前言
后缀数组
字符串s，长度为N,rank[i]记录s[i...N-1]在所有后缀的字典序，i ∈ \in ∈[0,N-1]。比如：s = "bac",则rank = {2,1,3}。s = "abbc"，则rank = {1,2,3,4}。sa[i] = x，表示s[x...n-1]的字典序是i。 暴力做法,时间复杂度：O(NNlogn)。
s[i...N-1] 简记为suff(i)。
倍增优化
sb[i][len] 记录s[i...i+len-1]的字典序。长短不足补'\0'。
性质一 ：如果sb[i1][len] <sb[i2][len]。则sb[i1][len +len] < sb[i2][ len2 + len2]。
性质二 ：如果sb[i1][len] == sb[i2][len]。如N-i1 >len 且N-i2>len，则sb[i1][len+len]和sb[i2][len+len]的大小关系和sb[i1+len][len]和sb[i2+len][len]相同。
性质三 ：如果sb[i1][len] == sb[i2][len]。不失一般性,N-i1 == len,N -i2 > len。则 sb[i1][len+len] <sb[i2][len+len]。
l e n ≥ N len \ge N len≥N时，sb[i][len]便是答案。
实现
CData有两个元素：一，iCmp当前一轮的排序依据。二，下标inx，s[i...len-1]的i。
排序 l o g 2 N log_2N log2N轮，每轮时间复杂度：O(NlogN)。
初始：iCmp等于s[inx]。v记录所有CData。
每轮：
对v排序。
auto v1 = v
v1[0].iCmp=1，i=2 To N-1 v1[i] = v1[i-1] + (v[i1].iCmp != v[i1-1].iCmp);
i = 0 < N
v1[i].iCmp = v1[i].iCmp*(N+1)+ x。
如果x < i+len, x = v1[i+len].iCmp;否则为0 。
时间复杂度：O(NlogNlogN)
桶排序优化
按v升序将sa[inx+len]放到sa[inx]中。 v由于已经是升序，故各桶内部无需排序。每轮时间复杂度：O(N)，总时间复杂度：O(NlogN)。
DC
人言:DC算法可以将时间复杂度降低到O(n)，以后再学习。
典型应用:最长重复子串
就是所有后缀的最长公共前缀。
lcp(i,j) 是suff(rank(i))和suff(rank(j))的最长公共前缀。
性质四 ： i ≤ j ≤ k i \le j \le k i≤j≤k，如果lcp(i,k)是len，lcp(j,k) ≥ \ge ≥len。否则，令第x个字符不同，如果前者的第x个字符小于后者的第x个字符，则前者的字典序应该小于i；如果前者的第x字符大于后者的第x个字符，则后者的字典序大于k。
推论一 ： i ≤ j 1 ≤ j 2 ≤ k i \le j1 \le j2 \le k i≤j1≤j2≤k lcp(j1,j2) ≥ \ge ≥ lcp(i,k)。
推论二 (LCP Lemma)： i < j < k i < j < k i<j<k, l c p ( i , k ) = m i n ( l c p ( i , j ) , l c p ( j , k ) ) lcp(i,k)=min(lcp(i,j),lcp(j,k)) lcp(i,k)=min(lcp(i,j),lcp(j,k))。根据推论一： m i n ( l c p ( i , j ) , l c p ( j , k ) ) ≥ l c p ( i , k ) min(lcp(i,j),lcp(j,k)) \ge lcp(i,k) min(lcp(i,j),lcp(j,k))≥lcp(i,k)。 x = m i n ( l c p ( i , j ) , l c p ( j , k ) ) > l c p ( i , k ) x=min(lcp(i,j),lcp(j,k)) > lcp(i,k) x=min(lcp(i,j),lcp(j,k))>lcp(i,k)不成立。 i ⋯ j i \cdots j i⋯j之间至少有公共前缀x， j ⋯ k j\cdots k j⋯k之间至少有公共前缀x。故i,j至少有公共前缀x。
推论三 (LCP Theorem)： i < j , l c p ( i , j ) ≤ min k : i + 1 j l c p ( k , k − 1 ) i < j,lcp(i,j) \le \min_{k:i+1}^j lcp(k,k-1) i<j,lcp(i,j)≤mink:i+1jlcp(k,k−1)。用数学归纳法证明： j − i = 1 j-i=1 j−i=1时，符合。当 j − i = l e n 1 j-i=len1 j−i=len1时成立，则 j = l e n 1 + 1 j=len1+1 j=len1+1也成立，就是推论二，对应参数分别为(i,i+len1,j)。
推论四 (LCP Corollary)： 对i≤j<k，LCP(j,k) ≥ \ge ≥LCP(i,k)。利用推论三容易证明。
小结一 ：求最大lcp,只需要比较字典序相邻的后缀。
性质五 ：不存在相等的后缀，因为两者长度不一样。
height[0]=0,height[i] = lcp(i,i-1)。 max ( h e i g h t ) \max(height) max(height)便是答案。
h[i]=h[rank[i]]。
性质六 ： i > 0 , h [ i ] ≥ h [ i − 1 ] − 1 i >0,h[i] \ge h[i-1]-1 i>0,h[i]≥h[i−1]−1。
当 h [ i − 1 ] ≤ 1 h[i-1] \le 1 h[i−1]≤1时，显然成立。
下面讨论 h [ i − 1 ] > 1 h[i-1] >1 h[i−1]>1
j = i − 1 , k = s a [ r a n k [ j ] − 1 ] j = i-1,k=sa[rank[j]-1] j=i−1,k=sa[rank[j]−1]
显然有：suff(k) < suff(j),即rank[k] < rank[j]。
根据性质六一：
lcp(rank(j),rank(k)) = lcp(rank(i),rank(k+1))+1
即：lcp(rank(i),rank(k+1)) = lcp(rank(j),rank(k))-1 = h[i-1]-1
根据性质六二及rank[k] < rank[j]。
rank[k+1] < rank[i],即rank[k+1] ≤ \le ≤rank[i]-1
根据推论四： h[i] = lcp(rank[i],rank[i]-1) ≥ \ge ≥ lcp(rank(i),rank(k+1)）得证
性质六一 ： l c p ( r a n k ( i ) , r a n k ( j ) ) > 1 lcp(rank(i),rank(j))>1 lcp(rank(i),rank(j))>1。则lcp(rank(i),rank(j))= lcp(rank(i+1),rank(j+1))+1。
sa[rank[i]-1]
性质六二 ： l c p ( r a n k ( i ) , r a n k ( j ) ) > 1 lcp(rank(i),rank(j))>1 lcp(rank(i),rank(j))>1。suff(i)< suff(j)，则suff(i+1)<suff(j+1)。
小结二：i从小到大计算h[i],h[i] = max(h[i-1]-1,0)开始枚举，无需复位，只需要每次减少n。故时间复杂度O(n)。h[0]从0开始枚举。
后缀树
这个更复杂，以后研究。
代码
模板代码
cpp
class CSuffArr {
public:
CSuffArr(const string& str) :N(str.length()), m_str(str) {
const int M = max(N, 26)+1;
vector<vector<pair<int,int>>> bucket(M);
for (int i = 0; i < N; i++) {
bucket[str[i]-'a'+1].emplace_back(i, 1);
}
BucketToRes(bucket);
for (int len = 1; len < N; len *= 2) {
bucket.assign(M,vector<pair<int,int>>());
for (int i = N - len ; i < N; i++) {//长度小于等于len
bucket[m_rank[i]].emplace_back(i,0);
}
for (const auto& i : m_sa) {
if (i >= len) {
const int iPre = i - len;
bucket[m_rank[iPre]].emplace_back(iPre,m_rank[i]);
}
}
BucketToRes(bucket);
}
}模板题：力扣1044
核心代码
cpp
class Solution {
public:
string longestDupSubstring(string s) {
CSuffArr suffArr(s);
auto h = suffArr.GetH();
const int iMaxInx = max_element(h.begin(), h.end()) - h.begin();
return s.substr(iMaxInx,h[iMaxInx]);
}
};单元测试
cpp
string s;
TEST_METHOD(TestMethod11)
{
s = "banana";
auto res = Solution().longestDupSubstring(s);
AssertEx(string("ana"), res);
}
TEST_METHOD(TestMethod12)
{
s = "abcd";
auto res = Solution().longestDupSubstring(s);
AssertEx(string(""), res);
}
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法 用**C++**实现。
