【数学建模】非线性规划：线性规划的 “升级版“ 解法

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文章目录

- 例子一：基础款非线性规划
- - 第一步：给变量设个初始值
  - 第二步：定义线性约束
  - [第三步：调用求解函数 fmincon](#第三步：调用求解函数 fmincon)
  - [定义目标函数 f1](#定义目标函数 f1)
  - [定义非线性约束 nonlfun1](#定义非线性约束 nonlfun1)
- 例子二：带变量范围的非线性规划
- 例子三：燕双鹰打小怪兽（实际应用场景）
- - 问题设置
  - 求解与目标函数
- 总结一下

其实非线性规划没那么玄乎，你可以把它理解成线性规划的 "进阶版"------ 当约束条件或目标函数里出现了平方、乘积这类非线性关系时，就该它登场了。它的核心思路是：用函数来灵活表达那些 "变来变去" 的系数，轻松搞定线性规划搞不定的问题。

下面通过三个例子，手把手带你看看它是怎么用的。

例子一：基础款非线性规划

先从简单的开始，假设我们要解决这样一个问题：

目标：最小化函数 f (x) = x₁² + x₂² + x₃² + 8
约束条件：

线性不等式：-x₁ + x₂ - x₃ ≤ 0
非线性不等式：x₁ + x₂² + x₃² - 20 ≤ 0
非线性等式：-x₁ - x₂² + 2 = 0

第一步：给变量设个初始值

不管解什么方程，先给变量猜个初始值总没错，这里我们让 x₁、x₂、x₃都从 0 开始试：

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x0 = [0 0 0];  % x0就是初始猜测值

第二步：定义线性约束

线性约束比较 "规矩"，可以直接写成矩阵形式。比如 -x₁ + x₂ - x₃ ≤ 0 这个约束：

matlab

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A = [-1, 1, -1];  % 系数矩阵，对应-x₁、+x₂、-x₃
b = [0];  % 右边的常数，即使是0也得写上

第三步：调用求解函数 fmincon

MATLAB 里的 fmincon 是求解这类问题的利器，用法很直接：

matlab

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[x, val] = fmincon(@f1, x0, A, b, [], [], [], [], @nonlfun1);

这里的@f1和@nonlfun1是两个关键函数，分别定义目标函数和非线性约束。

定义目标函数 f1

就是把我们要最小化的函数写进去：

matlab

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function f = f1(x)
    % x(1)是x₁，x(2)是x₂，x(3)是x₃
    f = x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 + 8;  % 直接照抄目标函数
end

定义非线性约束 nonlfun1

非线性的约束（包括不等式和等式）都放这里：

matlab

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function [c, ceq] = nonlfun1(x)
    % c放非线性不等式约束（比如≤0的式子）
    c = [x(1) + x(2)^2 + x(3)^2 - 20];  % 对应x₁ + x₂² + x₃² ≤ 20
    
    % ceq放非线性等式约束（比如=0的式子）
    ceq = [-x(1) - x(2)^2 + 2];  % 对应-x₁ - x₂² + 2 = 0
end

例子二：带变量范围的非线性规划

再来个稍复杂的，这次给变量加了范围限制，还多了几个约束：

目标：最小化函数 f (x) = -x₁x₂x₃（其实就是最大化 x₁x₂x₃）
约束条件：

线性不等式：-x₁ + x₂ - x₃ ≤ 0
线性等式：x₁ - x₂ = 10
非线性不等式：x₁ + x₂² + x₃² - 20 ≤ 0、x₁x₂ - x₃ - 1 ≤ 0
变量范围：10 ≤ x₁ ≤ 20

关键参数设置

除了初始值和线性不等式，这次多了线性等式和变量范围：

matlab

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x0 = [0 0 0];  % 初始值

% 线性不等式：-x₁ + x₂ - x₃ ≤ 0
A = [-1, 1, -1];
b = [0];

% 线性等式：x₁ - x₂ = 10
Aeq = [1, -1, 0];  % 系数矩阵
beq = [10];        % 常数项

% 变量范围：x₁≥10、≤20，x₂和x₃无限制
lb = [10; -Inf; -Inf];  % 下限
ub = [20; +Inf; +Inf];  % 上限

调用求解函数

参数里加上线性等式和变量范围就行：

matlab

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[x, val] = fmincon(@f2, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, @nonlfun2);
val = -1 * val;  % 因为我们实际想最大化x₁x₂x₃，所以把结果反过来

目标函数和约束函数

目标函数 f2：

matlab

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function f = f2(x)
    f = -x(1)*x(2)*x(3);  % 最小化这个，等价于最大化x₁x₂x₃
end

非线性约束 nonlfun2（多个约束用分号隔开）：

matlab

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function [c, ceq] = nonlfun2(x)
    % 多个非线性不等式，用分号分开
    c = [x(1) + x(2)^2 + x(3)^2 - 20;  % 第一个不等式
         x(1)*x(2) - x(3) - 1];        % 第二个不等式
    
    ceq = [-x(1) - x(2)^2 + 2];  % 非线性等式
end

例子三：燕双鹰打小怪兽（实际应用场景）

最后这个例子更贴近实际问题（就像 "燕双鹰打小怪兽" 一样，要考虑各种资源分配）。假设有 12 个变量 xᵢⱼ，我们要在一堆约束下找到最优解。

问题设置

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x0 = zeros(1,12);  % 12个变量，初始值都设为0

% 线性等式约束：前6个变量和后6个变量分别等于特定值
Aeq = [eye(6), eye(6)];  % 系数矩阵
beq = [5;9;4;8;14;11];   % 等式右边的常数

% 线性不等式约束：前6个变量总和≤30，后6个变量总和≤20
A = [ones(1,6), zeros(1,6);  % 前6个变量的和
     zeros(1,6), ones(1,6)]; % 后6个变量的和
b = [30;20];  % 总和上限

% 变量范围：所有变量都≥0，无上限
lb = zeros(1,12);
ub = repmat(Inf, 1, 12);

求解与目标函数

直接调用 fmincon，这里没有非线性约束，最后一个参数用[]：

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[x, val] = fmincon(@f3, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, []);

目标函数 f3（这里考虑了成本、距离等综合因素）：

matlab

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function f = f3(x)
    x = x';  % 把行向量转成列向量，方便计算
    
    % 一些固定参数（比如成本系数、距离系数等）
    p1 = 3; p2 = 1; k1 = 1; k2 = 3;
    a = [1.37 9.45 4.43 6.66 3.14 15.92];
    b = [10.21 9.45 8.88 5 16.44 18];
    x1 = 4; y1 = 1; x2 = 8; y2 = 9;
    
    % 计算中间变量
    tmp_x = x ./ (x + 1);
    
    % 目标函数：综合成本+距离相关成本
    f = [repmat(p1, 1, 6), repmat(p2, 1, 6)] * x ...
        + sum(sqrt(sum(([a; b] - repmat([x1; y1], 1, 6)).^2)) .* k1 .* tmp_x(1:6)) ...
        + sum(sqrt(sum(([a; b] - repmat([x2; y2], 1, 6)).^2)) .* k2 .* tmp_x(7:12));
end

总结一下

非线性规划的核心就是：用fmincon函数，把目标函数、线性约束、非线性约束分开定义，再设置好变量的初始值和范围就行。

记住这几个关键点：

@f 是你要最小化的目标函数
A, b 放线性不等式约束（≤）
Aeq, beq 放线性等式约束（=）
lb, ub 设定变量的上下限
@nonlfun 放非线性的不等式（c）和等式（ceq）约束

跟着例子多试几次，你会发现非线性规划其实没那么难～