爬楼梯（动态规划）

爬楼梯

算法思想

基本情况

动态规划递推关系

核心思想

时间复杂度与空间复杂度

code

力扣第70题

爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

算法思想

基本情况

javascript 复制代码

dp[0] = 1;  // 0个台阶 - 1种方法（什么都不做）
dp[1] = 1;  // 1个台阶 - 1种方法（只能爬1步）

动态规划递推关系

javascript 复制代码

for(let i = 2; i <= n; i++) {
    dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}

核心思想

要到达第 i 级台阶，可以：

从第 i-1 级爬 1 步上来（有 dp[i-1] 种方法）【爬上 n−1 阶楼梯的方法数量。因为再爬1阶就能到第n阶】

从第 i-2 级爬 2 步上来（有 dp[i-2] 种方法）【爬上 n−2 阶楼梯的方法数量，因为再爬2阶就能到第n阶】

因此：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

可以换种角度理解

只考虑最后一步，假设有4个台阶，最后一步有两种走法（剩下一个台阶的可能性组合和剩下两个台阶可能性组合）。两种走法的所有可能性都想家就是所有的可能性。
举例：

1+1+1+1 剩下一个台阶

1+2+1 剩下一个台阶

2+1+1 剩下一个台阶

1+1+2 剩下两个台阶

2+2 剩下两个台阶

根据列出的规律可以发现剩下一个台阶的走法是（4-1）个台阶走法的总和；剩下两个台阶的走法（4-2）个台阶的走法的总和。因此可以得出结论假设有n个台阶那总的走法总数等于（n-1）个台阶走法数和（n-2）个台阶走法数的相加

即 dp[n]=dp[n−1]+dp[n−2]

时间复杂度与空间复杂度

时间复杂度：O(n) - 只需遍历一次
空间复杂度：O(n) - 需要长度为 n+1 的数组

code

javascript 复制代码

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function(n) {
    const dp = [];
    dp[0] = 1;
    dp[1] = 1;
    for(let i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
};