算法：最长递增子序列解法记录

题目

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

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输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

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输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

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输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

题目分析

给定一个整数数组 nums，要求找到其中最长的严格递增子序列的长度。严格递增意味着每个数都比前一个数大，也就是说序列中的每个元素都要比其前面的元素大。

举个例子，假设 nums = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]，其中的最长严格递增子序列为 [2, 3, 7, 101]，所以结果就是 4，也就是该子序列的长度。

思路

子序列的定义 ：子序列是数组中任意几个元素的顺序组合，可以不连续。比如，在 [3, 6, 2, 7] 中，[3, 2, 7] 或者 [6, 7] 都是子序列。
递增的定义 ：严格递增的子序列要求每一个数字都比前一个大，所以如果一个子序列是 [x1, x2, ..., xn]，那么必须满足 x1 < x2 < ... < xn。
动态规划的思路 ：我们可以使用动态规划来解决这个问题。我们定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度。初始时，每个位置的子序列长度至少为 1，因为每个元素本身就是一个递增子序列。
递推公式 ：对于每一个元素 nums[i]，我们会检查它之前的所有元素 nums[j]，如果 nums[i] 大于 nums[j]，那么 nums[i] 可以延续以 nums[j] 结尾的递增子序列。因此，更新 dp[i] 为 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)，表示如果以 nums[j] 结尾的子序列可以扩展到 nums[i]，则更新 dp[i] 的值。
最终结果 ：最长递增子序列的长度就是 dp 数组中的最大值。

详细解读

dp[i] 的定义：
- dp[i] 表示以 nums[i] 这个元素为结尾的最长递增子序列的长度。
- 你可以想象一下，每次考虑到 nums[i] 时，你要确定之前所有比 nums[i] 小的元素 nums[j]（j < i），并且看看是否可以把 nums[i] 加到这些子序列的末尾，来形成一个新的递增子序列。
- 每一个位置的初始值是 1，因为至少 nums[i] 本身就是一个递增子序列（长度为 1）。
如何更新 dp[i]：
- 我们会从每个元素 nums[i] 向前检查所有前面的元素 nums[j]（j < i）。如果 nums[i] 比 nums[j] 大，说明 nums[i] 可以接在 nums[j] 的递增子序列后面，形成一个新的递增子序列。
- 所以，我们尝试更新 dp[i] 的值dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
  
  这个式子的意思是：如果 nums[i] 大于 nums[j]，则可以在 dp[j] 的基础上延伸一个新的元素 nums[i]，所以 dp[i] 可能会变大。
  - dp[j] + 1：表示以 nums[j] 结尾的最长递增子序列长度，再加上当前的 nums[i]。
  - Math.max(dp[i], dp[j] + 1)：更新 dp[i]，即保留之前的值和新的 dp[j] + 1 之间的较大值。
如何求解最终的结果：
- 最终，我们需要得到 整个数组中最长递增子序列的长度 。而这个长度其实就是 dp 数组中的最大值，表示所有以不同元素结尾的最长递增子序列的最大长度。
- 所以，我们用以下方式得到最终结果：
  
  maxLength = Math.max(maxLength, dp[i]);
  
  这会遍历 dp 数组，得到其中的最大值。

举例分析

假设有一个数组 nums = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]，我们来看如何通过动态规划得到最长递增子序列的长度。

初始化 dp 数组为：

dp = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

因为每个元素初始时自己的递增子序列长度为 1。
遍历 nums 数组，更新 dp 数组：
- i = 1, nums $i$ = 9 ，检查所有 j < 1 的元素。没有比 9 小的元素，所以 dp[1] 还是 1。
- i = 2, nums $i$ = 2 ，检查所有 j < 2 的元素。没有比 2 小的元素，所以 dp[2] 还是 1。
- i = 3, nums $i$ = 5 ，检查所有 j < 3 的元素：
  - nums[0] = 10，nums[0] > nums[3]，不更新。
  - nums[1] = 9，nums[1] > nums[3]，不更新。
  - nums[2] = 2，nums[2] < nums[3]，更新 dp[3] = dp[2] + 1 = 2。
- i = 4, nums $i$ = 3 ，检查所有 j < 4 的元素：
  - nums[0] = 10，nums[0] > nums[4]，不更新。
  - nums[1] = 9，nums[1] > nums[4]，不更新。
  - nums[2] = 2，nums[2] < nums[4]，更新 dp[4] = dp[2] + 1 = 2。
  - nums[3] = 5，nums[3] > nums[4]，不更新。
- i = 5, nums $i$ = 7 ，检查所有 j < 5 的元素：
  - nums[0] = 10，nums[0] > nums[5]，不更新。
  - nums[1] = 9，nums[1] > nums[5]，不更新。
  - nums[2] = 2，nums[2] < nums[5]，更新 dp[5] = dp[2] + 1 = 2。
  - nums[3] = 5，nums[3] < nums[5]，更新 dp[5] = Math.max(dp[5], dp[3] + 1) = 3。
  - nums[4] = 3，nums[4] < nums[5]，更新 dp[5] = Math.max(dp[5], dp[4] + 1) = 3。
- 继续这个过程直到遍历完整个数组，最终得到
  
  dp = [1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4]
最终结果： 最大的 dp[i] 是 4，因此最长递增子序列的长度是 4。

代码

java 复制代码

public class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            return 0; // 如果输入数组为空或没有元素，返回0
        }

        // dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度
        int n = nums.length;
        int[] dp = new int[n];

        // 初始时，每个元素的子序列长度为1
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i] = 1;
        }

        // 遍历每个元素，检查它之前的所有元素
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                // 如果 nums[i] 大于 nums[j]，那么 nums[i] 可以接在 nums[j] 后面
                if (nums[i] > nums[j]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1); // 更新 dp[i] 的值
                }
            }
        }

        // 找到 dp 数组中的最大值，表示最长递增子序列的长度
        int maxLength = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            maxLength = Math.max(maxLength, dp[i]);
        }

        return maxLength;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Solution solution = new Solution();
        int[] nums = {10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18};
        System.out.println("Longest Increasing Subsequence Length: " + solution.lengthOfLIS(nums));
    }
}