c++ 数据结构-并查集、ST表 小总结

之前学习了一些并查集，ST表的知识点，在此做一个小总结。

并查集

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。它支持两种主要操作：

1. 查找：确定某个元素属于哪个子集。
2. 合并：将两个子集合并成一个集合。

最开始时，我们需要定义一个父亲节点数组，而每一个节点最开始时的父亲节点都是他本身，每个元素都是一个独立的集合。

在合并两个集合时，只需要将其中一个集合的祖宗节点（也就是父亲节点是它本身的节点）的父亲节点设置为另外一个集合的祖宗节点即可。

当然，如果只是这样的话 ，那每一次寻找祖宗节点也较为耗费时间。我们可以进行路径压缩。在查找过程中，将查找路径上的所有节点直接指向根节点，以便于减少后续查找时间。

以下是查找+路径压缩的示例代码：

int find(int x){
    if(f[x]==x)return x;
    return f[x]=find(f[x]);
}

以下是合并的示例代码：

void merge(int x,int y){
    int fx=find(x),fy=find(y);
    f[fx]=fy;
    return;
}

ST表

ST表（Sparse Table）是一种用于解决可重复贡献问题的数据结构，主要用于高效处理区间查询问题，特别是静态数据上的范围最值查询和符合结合律、幂等律的问题（如求区间gcd）等。

ST表基于动态规划和二进制拆分的思想，通过预处理建立一个二维数组：

• 预处理 ：构建一个二维数组st[i][j]，表示从位置i开始，长度为2^j的区间内的信息（最小值/最大值等）
• 查询 ：对于任意区间[l,r]，可以将其拆分为两个重叠的2^k长度区间，通过这两个区间信息的组合得到查询结果

预处理时，需要以下几个步骤：

1. 初始化 ：st[i][0] = arr[i]（每个长度为1的区间就是元素本身）

2. 递推填充 ：对于每个j从1到log2(n)，计算st[i][j]：

   st[i][j] = f(st[i][j-1], st[i+(1<<(j-1))][j-1]);

   其中f是所求的函数（如min、max等）

查询时，对于查询区间[l,r]：

1. 计算k = ceil(log2(r - l + 1));
2. 查询：f(st[l][k], st[r-(1<<k)+1][k];

如果大家有其他想法的，可以补充。