leetcode热题——全排列

回溯算法

理论基础

1.概念

回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。

回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。

回溯法的本质是穷举所有可能，然后筛选出有效的解。因此回溯法的效率并不高，但很多题目只能用回溯法解决。如果想提高回溯的效率，可以添加剪枝策略。

2.应用场景

回溯法的应用场景主要有：

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
棋盘问题：N皇后，解数独等等

3.理解回溯

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构。因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度就构成了树的深度。

递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。

基本模板

回溯函数模板返回值以及参数
复制代码
```
void backtracking(参数)
```

回溯算法中函数返回值一般为void。

一般是先写逻辑，然后需要什么参数，就填什么参数。

回溯函数终止条件

复制代码

if (终止条件) {
    存放结果;
    return;
}

什么时候达到了终止条件，树中就可以看出，一般来说搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。

回溯搜索的遍历过程

复制代码

for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
  处理节点;
  backtracking(路径，选择列表); // 递归
  回溯，撤销处理结果
}

如下图所示：

for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。

backtracking这里自己调用自己，实现递归。

大家可以从图中看出for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。

模板框架

复制代码

void backtracking(参数) {
  if (终止条件) {
      存放结果;
      return;
  }

  for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
      处理节点;
      backtracking(路径，选择列表); // 递归
      回溯，撤销处理结果
  }
}

全排列

题目描述

给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其所有可能的全排列。你可以按任意顺序返回答案。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]

输出：[ [1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1] ]

示例 2：

输入：nums = [0,1]

输出：[ [0,1],[1,0] ]

示例 3：

输入：nums = [1]

输出：[ [1] ]

提示：

1 <= nums.length <= 6

-10 <= nums[i] <= 10

nums 中的所有整数互不相同

解题思路

抽象成的树形结构：

1. 递归函数参数

需要一个used数组，标记已经选择的元素

复制代码

vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking (vector<int>& nums, vector<bool>& used)

2. 递归终止条件

可以看出叶子节点，就是收割结果的地方。

当收集元素的数组path的大小达到和nums数组一样大的时候，说明找到了一个全排列，也表示到达了叶子节点。

3. 单层搜索的逻辑

因为排列问题，每次都要从头开始搜索，例如元素1在[1,2]中已经使用过了，但是在[2,1]中还要再使用一次1。

而used数组，其实就是记录此时path里都有哪些元素使用了，一个排列里一个元素只能使用一次。

复制代码

for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    if (used[i] == true) continue; // path里已经收录的元素，直接跳过
    used[i] = true;
    path.push_back(nums[i]);
    backtracking(nums, used);
    path.pop_back();
    used[i] = false;
}

C++ 代码实现

复制代码

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& nums, vector<bool>& used) {
        // 此时说明找到了一组
        if (path.size() == nums.size()) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            if (used[i] == true)
                continue; // path里已经收录的元素，直接跳过
            used[i] = true;
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums, used);
            path.pop_back();
            used[i] = false;
        }
    }
    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        result.clear();
        path.clear();
        vector<bool> used(nums.size(), false);
        backtracking(nums, used);
        return result;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：O(n * n!)，n 为数组长度。生成 n! 个排列，每个排列需要 O(n) 时间存储。

空间复杂度：O(n)，主要用于存储 path、used 和递归栈（递归深度为 n）。