算法提升之数学（快速幂+逆元求法）

亮亮爱刷题2025-08-04 12:15

今天给大家分享快速幂的相关知识

1.快速幂的基本内容

2.快速幂的代码

3.费马小定理

4.逆元

问题描述

给出 n,p，求 n−1modp。其中，n−1modp 指存在某个整数0≤a<p，使得 namodp=1，此时称 a为 n 的逆元，即 a=n−1。数据保证 p 是质数且 nmodp≠0。

输入格式

输入包含一行，为两个整数 n,p。

输出格式

输出包括一行，为一个整数，表示n−1modp。

输入案例：

复制代码

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输出案例：

复制代码

代码部分：

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
ll qmi(ll a,ll b,ll p){
    ll res=1;
    while(b){
      if(b&1)res=res*a%p;
      a=a*a%p;b>>=1;
    }
    return res;
}
ll inv(ll a,ll p){
  return qmi(a,p-2,p);
}
int main()
{
  ll n,p;cin>>n>>p;
  cout<<inv(n,p)<<'\n';
  return 0;
}

这是求解逆元的模版题，题目比较基础，大家可以记忆理解。

问题描述

费马是一位著名的数学家，为了解决某些复杂的数学问题，他经常需要计算模逆元。直接计算模逆元非常耗时，但费马发现了一个简单的方法来快速计算模逆元，这与他之前的一个数学发现有关。

模逆元：如果 p 是素数，并且 a是一个不被p 整除的整数，那么 a在模 p 下的逆元是 ap−2modp。这是因为根据费马小定理，我们有 ap−1≡1modp。所以，ap−2≡1modp，这意味着 ap−2是 a 在模 p 下的逆元。

现在给定两个正整数 a 和 p。计算 a 在模 p 下的逆元，并确保 p 是一个素数。

输入格式

输入包含两个正整数，分别为 a 和 p。

输出格式

输出 a 在模 p下的逆元。如果逆元不存在（即 a 能被 p 整除），输出 Inverse doesn't exist。

输入案例：

cpp 复制代码

3 7

输出案例：

cpp 复制代码

代码部分：

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
ll qmi(ll a,ll b,ll p){
  ll res=1;
  while(b){
    if(b&1)res=res*a%p;
    a=a*a%p;b>>=1;
  }
  return res;
}
bool isprime(ll a){
  if(a<2)return false;
  for(ll i=2;i<a/i;i++){
    if(a%i==0)return false;
  }
  return true;
}
int main()
{
  ll a,p;cin>>a>>p;
  if(a%p==0){
    cout<<"Inverse doesn't exist"<<'\n';
    return 0;
  }
  if(isprime(p)){
  cout<<qmi(a,p-2,p)<<'\n';
  }
  return 0;
}

希望今天题目对大家能有所帮助，今天的分享就到这里，希望大家多多关注。