【倍增 桶排序】后缀数组

前言

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后缀数组

字符串s，长度为N,ranki记录si...N-1在所有后缀的字典序，i ∈ \in ∈0,N-1。比如：s = "bac",则rank = {2,1,3}。s = "abbc"，则rank = {1,2,3,4}。sai = x，表示sx...n-1的字典序是i。 暴力做法,时间复杂度：O(NNlogn)。

si...N-1 简记为suff(i)。

倍增优化

sbilen 记录si...i+len-1的字典序。长短不足补'\0'。
性质一 ：如果sbi1len <sbi2len。则sbi1len +len < sbi2 len2 + len2。
性质二 ：如果sbi1len == sbi2len。如N-i1 >len 且N-i2>len，则sbi1len+len和sbi2len+len的大小关系和sbi1+lenlen和sbi2+lenlen相同。
性质三 ：如果sbi1len == sbi2len。不失一般性,N-i1 == len,N -i2 > len。则 sbi1len+len <sbi2len+len。
l e n ≥ N len \ge N len≥N时，sbilen便是答案。

实现

CData有两个元素：一，iCmp当前一轮的排序依据。二，下标inx，si...len-1的i。

排序 l o g 2 N log_2N log2N轮，每轮时间复杂度：O(NlogN)。

初始：iCmp等于sinx。v记录所有CData。

每轮：

对v排序。

auto v1 = v

v10.iCmp=1，i=2 To N-1 v1i = v1i-1 + (vi1.iCmp != vi1-1.iCmp);

i = 0 < N

v1i.iCmp = v1i.iCmp*(N+1)+ x。

如果x < i+len, x = v1i+len.iCmp;否则为0 。
时间复杂度：O(NlogNlogN)

桶排序优化

按v升序将sainx+len放到sainx中。 v由于已经是升序，故各桶内部无需排序。每轮时间复杂度：O(N)，总时间复杂度：O(NlogN)。

DC

人言:DC算法可以将时间复杂度降低到O(n)，以后再学习。

典型应用:最长重复子串

就是所有后缀的最长公共前缀。

lcp(i,j) 是suff(rank(i))和suff(rank(j))的最长公共前缀。
性质四 ： i ≤ j ≤ k i \le j \le k i≤j≤k，如果lcp(i,k)是len，lcp(j,k) ≥ \ge ≥len。否则，令第x个字符不同，如果前者的第x个字符小于后者的第x个字符，则前者的字典序应该小于i；如果前者的第x字符大于后者的第x个字符，则后者的字典序大于k。
推论一 ： i ≤ j 1 ≤ j 2 ≤ k i \le j1 \le j2 \le k i≤j1≤j2≤k lcp(j1,j2) ≥ \ge ≥ lcp(i,k)。
推论二 (LCP Lemma)： i < j < k i < j < k i<j<k, l c p ( i , k ) = m i n ( l c p ( i , j ) , l c p ( j , k ) ) lcp(i,k)=min(lcp(i,j),lcp(j,k)) lcp(i,k)=min(lcp(i,j),lcp(j,k))。根据推论一： m i n ( l c p ( i , j ) , l c p ( j , k ) ) ≥ l c p ( i , k ) min(lcp(i,j),lcp(j,k)) \ge lcp(i,k) min(lcp(i,j),lcp(j,k))≥lcp(i,k)。 x = m i n ( l c p ( i , j ) , l c p ( j , k ) ) > l c p ( i , k ) x=min(lcp(i,j),lcp(j,k)) > lcp(i,k) x=min(lcp(i,j),lcp(j,k))>lcp(i,k)不成立。 i ⋯ j i \cdots j i⋯j之间至少有公共前缀x， j ⋯ k j\cdots k j⋯k之间至少有公共前缀x。故i,j至少有公共前缀x。
推论三 (LCP Theorem)： i < j , l c p ( i , j ) ≤ min ⁡ k : i + 1 j l c p ( k , k − 1 ) i < j,lcp(i,j) \le \min_{k:i+1}^j lcp(k,k-1) i<j,lcp(i,j)≤mink:i+1jlcp(k,k−1)。用数学归纳法证明： j − i = 1 j-i=1 j−i=1时，符合。当 j − i = l e n 1 j-i=len1 j−i=len1时成立，则 j = l e n 1 + 1 j=len1+1 j=len1+1也成立，就是推论二，对应参数分别为(i,i+len1,j)。
推论四 (LCP Corollary)： 对i≤j<k，LCP(j,k) ≥ \ge ≥LCP(i,k)。利用推论三容易证明。
小结一 ：求最大lcp,只需要比较字典序相邻的后缀。
性质五 ：不存在相等的后缀，因为两者长度不一样。

height0=0,heighti = lcp(i,i-1)。 max ⁡ ( h e i g h t ) \max(height) max(height)便是答案。

hi=hrank\[i]。
性质六 ： i > 0 , h i ≥ h i − 1 − 1 i >0,hi \ge hi-1-1 i>0,hi≥hi−1−1。

当 h i − 1 ≤ 1 hi-1 \le 1 hi−1≤1时，显然成立。

下面讨论 h i − 1 > 1 hi-1 >1 hi−1>1
j = i − 1 , k = s a r a n k \[ j − 1 ] j = i-1,k=sarank\[j-1] j=i−1,k=sarank\[j−1]

显然有：suff(k) < suff(j),即rankk < rankj。

根据性质六一：

lcp(rank(j),rank(k)) = lcp(rank(i),rank(k+1))+1

即：lcp(rank(i),rank(k+1)) = lcp(rank(j),rank(k))-1 = hi-1-1

根据性质六二及rankk < rankj。

rankk+1 < ranki,即rankk+1 ≤ \le ≤ranki-1

根据推论四： hi = lcp(ranki,ranki-1) ≥ \ge ≥ lcp(rank(i),rank(k+1)）得证
性质六一 ： l c p ( r a n k ( i ) , r a n k ( j ) ) > 1 lcp(rank(i),rank(j))>1 lcp(rank(i),rank(j))>1。则lcp(rank(i),rank(j))= lcp(rank(i+1),rank(j+1))+1。

sarank\[i-1]
性质六二 ： l c p ( r a n k ( i ) , r a n k ( j ) ) > 1 lcp(rank(i),rank(j))>1 lcp(rank(i),rank(j))>1。suff(i)< suff(j)，则suff(i+1)<suff(j+1)。
小结二：i从小到大计算hi,hi = max(hi-1-1,0)开始枚举，无需复位，只需要每次减少n。故时间复杂度O(n)。h0从0开始枚举。

后缀树

这个更复杂，以后研究。

代码

模板代码

class CSuffArr {
		public:
			CSuffArr(const string& str) :N(str.length()), m_str(str) {
				const int M = max(N, 26)+1;
				vector<vector<pair<int,int>>> bucket(M);	
				for (int i = 0; i < N; i++) {			
					bucket[str[i]-'a'+1].emplace_back(i, 1);
				}
				BucketToRes(bucket);
				for (int len = 1; len < N; len *= 2) {
					bucket.assign(M,vector<pair<int,int>>());
					for (int i = N - len ; i < N; i++) {//长度小于等于len
						bucket[m_rank[i]].emplace_back(i,0);
					}
					for (const auto& i : m_sa) {
						if (i >= len) {
							const int iPre = i - len;
							bucket[m_rank[iPre]].emplace_back(iPre,m_rank[i]);
						}
					}
					BucketToRes(bucket);
				}
			}

模板题：力扣1044

核心代码

	class Solution {
		public:
			string longestDupSubstring(string s) {
				CSuffArr suffArr(s);
				auto h = suffArr.GetH();
				const int iMaxInx = max_element(h.begin(), h.end()) - h.begin();
				return s.substr(iMaxInx,h[iMaxInx]);
			}
		};

单元测试

string s;
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			s = "banana";
			auto res = Solution().longestDupSubstring(s);
			AssertEx(string("ana"), res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			s = "abcd";
			auto res = Solution().longestDupSubstring(s);
			AssertEx(string(""), res);
		}

扩展阅读

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法 用**C++**实现。