 故 k 1 = 2 k 2 k_1 = 2k_2 k1=2k2 或 l 1 = 2 l 2 l_1 = 2l_2 l1=2l2 因此公共解为 x = k 2 \[ − 1 1 2 1 \] , k 2 ∈ R \\boldsymbol{x} = k_2 \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\quad k_2 \\in \\mathbb{R} x=k2 −1121 ,k2∈R 或 x = l 2 \[ − 1 1 2 1 \] , l 2 ∈ R \\boldsymbol{x} = l_2 \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\quad l_2 \\in \\mathbb{R} x=l2 −1121 ,l2∈R ##### 十四、同解方程 A x = 0 A\\boldsymbol{x} = \\boldsymbol{0} Ax=0 与 B x = 0 B\\boldsymbol{x} = \\boldsymbol{0} Bx=0 同解 \<=\> 基础解系为等价向量组 \<=\> A 、 B A、B A、B行向量组为等价向量组 \<=\> A x = 0 A\\boldsymbol{x} = \\boldsymbol{0} Ax=0的解均为 B x = 0 B\\boldsymbol{x} = \\boldsymbol{0} Bx=0的解且 r ( A ) = r ( B ) r(\\boldsymbol{A}) = r(\\boldsymbol{B}) r(A)=r(B) \<=\> r ( A ) = r ( B ) = r ( A B ) r(\\boldsymbol{A}) = r(\\boldsymbol{B}) = r\\begin{pmatrix} \\boldsymbol{A} \\\\ \\boldsymbol{B} \\end{pmatrix} r(A)=r(B)=r(AB) ##### 十五、求特征值、特征向量 方法一：\|λE-A\|=0，求λ，回代 ( λ i E − A ) x = 0 (λ_iE-A)x=0 (λiE−A)x=0求α 方法二：常用结论 1. 行列式与迹（对 n 阶矩阵 A ， λ 1 , λ 2 , ... , λ n \\boldsymbol{A} ， \\lambda_1, \\lambda_2, \\dots, \\lambda_n A，λ1,λ2,...,λn为特征值 ） * ∣ A ∣ = λ 1 λ 2 ⋯ λ n \|\\boldsymbol{A}\| = \\lambda_1 \\lambda_2 \\cdots \\lambda_n ∣A∣=λ1λ2⋯λn（行列式等于特征值之积 ） * tr ( A ) = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n \\text{tr}(\\boldsymbol{A}) = \\lambda_1 + \\lambda_2 + \\cdots + \\lambda_n tr(A)=λ1+λ2+⋯+λn（迹等于特征值之和 ） 2. 多项式矩阵的特征值（若 A α = λ α \\boldsymbol{A}\\boldsymbol{\\alpha} = \\lambda\\boldsymbol{\\alpha} Aα=λα，则 ） 对多项式 f ( x ) f(x) f(x)，有： f ( A ) α = f ( λ ) α f(\\boldsymbol{A})\\boldsymbol{\\alpha} = f(\\lambda)\\boldsymbol{\\alpha} f(A)α=f(λ)α 具体应用： * A k α = λ k α \\boldsymbol{A}\^k\\boldsymbol{\\alpha} = \\lambda\^k\\boldsymbol{\\alpha} Akα=λkα（ k k k 次幂 ） * ( A + k E ) α = ( λ + k ) α (\\boldsymbol{A} + k\\boldsymbol{E})\\boldsymbol{\\alpha} = (\\lambda + k)\\boldsymbol{\\alpha} (A+kE)α=(λ+k)α（加数量矩阵 ） * 若 A \\boldsymbol{A} A 可逆，则 A − 1 α = 1 λ α \\boldsymbol{A}\^{-1}\\boldsymbol{\\alpha} = \\frac{1}{\\lambda}\\boldsymbol{\\alpha} A−1α=λ1α， A ∗ α = ∣ A ∣ λ α \\boldsymbol{A}\^\*\\boldsymbol{\\alpha} = \\frac{\|\\boldsymbol{A}\|}{\\lambda}\\boldsymbol{\\alpha} A∗α=λ∣A∣α（伴随矩阵 ） * 相似变换： P − 1 A P α = λ α \\boldsymbol{P}\^{-1}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{P}\\boldsymbol{\\alpha} = \\lambda\\boldsymbol{\\alpha} P−1APα=λα（相似矩阵特征值相同，特征向量变换为 P − 1 α \\boldsymbol{P}\^{-1}\\boldsymbol{\\alpha} P−1α ） 3. 特殊特征值 * 若 A \\boldsymbol{A} A 为对合矩阵（ A 2 = E \\boldsymbol{A}\^2 = \\boldsymbol{E} A2=E ），则 λ = ± 1 \\lambda = \\pm 1 λ=±1 * 若 A \\boldsymbol{A} A 行和为 $ a $，则 λ = a \\lambda = a λ=a 是一个特征值，对应特征向量 α = ( 1 1 ⋮ 1 ) \\boldsymbol{\\alpha} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ \\vdots \\\\ 1 \\end{pmatrix} α= 11⋮1 （所有分量为1 ） 4. 特征值的重数 若 A B = λ B \\boldsymbol{A}\\boldsymbol{B} = \\lambda\\boldsymbol{B} AB=λB 且 B ≠ 0 \\boldsymbol{B} \\neq \\boldsymbol{0} B=0，则 λ \\lambda λ 是 A \\boldsymbol{A} A 的特征值，且 B \\boldsymbol{B} B 的非零列是对应特征向量；若 B \\boldsymbol{B} B 有 n n n 个线性无关列满足，则 λ \\lambda λ 至少是 n n n 重特征值 5. 二次型与特征值 * 二次型 f = x T A x f = \\boldsymbol{x}\^\\text{T}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{x} f=xTAx 经正交变换 x = Q y \\boldsymbol{x} = \\boldsymbol{Q}\\boldsymbol{y} x=Qy 化为标准型 λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + ⋯ + λ n y n 2 \\lambda_1 y_1\^2 + \\lambda_2 y_2\^2 + \\cdots + \\lambda_n y_n\^2 λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2，其中 λ i \\lambda_i λi 是 A \\boldsymbol{A} A 的特征值 6. 相似矩阵的特征值 若 A ∼ B \\boldsymbol{A} \\sim \\boldsymbol{B} A∼B（相似 ），则 A \\boldsymbol{A} A 与 B \\boldsymbol{B} B 特征值完全相同（包括重数 ），但特征向量不同（满足 A α = λ α ⟺ B ( P − 1 α ) = λ ( P − 1 α ) \\boldsymbol{A}\\boldsymbol{\\alpha} = \\lambda\\boldsymbol{\\alpha} \\iff \\boldsymbol{B}(\\boldsymbol{P}\^{-1}\\boldsymbol{\\alpha}) = \\lambda(\\boldsymbol{P}\^{-1}\\boldsymbol{\\alpha}) Aα=λα⟺B(P−1α)=λ(P−1α)， P \\boldsymbol{P} P 为相似变换矩阵 ） ##### 十六、判断A能否相似对角化 **方法一：基于特征值和特征向量的个数判断（适用于一般矩阵）** * **判断条件** ：n阶矩阵 A \\boldsymbol{A} A可相似对角化的充分必要条件是 A \\boldsymbol{A} A有n个线性无关的特征向量。 * 具体步骤 1. **计算特征值** ：根据特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 \\vert\\lambda\\boldsymbol{E} - \\boldsymbol{A}\\vert = 0 ∣λE−A∣=0 ，求出矩阵 A \\boldsymbol{A} A的所有特征值 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ s \\lambda_1,\\lambda_2,\\cdots,\\lambda_s λ1,λ2,⋯,λs，以及它们对应的代数重数 n 1 , n 2 , ⋯ , n s n_1,n_2,\\cdots,n_s n1,n2,⋯,ns（特征值 λ i \\lambda_i λi的代数重数是指它在特征方程的根中出现的重数，且 n 1 + n 2 + ⋯ + n s = n n_1 + n_2+\\cdots + n_s = n n1+n2+⋯+ns=n)。 2. **计算特征向量并判断线性无关性** ：对于每个特征值 λ i \\lambda_i λi，求解齐次线性方程组 ( λ i E − A ) x = 0 (\\lambda_i\\boldsymbol{E} - \\boldsymbol{A})\\boldsymbol{x} = \\boldsymbol{0} (λiE−A)x=0，得到其基础解系，基础解系中的向量就是属于 λ i \\lambda_i λi的线性无关的特征向量，设其个数为 m i m_i mi, m i m_i mi也被称为特征值 λ i \\lambda_i λi的几何重数， 即属于 λ i \\lambda_i λi的线性无关特征向量的个数）。若对于每一个特征值 λ i \\lambda_i λi，都有其代数重数 n i n_i ni等于几何重数 m i m_i mi，即 n i = m i n_i = m_i ni=mi， i = 1 , 2 , ⋯ , s i = 1,2,\\cdots,s i=1,2,⋯,s，则矩阵 A \\boldsymbol{A} A有n个线性无关的特征向量， A \\boldsymbol{A} A可以相似对角化；若存在某个特征值，其代数重数不等于几何重数，则 A \\boldsymbol{A} A不能相似对角化。 **方法二：判断矩阵是否为实对称矩阵（适用于实矩阵）** * **判断条件** ：实对称矩阵一定可以相似对角化，并且可以正交相似对角化（即存在正交矩阵 Q \\boldsymbol{Q} Q，使得 Q − 1 A Q = Q T A Q \\boldsymbol{Q}\^{-1}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{Q}=\\boldsymbol{Q}\^T\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{Q} Q−1AQ=QTAQ为对角矩阵）。 * **具体步骤** ：只需判断矩阵 A \\boldsymbol{A} A是否满足 A T = A \\boldsymbol{A}\^T = \\boldsymbol{A} AT=A，若满足，则 A \\boldsymbol{A} A可相似对角化。 ##### 十七、若A可以相似对角化，求P(Q) 若矩阵 A \\boldsymbol{A} A 可相似对角化，求可逆矩阵 P \\boldsymbol{P} P（或正交矩阵 Q \\boldsymbol{Q} Q）的步骤 一、求可逆矩阵 P \\boldsymbol{P} P 使 P − 1 A P = Λ \\boldsymbol{P}\^{-1}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{P} = \\boldsymbol{\\Lambda} P−1AP=Λ（ Λ \\boldsymbol{\\Lambda} Λ 为对角矩阵） 1. **求特征值** 解特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 \|\\lambda\\boldsymbol{E} - \\boldsymbol{A}\| = 0 ∣λE−A∣=0，得所有特征值 λ 1 , λ 2 , ... , λ n \\lambda_1, \\lambda_2, \\dots, \\lambda_n λ1,λ2,...,λn（含重数）。 2. **求特征向量** 对每个特征值 λ i \\lambda_i λi，解齐次方程组 ( λ i E − A ) x = 0 (\\lambda_i\\boldsymbol{E} - \\boldsymbol{A})\\boldsymbol{x} = \\boldsymbol{0} (λiE−A)x=0，得基础解系 ξ i 1 , ξ i 2 , ... , ξ i k i \\boldsymbol{\\xi}_{i1}, \\boldsymbol{\\xi}_{i2}, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_{ik_i} ξi1,ξi2,...,ξiki（ k i k_i ki 为几何重数，且 ∑ k i = n \\sum k_i = n ∑ki=n）。 3. **构造矩阵 P \\boldsymbol{P} P 与对角矩阵 Λ \\boldsymbol{\\Lambda} Λ** * 将所有线性无关的特征向量按列排列，组成可逆矩阵： P = ( ξ 11 , ξ 12 , ... , ξ 1 k 1 , ξ 21 , ... , ξ n k n ) \\boldsymbol{P} = (\\boldsymbol{\\xi}_{11}, \\boldsymbol{\\xi}_{12}, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_{1k_1}, \\boldsymbol{\\xi}_{21}, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_{nk_n}) P=(ξ11,ξ12,...,ξ1k1,ξ21,...,ξnkn) * 对角矩阵 Λ \\boldsymbol{\\Lambda} Λ 的对角线元素为对应特征值，顺序与 P \\boldsymbol{P} P 的列向量一致： Λ = ( λ 1 λ 2 ⋱ λ n ) \\boldsymbol{\\Lambda} = \\begin{pmatrix} \\lambda_1 \& \& \& \\\\ \& \\lambda_2 \& \& \\\\ \& \& \\ddots \& \\\\ \& \& \& \\lambda_n \\end{pmatrix} Λ= λ1λ2⋱λn 二、求正交矩阵 Q \\boldsymbol{Q} Q 使 Q − 1 A Q = Q T A Q = Λ \\boldsymbol{Q}\^{-1}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{Q} = \\boldsymbol{Q}\^\\text{T}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{Q} = \\boldsymbol{\\Lambda} Q−1AQ=QTAQ=Λ（适用于实对称矩阵） 1. **完成"求可逆矩阵 P \\boldsymbol{P} P"的步骤1-2** 得特征值 λ 1 , ... , λ n \\lambda_1, \\dots, \\lambda_n λ1,...,λn 和对应特征向量 ξ i 1 , ... , ξ i k i \\boldsymbol{\\xi}_{i1}, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_{ik_i} ξi1,...,ξiki。 2. **正交化** 对同一特征值 λ i \\lambda_i λi 的线性无关特征向量 ξ i 1 , ... , ξ i k i \\boldsymbol{\\xi}_{i1}, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_{ik_i} ξi1,...,ξiki，用施密特正交化法化为正交向量组： β i 1 = ξ i 1 , β i j = ξ i j − ∑ m = 1 j − 1 ( ξ i j , β i m ) ( β i m , β i m ) β i m ( j = 2 , ... , k i ) \\boldsymbol{\\beta}_{i1} = \\boldsymbol{\\xi}_{i1}, \\quad \\boldsymbol{\\beta}_{ij} = \\boldsymbol{\\xi}_{ij} - \\sum_{m=1}\^{j-1} \\frac{(\\boldsymbol{\\xi}_{ij}, \\boldsymbol{\\beta}_{im})}{(\\boldsymbol{\\beta}_{im}, \\boldsymbol{\\beta}_{im})}\\boldsymbol{\\beta}_{im} \\quad (j=2, \\dots, k_i) βi1=ξi1,βij=ξij−m=1∑j−1(βim,βim)(ξij,βim)βim(j=2,...,ki) 3. **单位化** 将正交向量组 β i 1 , ... , β i k i \\boldsymbol{\\beta}_{i1}, \\dots, \\boldsymbol{\\beta}_{ik_i} βi1,...,βiki 单位化： γ i j = β i j ∥ β i j ∥ ( ∥ β ∥ = ( β , β ) 为向量模长 ) \\boldsymbol{\\gamma}_{ij} = \\frac{\\boldsymbol{\\beta}_{ij}}{\\\|\\boldsymbol{\\beta}_{ij}\\\|} \\quad (\\\|\\boldsymbol{\\beta}\\\| = \\sqrt{(\\boldsymbol{\\beta}, \\boldsymbol{\\beta})} \\text{ 为向量模长}) γij=∥βij∥βij(∥β∥=(β,β) 为向量模长) 4. **构造正交矩阵 Q \\boldsymbol{Q} Q** 将所有单位正交特征向量按列排列，组成正交矩阵： Q = ( γ 11 , ... , γ 1 k 1 , γ 21 , ... , γ n k n ) \\boldsymbol{Q} = (\\boldsymbol{\\gamma}_{11}, \\dots, \\boldsymbol{\\gamma}_{1k_1}, \\boldsymbol{\\gamma}_{21}, \\dots, \\boldsymbol{\\gamma}_{nk_n}) Q=(γ11,...,γ1k1,γ21,...,γnkn) 【例】 求实对称矩阵 A = ( 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ) \\boldsymbol{A} = \\begin{pmatrix} 1 \& 2 \& 2 \\\\ 2 \& 1 \& 2 \\\\ 2 \& 2 \& 1 \\end{pmatrix} A= 122212221 的正交矩阵 Q \\boldsymbol{Q} Q 1. **特征值** ： λ 1 = 5 \\lambda_1 = 5 λ1=5， λ 2 = λ 3 = − 1 \\lambda_2 = \\lambda_3 = -1 λ2=λ3=−1（代数重数均等于几何重数）。 2. **特征向量**： * λ 1 = 5 \\lambda_1 = 5 λ1=5 对应 ξ 1 = ( 1 1 1 ) \\boldsymbol{\\xi}_1 = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} ξ1= 111 * λ 2 = − 1 \\lambda_2 = -1 λ2=−1 对应 ξ 2 = ( − 1 1 0 ) , ξ 3 = ( − 1 0 1 ) \\boldsymbol{\\xi}_2 = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}, \\boldsymbol{\\xi}_3 = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix} ξ2= −110 ,ξ3= −101 3. **正交化**： * β 1 = ξ 1 = ( 1 1 1 ) \\boldsymbol{\\beta}_1 = \\boldsymbol{\\xi}_1 = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} β1=ξ1= 111 * β 2 = ξ 2 = ( − 1 1 0 ) \\boldsymbol{\\beta}_2 = \\boldsymbol{\\xi}_2 = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix} β2=ξ2= −110 * β 3 = ξ 3 − ( ξ 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 = ( − 1 / 2 − 1 / 2 1 ) \\boldsymbol{\\beta}_3 = \\boldsymbol{\\xi}_3 - \\frac{(\\boldsymbol{\\xi}_3, \\boldsymbol{\\beta}_2)}{(\\boldsymbol{\\beta}_2, \\boldsymbol{\\beta}_2)}\\boldsymbol{\\beta}_2 = \\begin{pmatrix} -1/2 \\\\ -1/2 \\\\ 1 \\end{pmatrix} β3=ξ3−(β2,β2)(ξ3,β2)β2= −1/2−1/21 4. **单位化** ： γ 1 = 1 3 ( 1 1 1 ) , γ 2 = 1 2 ( − 1 1 0 ) , γ 3 = 1 6 ( − 1 − 1 2 ) \\boldsymbol{\\gamma}_1 = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix}, \\quad \\boldsymbol{\\gamma}_2 = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\begin{pmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}, \\quad \\boldsymbol{\\gamma}_3 = \\frac{1}{\\sqrt{6}}\\begin{pmatrix} -1 \\\\ -1 \\\\ 2 \\end{pmatrix} γ1=3 1 111 ,γ2=2 1 −110 ,γ3=6 1 −1−12 5. **正交矩阵** ： Q = ( 1 / 3 − 1 / 2 − 1 / 6 1 / 3 1 / 2 − 1 / 6 1 / 3 0 2 / 6 ) \\boldsymbol{Q} = \\begin{pmatrix} 1/\\sqrt{3} \& -1/\\sqrt{2} \& -1/\\sqrt{6} \\\\ 1/\\sqrt{3} \& 1/\\sqrt{2} \& -1/\\sqrt{6} \\\\ 1/\\sqrt{3} \& 0 \& 2/\\sqrt{6} \\end{pmatrix} Q= 1/3 1/3 1/3 −1/2 1/2 0−1/6 −1/6 2/6 满足 Q T A Q = ( 5 0 0 0 − 1 0 0 0 − 1 ) \\boldsymbol{Q}\^\\text{T}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{Q} = \\begin{pmatrix} 5 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& -1 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& -1 \\end{pmatrix} QTAQ= 5000−1000−1 。 * P \\boldsymbol{P} P 是**可逆矩阵**，由线性无关特征向量组成，适用于所有可对角化矩阵； * Q \\boldsymbol{Q} Q 是**正交矩阵** （ Q − 1 = Q T \\boldsymbol{Q}\^{-1} = \\boldsymbol{Q}\^\\text{T} Q−1=QT），由单位正交特征向量组成，仅适用于**实对称矩阵**（必可对角化且可正交对角化）。 ##### 十八、二次型化标准型 ###### 1、拉格朗日配方法 通过代数配方将二次型 f = x T A x f = \\boldsymbol{x}\^\\text{T}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{x} f=xTAx 转化为只含平方项的标准形 f = d 1 y 1 2 + d 2 y 2 2 + ⋯ + d n y n 2 f = d_1y_1\^2 + d_2y_2\^2 + \\cdots + d_ny_n\^2 f=d1y12+d2y22+⋯+dnyn2，对应可逆线性变换 x = C y \\boldsymbol{x} = \\boldsymbol{C}\\boldsymbol{y} x=Cy（ C \\boldsymbol{C} C 为可逆矩阵） 1. **含平方项的变量优先配方**： 若二次型含某个变量（如 x 1 x_1 x1）的平方项，将所有含 x 1 x_1 x1 的项集中，配成完全平方形式，剩余项中重复此操作。 2. **不含平方项时构造平方项**： 若二次型仅含交叉项（如 x 1 x 2 x_1x_2 x1x2），令 x 1 = y 1 + y 2 x_1 = y_1 + y_2 x1=y1+y2， x 2 = y 1 − y 2 x_2 = y_1 - y_2 x2=y1−y2， x i = y i ( i ≥ 3 ) x_i = y_i \\ (i \\geq 3) xi=yi (i≥3)，引入平方项后再配方。 3. **写出标准形和变换矩阵**： 配方后得到标准形，根据变量替换关系写出可逆矩阵 C \\boldsymbol{C} C，满足 f = y T ( C T A C ) y f = \\boldsymbol{y}\^\\text{T}(\\boldsymbol{C}\^\\text{T}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{C})\\boldsymbol{y} f=yT(CTAC)y 为标准形。 **示例**： 化二次型 f = x 1 2 + 2 x 1 x 2 + 2 x 2 2 + 4 x 2 x 3 + 4 x 3 2 f = x_1\^2 + 2x_1x_2 + 2x_2\^2 + 4x_2x_3 + 4x_3\^2 f=x12+2x1x2+2x22+4x2x3+4x32 为标准形。 * **配方过程** ： f = ( x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 ) + ( x 2 2 + 4 x 2 x 3 + 4 x 3 2 ) = ( x 1 + x 2 ) 2 + ( x 2 + 2 x 3 ) 2 \\begin{align\*} f \&= (x_1\^2 + 2x_1x_2 + x_2\^2) + (x_2\^2 + 4x_2x_3 + 4x_3\^2) \\\\ \&= (x_1 + x_2)\^2 + (x_2 + 2x_3)\^2 \\end{align\*} f=(x12+2x1x2+x22)+(x22+4x2x3+4x32)=(x1+x2)2+(x2+2x3)2 * **变量替换** ： 令 y 1 = x 1 + x 2 y_1 = x_1 + x_2 y1=x1+x2， y 2 = x 2 + 2 x 3 y_2 = x_2 + 2x_3 y2=x2+2x3， y 3 = x 3 y_3 = x_3 y3=x3，则 x = ( 1 − 1 2 0 1 − 2 0 0 1 ) y \\boldsymbol{x} = \\begin{pmatrix} 1 \& -1 \& 2 \\\\ 0 \& 1 \& -2 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\end{pmatrix}\\boldsymbol{y} x= 100−1102−21 y。 * **标准形** ： f = y 1 2 + y 2 2 f = y_1\^2 + y_2\^2 f=y12+y22，变换矩阵 C = ( 1 − 1 2 0 1 − 2 0 0 1 ) \\boldsymbol{C} = \\begin{pmatrix} 1 \& -1 \& 2 \\\\ 0 \& 1 \& -2 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\end{pmatrix} C= 100−1102−21 （可逆）。 ###### 2、正交化法 通过正交变换 x = Q y \\boldsymbol{x} = \\boldsymbol{Q}\\boldsymbol{y} x=Qy（ Q \\boldsymbol{Q} Q 为正交矩阵）将二次型化为标准形，标准形的系数为矩阵 A \\boldsymbol{A} A 的特征值，即 f = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + ⋯ + λ n y n 2 f = \\lambda_1y_1\^2 + \\lambda_2y_2\^2 + \\cdots + \\lambda_ny_n\^2 f=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2。 1. **写出二次型矩阵 A \\boldsymbol{A} A**： 二次型 f = x T A x f = \\boldsymbol{x}\^\\text{T}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{x} f=xTAx 中， A \\boldsymbol{A} A 为实对称矩阵（ a i i a_{ii} aii 是 x i 2 x_i\^2 xi2 的系数， a i j = a j i a_{ij} = a_{ji} aij=aji 是 x i x j x_ix_j xixj 系数的一半）。 2. **求 A \\boldsymbol{A} A 的特征值和特征向量** ： 解特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 \|\\lambda\\boldsymbol{E} - \\boldsymbol{A}\| = 0 ∣λE−A∣=0 得特征值 λ 1 , ... , λ n \\lambda_1, \\dots, \\lambda_n λ1,...,λn，对应特征向量 ξ 1 , ... , ξ n \\boldsymbol{\\xi}_1, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_n ξ1,...,ξn。 3. **特征向量正交化与单位化**： 对同一特征值的线性无关特征向量用施密特正交化，再将所有特征向量单位化，得单位正交向量组 γ 1 , ... , γ n \\boldsymbol{\\gamma}_1, \\dots, \\boldsymbol{\\gamma}_n γ1,...,γn。 4. **构造正交矩阵 Q \\boldsymbol{Q} Q 和标准形**： Q = ( γ 1 , ... , γ n ) \\boldsymbol{Q} = (\\boldsymbol{\\gamma}_1, \\dots, \\boldsymbol{\\gamma}_n) Q=(γ1,...,γn)，则正交变换 x = Q y \\boldsymbol{x} = \\boldsymbol{Q}\\boldsymbol{y} x=Qy 化二次型为标准形： f = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + ⋯ + λ n y n 2 f = \\lambda_1y_1\^2 + \\lambda_2y_2\^2 + \\cdots + \\lambda_ny_n\^2 f=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2 **示例**： 用正交化法化 f = 2 x 1 2 + 2 x 2 2 + 2 x 3 2 + 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 f = 2x_1\^2 + 2x_2\^2 + 2x_3\^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3 f=2x12+2x22+2x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3 为标准形。 * **二次型矩阵** ： A = ( 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ) \\boldsymbol{A} = \\begin{pmatrix} 2 \& 1 \& 1 \\\\ 1 \& 2 \& 1 \\\\ 1 \& 1 \& 2 \\end{pmatrix} A= 211121112 。 * **特征值** ： λ 1 = 4 \\lambda_1 = 4 λ1=4， λ 2 = λ 3 = 1 \\lambda_2 = \\lambda_3 = 1 λ2=λ3=1。 * **单位正交特征向量**： γ 1 = 1 3 ( 1 , 1 , 1 ) T \\boldsymbol{\\gamma}_1 = \\frac{1}{\\sqrt{3}}(1, 1, 1)\^\\text{T} γ1=3 1(1,1,1)T， γ 2 = 1 2 ( − 1 , 1 , 0 ) T \\boldsymbol{\\gamma}_2 = \\frac{1}{\\sqrt{2}}(-1, 1, 0)\^\\text{T} γ2=2 1(−1,1,0)T， γ 3 = 1 6 ( − 1 , − 1 , 2 ) T \\boldsymbol{\\gamma}_3 = \\frac{1}{\\sqrt{6}}(-1, -1, 2)\^\\text{T} γ3=6 1(−1,−1,2)T。 * **标准形** ： f = 4 y 1 2 + y 2 2 + y 3 2 f = 4y_1\^2 + y_2\^2 + y_3\^2 f=4y12+y22+y32，正交矩阵 Q = ( γ 1 , γ 2 , γ 3 ) \\boldsymbol{Q} = (\\boldsymbol{\\gamma}_1, \\boldsymbol{\\gamma}_2, \\boldsymbol{\\gamma}_3) Q=(γ1,γ2,γ3)。 ##### 十九、二次型正定 若n元二次型 f = x T A x f=x\^TAx f=xTAx正定 \<=\> 对任意x≠0，有 f = x T A x f=x\^TAx f=xTAx＞0 \<=\> f的正惯性指数p = n \<=\> 存在可逆矩阵**D** ，使 **A** = **D** T \^T T**D** \<=\>**A** 合同与**E** \<=\>**A** 的特征值 λ i \> 0 ( i = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， n ) λ_i \>0 (i = 1, 2,···，n) λi\>0(i=1,2,⋅⋅⋅，n) \<=\>**A**的全部顺序主子式均大于0 ##### 二十、等价、相似、合同 | 关系 | 等价（矩阵 A \\boldsymbol{A} A与 B \\boldsymbol{B} B等价） | 相似（矩阵 A \\boldsymbol{A} A与 B \\boldsymbol{B} B相似） | 合同（矩阵 A \\boldsymbol{A} A与 B \\boldsymbol{B} B合同） | |----------|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| | **定义** | 存在可逆矩阵 P , Q \\boldsymbol{P},\\boldsymbol{Q} P,Q，使 B = P A Q \\boldsymbol{B}=\\boldsymbol{P}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{Q} B=PAQ | 存在可逆矩阵 P \\boldsymbol{P} P，使 B = P − 1 A P \\boldsymbol{B}=\\boldsymbol{P}\^{-1}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{P} B=P−1AP | 存在可逆矩阵 C \\boldsymbol{C} C，使 B = C T A C \\boldsymbol{B}=\\boldsymbol{C}\^\\text{T}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{C} B=CTAC | | **核心本质** | 矩阵经初等变换可互化（体现秩的一致性） | 线性变换在不同基下的矩阵表示（保持特征值等核心属性） | 二次型经可逆线性变换的等价性（保持正定性等惯性性质） | | **充要条件** | 同型且秩相等： r ( A ) = r ( B ) r(\\boldsymbol{A})=r(\\boldsymbol{B}) r(A)=r(B) | ① 特征值完全相同（含重数）； ② 存在可逆矩阵 P , Q \\boldsymbol{P},\\boldsymbol{Q} P,Q使 A = P B Q \\boldsymbol{A}=\\boldsymbol{P}\\boldsymbol{B}\\boldsymbol{Q} A=PBQ且 P − 1 = Q \\boldsymbol{P}\^{-1}=\\boldsymbol{Q} P−1=Q（特殊等价） | ① 均为实对称矩阵且惯性指数相同（正、负惯性指数分别相等）； ② 存在可逆矩阵 P , Q \\boldsymbol{P},\\boldsymbol{Q} P,Q使 A = P B Q \\boldsymbol{A}=\\boldsymbol{P}\\boldsymbol{B}\\boldsymbol{Q} A=PBQ且 P T = Q \\boldsymbol{P}\^\\text{T}=\\boldsymbol{Q} PT=Q（特殊等价） | | **包含关系** | 等价是最宽泛的关系： 相似 ⊂ \\subset ⊂等价，合同 ⊂ \\subset ⊂等价（实对称矩阵中相似 ⊂ \\subset ⊂合同） | 相似矩阵必等价，但等价矩阵不一定相似； 实对称矩阵相似必合同，但合同不一定相似 | 合同矩阵必等价，但等价矩阵不一定合同； 实对称矩阵合同 ⇏ \\nRightarrow ⇏相似（特征值可不同） | | **不变量** | 矩阵的秩 r ( A ) r(\\boldsymbol{A}) r(A) | 特征值、行列式、迹、秩、可逆性 | 惯性指数（正惯性指数 p p p、负惯性指数 q q q）、秩、对称性（若原矩阵对称） | | **适用场景** | 矩阵秩的比较、方程组同解性等 | 特征值与特征向量、矩阵对角化、线性变换等 | 二次型化简、正定性判定、曲面分类等 | | **示例** | ( 1 0 0 0 ) \\begin{pmatrix}1\&0\\\\0\&0\\end{pmatrix} (1000)与 ( 0 1 0 0 ) \\begin{pmatrix}0\&1\\\\0\&0\\end{pmatrix} (0010)等价（秩均为1） | ( 1 1 0 1 ) \\begin{pmatrix}1\&1\\\\0\&1\\end{pmatrix} (1011)与 ( 1 0 1 1 ) \\begin{pmatrix}1\&0\\\\1\&1\\end{pmatrix} (1101)相似（特征值均为1） | ( 1 0 0 − 1 ) \\begin{pmatrix}1\&0\\\\0\&-1\\end{pmatrix} (100−1)与 ( 2 0 0 − 3 ) \\begin{pmatrix}2\&0\\\\0\&-3\\end{pmatrix} (200−3)合同（惯性指数均为 p = 1 , q = 1 p=1,q=1 p=1,q=1） |