「【新智元导读】历时 50 年「十杯马提尼」重大猜想，终于被证明了！北大 Lingrui Ge 等多位学者，在全局理论中找到了对偶方程，从数学角度解开一只蝴蝶的翅膀。」
时隔半个世纪，「十杯马提尼猜想」终于画上了句号。
这个连接量子物理学和数学的难题，只为了解开「一只蝴蝶翅膀」之谜------「霍夫施塔特蝴蝶」（Hofstadter butterfly）。
美著名数学家 Mark Kac 曾开玩笑表示，「不论是谁，只要攻克这一难题，就悬赏十杯马提尼酒」。
如今，来自北大 Lingrui Ge，基于菲尔兹奖得主 Artur Avila 的「全局理论」，找到了一个破局的全新视角。
他联手南开大学 Jiangong You、Qi Zhou，构建了一个单一、强大的优美证明，成功挖掘出关于「对偶方程」的秘密。
这一证明，已于 2023 年发表在 arXiv 期刊上。
它不仅解决了霍夫施塔特蝴蝶难题，还进一步证明了抽象的数论在物理现实中强大力量。
不仅如此，基于改进版「全局理论」，他们又接连攻克了另外两个关键问题。
对此，Lingrui Ge 表示，「全局理论」背后的奥秘就像黑暗海洋中的一座灯塔，为我们指明了正确的方向。
这个值「十杯马提尼」的难题，从何而来？
「意外的尝试，一只蝴蝶诞生了」
1974 年，还是俄勒冈大学的物理学博士 Douglas Hofstadter，跟随导师前往德国 Regensburg，借此练习德语。
当时，他们二人加入了一个由顶尖理论物理学家组成的团队，试图攻克一个量子力学难题：
如何确定置于磁场中，晶格里电子的能级？
Douglas 因著作 Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid 获「普利策奖」
Douglas 就像一个「局外人」，完全跟不上别人的思路。
如今回想起来，这倒成为了一件幸事。他表示，「团队忙于证明各种定理，但它们与问题的本质毫无关系」。
于是，他选择另辟蹊径，尝试一种更「接地气」的方法。
不去证明定理，而是用一台重达 18 公斤惠普 9820A 台式计算器，来求解薛定谔方程------量子力学的核心方程。
它能解释电子在特定环境下的行为，尤其是，具有多少能量。
在这一问题中，薛定谔方程包含一个「变量 alpha」------磁场强度与晶格单元面积的乘积，概括了作用于电子上的力的信息。
当 alpha 是有理数时，要么是整数，要么是分数，求解虽难但可行；
可一旦 alpha 是无理数，即无法表示为分数，问题便变得棘手。
Douglas 并没有像其他人一样与无理数死磕，而是从有理数入手，编程计算逐一处理，夜以继日地输出结果。
纵轴代表磁通量，横轴代表电子能级
最终，他将这些「能级值」方格纸粘在一起，用笔勾勒出一幅令人惊叹的图案。
因其形似蝴蝶翅膀，由此被誉为「霍夫施塔特蝴蝶」（Hofstadter butterfly）。
这幅图揭示了一个分形结构：随着 alpha 有理数分母增大，能级带之间的禁带增多。
更令人震惊的是，图案中的微小局部，竟与整体形态惊人的相似。
电子能级形成的分形图案
他敏锐地察觉道，这个分形的背后，一定隐藏着深刻的数学真理------康托尔集（Georg Cantor）。
Douglas 注意到，随着有理数 alpha 值越来越逼近某个无理数，允许能级的集合------即蝴蝶图上每一行的墨迹带------也越来越像一个康托尔集。
因此，他大胆假设：当 alpha 为无理数时，电子能级可能形成一个真正的康托尔集。
康托尔集核心要义：取一条线段，将其三等分，然后抹去中间部分得到由一个缺口隔开的两条线段，若将此过程无限执行下去，最终将得到一个无穷点集，如尘埃般散落在数轴上
然而，Douglas 这一发现，并未立即得到认可。
同事们嘲笑他这种方法「点草成金」，就连导师斥之为「数字命理学」（numerology），并威胁要切断他的研究经费。
但 Douglas 不为所动，直觉告诉他，这个「蝴蝶」非同小可。
「十杯马提尼的「赌局」」
数年后，两位著名数学家，从一个截然不同的角度得出了相同的结论。
Barry Simon 和 Mark Kac 当时，正在研究「殆周期函数」（almost-periodic functions）的数学对象。
于周期函数不同的是，其归集无限接近重复，却永不重复。
1981 年，Barry 和 Mark 共进午餐，讨论了 Douglas 试图解决的「薛定谔方程」。
他们发现，当 alpha 为无理数时，该方程恰好变成了一个「殆周期函数」。
基于对「殆周期函数」的了解，他们断定电子能级确实可能形成康托尔集，进一步印证了 Douglas 的猜想。
然而，证明这一猜想异常困难。当时，Mark Kac 放话，谁能证明就请谁喝十杯马提尼。
这个挑战因此得名「十杯马提尼猜想」，成为数学界的一大悬案。
多年来，数学家们不断取得进展，逐步证明了该猜想对某些（但非全部）无理数 alpha 成立。
1982 年，Barry 宣布一项此类阶段性成果，Mark 兑现了三杯马提尼。然而不幸地是，Mark 于 1984 年去世时，问题仍未完全解决。
一个值满十杯马提尼的完整证明，又过了 20 年才姗姗来迟。
「时隔 20 年，菲尔兹奖得主证明了」
2003 年，Svetlana Jitomirskaya 刚刚放弃了将「十杯马提尼猜想」作为毕生事业的目标。
多年来，她专注于研究薛定谔方程中的「殆周期函数」，却在一年前，被竞争对手 Joaquim Puig 捷足先登。
Joaquim 基于她早先发表的技术，提出了一个优美的论证，证明了除少数几类无理数 alpha 外的所有情况。
Svetlana 回忆道，所有最难的工作都在我的证明里，结果他却抢了先。
正当她灰心意冷时，24 岁的 Artur Avila 提议合作攻克剩余的 alpha 值。
两人携手作战，最终在 2005 年发布了证明，登上了《数学年刊》。
因此，Artur 也荣获了菲尔兹奖。他们决定亲自兑现「十杯马提尼」的约定，痛饮庆祝。
然而，这个证明实际上并不完美。
它仅适用于特定无理数 alpha，并且需结合前人一个阶段性证明，才能宣称问题已解决。
就像一件「打满补丁的衣服」，缺乏了整体性和优雅。
更重要的是，这一证明，基于简化的电子环境假设，与现实世界的复杂性相去甚远。
ETH Zurich 数学家 Simon Becker 质疑道，「你只是验证了一个理想模型，但这又和现实世界有什么关系呢」？
现实世界中，原子排列模式更复杂，磁场也并非完全恒定。
一旦调整薛定谔方程，「十杯马提尼」证明便宣告失效，也似乎暗示着那些美丽的分形图案------「霍夫施塔特蝴蝶」，只是数学巧合。
就连提出者 Douglas 本人在著作 Gödel, Escher, Bach 中写道，「若实验真观测到蝴蝶，我将是全世界最惊讶的人」。
到 2013 年，哥伦比亚大学的一组物理学家用两层超薄石墨烯在磁场中测量电子能级，成功捕捉到了「霍夫施塔特蝴蝶」。
他们将两层超薄的石墨烯置于磁场中，测量其电子的能级。那个量子分形结构赫然显现，瑰丽无比。
论文地址：www.nature.com/articles/na...
Svetlana 却渴望用数学来解释这一切，中国团队的出手，让一切又变得柳暗花明。
「北大学者，画上了句号」
2019 年，Lingrui Ge 加入了 Svetlana 的小组，深受 Artur Avila 的「全局理论」（global theory）的启发。
全局理论，旨在揭示各类殆周期函数中更高层次的普适结构，从而一举解决整类函数问题。
初始的「全局理论」是无法直接应对「十杯马提尼」问题所需的对偶方程。
Lingrui Ge 却从中看到了潜力。
由此，他与 Svetlana、南开大学两位学者合作，开发了一种解读几何对象的新方法，成功将其应用于对偶方程。
这项突破，不仅增强了「全局理论」的威力，还促成了一个统一的证明，解决了「十杯马提尼猜想」的多种变体。
研究中，研究人员发现了一大类符合特定条件的算子，都具有一种「康托集」的特殊频谱结构。
为此，他们采用了对偶上同调的分析方法，同步发展了三个创新的通用工具：
- 扩展有限程算子类的 Kotani 理论应用范围
- 证明某类算子的点谱的单纯性
- 改进 Joaquim Puig 的论证方法，使其适用于全频率情况
如前所述，随后团队又利用改进的「全局理论」，攻克了该领域的另外两个关键问题。
截至目前，这已跨越半个世纪的科学旅程，如今已通过数学证明和实验验证得到确认。
中国团队的努力，提供了一个更普适的理论框架，让「霍夫施塔特蝴蝶」从一个奇思妙想，成为了数学与物理交互的里程碑。
参考资料：