🚀 顶点-面碰撞检测之诗：用牛顿法追寻命运的交点

"一颗顶点，一张面，在四维时空里逐渐靠近，是否会碰撞？还是终将错过？"

🌌 引子：CCD 是什么？

连续碰撞检测（Continuous Collision Detection，简称 CCD） ，不是《漫威宇宙》的新组织，而是一个避免"穿模"现象的高级物理机制。

普通的碰撞检测通常每帧检测一次位置，这叫 离散碰撞检测（DCD） ，容易错过高速运动中的碰撞。
CCD 则细致到每一帧之间的连续路径，确保即便对象高速飞驰，也不会偷偷"穿过"墙壁，毁了游戏体验。

今天我们聊的是 CCD 中的经典问题：

在一个时间区间 [t0, t1] 内，一个移动的点 是否会撞上一张移动的三角面？

🧩 问题建模

想象你是一个顶点粒子，正在动感单车般穿越三维空间。与此同时，远处有一张缓缓移动的三角形大网，像三只冷酷无情的手指等待你落入陷阱。

我们需要求的是：有没有一个时刻 t（0 到 1 之间），你刚好撞在这张三角网格上？

📚 线性插值（Lerp）建模运动轨迹

我们假设顶点 P(t) 和三角形三个顶点 A(t), B(t), C(t) 都是线性运动的：

javascript 复制代码

function lerp(v0, v1, t) {
  return v0.map((v, i) => v + (v1[i] - v) * t);
}

在任意时间 t：

P(t) = lerp(P0, P1, t)
A(t), B(t), C(t) 同理

🎯 顶点-面碰撞的数学条件（非公式解释）

顶点会撞上三角形面，等价于：

点 P(t) 落在 三角形 A(t), B(t), C(t) 所在平面上。
P(t) 也位于该三角形内部（使用重心坐标检测）。

因此我们等价转化为：

求解一个函数 f(t)，它表示 P(t) 和三角形面在时间 t 是否共面，当 f(t) = 0 时，即发生碰撞。

🔍 解方程：用牛顿法抓住那一瞬的命运

什么是牛顿法？

牛顿法是数值分析界的"福尔摩斯"，专门用来寻找某个函数为零的点。给定一个初始猜测 t0，不断更新：

scss 复制代码

t_next = t - f(t) / f'(t)

只要选得好，几轮就能收敛！

✂️ + 区间裁剪（Interval Clipping）

为了避免牛顿法跳出 [0,1] 区间，我们在每轮迭代中做如下处理：

如果 t 超出了 [t0, t1]，我们就把 t 强行剪回来。
并在迭代过程中维护一个收缩区间，像套娃一样越来越小，直到逼近根。

🧪 JavaScript 实现

ini 复制代码

function dot(a, b) {
  return a.reduce((sum, ai, i) => sum + ai * b[i], 0);
}

function cross(a, b) {
  return [
    a[1]*b[2] - a[2]*b[1],
    a[2]*b[0] - a[0]*b[2],
    a[0]*b[1] - a[1]*b[0]
  ];
}

function subtract(a, b) {
  return a.map((v, i) => v - b[i]);
}

function scalarTriple(a, b, c) {
  return dot(a, cross(b, c));
}

// f(t): 点与面之间的有符号体积（应为0）
function f(t, P0, P1, A0, A1, B0, B1, C0, C1) {
  const P = lerp(P0, P1, t);
  const A = lerp(A0, A1, t);
  const B = lerp(B0, B1, t);
  const C = lerp(C0, C1, t);
  return scalarTriple(subtract(P, A), subtract(B, A), subtract(C, A));
}

function df(t, eps, ...args) {
  return (f(t + eps, ...args) - f(t - eps, ...args)) / (2 * eps);
}

function findRoot(P0, P1, A0, A1, B0, B1, C0, C1, maxIter = 20, eps = 1e-6) {
  let t0 = 0.0;
  let t1 = 1.0;
  let t = 0.5;

  for (let i = 0; i < maxIter; i++) {
    const ft = f(t, P0, P1, A0, A1, B0, B1, C0, C1);
    const dft = df(t, 1e-5, P0, P1, A0, A1, B0, B1, C0, C1);

    if (Math.abs(ft) < eps) return t;

    if (dft === 0) {
      // 牛顿法无法推进，改为二分
      t = (t0 + t1) / 2;
    } else {
      const t_next = t - ft / dft;
      if (t_next < t0 || t_next > t1) {
        t = (t0 + t1) / 2;
      } else {
        t = t_next;
      }
    }

    // 更新搜索区间
    if (f(t, P0, P1, A0, A1, B0, B1, C0, C1) > 0) {
      t1 = t;
    } else {
      t0 = t;
    }
  }

  return null; // 未找到碰撞点
}

🧠 思维总结

CCD 就像是在"时间"这条轴上进行几何运算。
用线性插值来表示时间参数化运动。
牛顿法 + 区间裁剪，就像戴着安全带开快车，快速又稳当。
f(t) 是你和命运的距离，f'(t) 是你的速度方向，组合起来，找到你是否真的"撞墙"。

🏁 彩蛋：什么是"穿模"的哲学本质？

"穿模"其实是一个程序世界里的因果悖论：你本应该撞上去，但因为时间间隔太大，你直接"跳过"了那一帧。CCD，就是在帮你重新定义命运，让每一次物理接触都无所遁形。

✨ 下一步

加入重心坐标检测，判断点是否落在三角形内（非仅共面）。
支持面-面、边-边 CCD 检测。
使用双精度 + 自适应精度（Shewchuk）避免数值不稳定。

如果你觉得这是一段严肃的数值计算，不妨换个角度想：

"在数字世界里，每一个点的移动，都是一场寻找归属感的旅程。"

如需更复杂版本（含边界检测、鲁棒数值包），欢迎继续追问！

是否需要我也把 重心坐标检测 部分和完整 CCD 判定逻辑封装成一个模块？