数学建模优秀论文算法-Savitzky-Golay滤波

Savitzky-Golay滤波算法教程

1. 引言与背景溯源

在信号处理中，平滑滤波 是抑制噪声、提取有效信息的核心步骤。传统的平滑方法（如移动平均、指数平滑）通过对局部窗口内的样本取平均实现噪声抑制，但存在致命缺陷：会显著平滑信号的高阶特征（如峰值、斜率、曲率），导致信号失真（例如光谱分析中的特征峰被"抹平"、心电图的QRS波形态畸变）。

1964年，美国科学家Abraham Savitzky和Marcel J. E. Golay在《Analytical Chemistry》发表论文《Smoothing and Differentiation of Data by Simplified Least Squares Procedures》，提出了一种基于局部多项式拟合的平滑方法 ------即Savitzky-Golay（SG）滤波。该方法的核心优势是：在平滑噪声的同时，能保持信号的高阶矩（如均值、方差、斜率、曲率）不变，因此广泛应用于光谱分析、色谱分析、生物信号处理（如心电图、脑电图）、机械振动监测等需要保留特征细节的领域。

2. 核心思想与基本概念

SG滤波的核心思想可概括为：用局部窗口内的低阶多项式拟合原始信号，以拟合多项式在窗口中心处的值作为滤波结果。这种方法本质是"加权平均"，但权重由多项式拟合的最小二乘解确定，而非简单的均匀权重（如移动平均）。

2.1 关键概念定义

为了后续推导清晰，先严格定义核心概念：

• 信号形式 ：假设原始信号为等间距采样 的离散序列 {yn}n=0N−1\{y_n\}_{n=0}^{N-1}{yn}n=0N−1，采样间隔为 Δx\Delta xΔx（通常取1以简化计算，此时自变量 xn=nx_n = nxn=n）。若采样间隔不为1，需对自变量进行归一化处理（令 t=(x−xi)/Δxt = (x - x_i)/\Delta xt=(x−xi)/Δx，将窗口内的自变量映射为以中心为0的整数序列）。
• 窗口大小 ：取奇数 W=2M+1W = 2M + 1W=2M+1（MMM 为窗口半宽），表示每个滤波结果由中心样本及左右各 MMM 个样本共同决定（如 M=2M=2M=2 对应窗口大小 W=5W=5W=5，覆盖中心样本+左右各2个样本）。
• 多项式阶数 ：假设窗口内的信号可由 kkk 阶多项式拟合，形式为：
  p(t)=a0+a1t+a2t2+⋯+aktk p(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + \dots + a_k t^k p(t)=a0+a1t+a2t2+⋯+aktk
  其中 ttt 是中心化后的自变量 （令窗口中心的 t=0t=0t=0），即对窗口内的第 jjj 个样本（相对中心的位置为 j=−M,−M+1,...,0,...,M−1,Mj=-M,-M+1,\dots,0,\dots,M-1,Mj=−M,−M+1,...,0,...,M−1,M），有 tj=jt_j = jtj=j（等间距采样且 Δx=1\Delta x=1Δx=1 时）。

2.2 核心优势的直观理解

传统移动平均的权重是均匀的（如5点平均的权重为 [1/5,1/5,1/5,1/5,1/5][1/5,1/5,1/5,1/5,1/5][1/5,1/5,1/5,1/5,1/5]），而SG滤波的权重由多项式拟合的最小二乘解确定（如5点2阶SG的权重为 [−3/35,12/35,17/35,12/35,−3/35][-3/35,12/35,17/35,12/35,-3/35][−3/35,12/35,17/35,12/35,−3/35]）。这种权重的差异带来两个关键优势：

1. 保留峰值位置：均匀权重会导致峰值向窗口中心偏移（如尖锐峰被"拉平"），而多项式拟合能准确捕捉峰的顶点（拟合多项式在中心处的极值与原始峰位置一致）；
2. 保留高阶特征 ：对线性信号（yn=a+bny_n = a + bnyn=a+bn），SG滤波后斜率 bbb 不变；对二次信号（yn=a+bn+cn2y_n = a + bn + cn^2yn=a+bn+cn2），曲率 2c2c2c 不变。

3. 算法原理与公式推导（进阶版）

SG滤波的推导过程分为模型建立→最小二乘求解→滤波系数推导→中心值计算四个步骤，以下展开详细推导：

3.1 多项式拟合的矩阵模型

对任意中心样本 yiy_iyi（对应自变量 xix_ixi），取其窗口内的 W=2M+1W=2M+1W=2M+1 个样本 {yi−M,yi−M+1,...,yi,...,yi+M}\{y_{i-M}, y_{i-M+1}, \dots, y_i, \dots, y_{i+M}\}{yi−M,yi−M+1,...,yi,...,yi+M}，对应的中心化自变量为 {t−M,t−M+1,...,t0,...,tM}\{t_{-M}, t_{-M+1}, \dots, t_0, \dots, t_M\}{t−M,t−M+1,...,t0,...,tM}（其中 tj=jt_j = jtj=j，t0=0t_0=0t0=0 为中心）。

假设窗口内的信号可由 kkk 阶多项式 p(t)p(t)p(t) 拟合，则每个样本 yi+jy_{i+j}yi+j 满足：
yi+j=p(tj)+ϵj=a0+a1tj+a2tj2+⋯+aktjk+ϵj(j=−M,...,M) y_{i+j} = p(t_j) + \epsilon_j = a_0 + a_1 t_j + a_2 t_j^2 + \dots + a_k t_j^k + \epsilon_j \quad (j=-M,\dots,M) yi+j=p(tj)+ϵj=a0+a1tj+a2tj2+⋯+aktjk+ϵj(j=−M,...,M)

其中 ϵj\epsilon_jϵj 是零均值的随机噪声（假设为高斯白噪声）。

将上述关系写成矩阵形式 ：
Y=XA+ϵ(1) \boldsymbol{Y} = \boldsymbol{X}\boldsymbol{A} + \boldsymbol{\epsilon} \tag{1} Y=XA+ϵ(1)

其中：

• Y=[yi−M,yi−M+1,...,yi+M]T\boldsymbol{Y} = [y_{i-M}, y_{i-M+1}, \dots, y_{i+M}]^TY=[yi−M,yi−M+1,...,yi+M]T：窗口内的观测值向量（W×1W \times 1W×1）；
• X\boldsymbol{X}X：设计矩阵（W×(k+1)W \times (k+1)W×(k+1)），每行对应一个样本的多项式项：
  X=[1t−Mt−M2...t−Mk1t−M+1t−M+12...t−M+1k⋮⋮⋮⋱⋮1tMtM2...tMk] \boldsymbol{X} = \begin{bmatrix} 1 & t_{-M} & t_{-M}^2 & \dots & t_{-M}^k \\ 1 & t_{-M+1} & t_{-M+1}^2 & \dots & t_{-M+1}^k \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_M & t_M^2 & \dots & t_M^k \end{bmatrix} X= 11⋮1t−Mt−M+1⋮tMt−M2t−M+12⋮tM2......⋱...t−Mkt−M+1k⋮tMk
• A=[a0,a1,...,ak]T\boldsymbol{A} = [a_0, a_1, \dots, a_k]^TA=[a0,a1,...,ak]T：多项式系数向量（(k+1)×1(k+1) \times 1(k+1)×1）；
• ϵ=[ϵ−M,ϵ−M+1,...,ϵM]T\boldsymbol{\epsilon} = [\epsilon_{-M}, \epsilon_{-M+1}, \dots, \epsilon_M]^Tϵ=[ϵ−M,ϵ−M+1,...,ϵM]T：噪声向量（W×1W \times 1W×1）。

3.2 最小二乘求解系数向量

SG滤波的目标是最小化噪声的残差平方和 （即拟合误差的L2范数）：
min⁡A∥Y−XA∥∗22=min⁡∗A(Y−XA)T(Y−XA) \min_{\boldsymbol{A}} \|\boldsymbol{Y} - \boldsymbol{X}\boldsymbol{A}\|*2^2 = \min*{\boldsymbol{A}} (\boldsymbol{Y} - \boldsymbol{X}\boldsymbol{A})^T (\boldsymbol{Y} - \boldsymbol{X}\boldsymbol{A}) Amin∥Y−XA∥∗22=min∗A(Y−XA)T(Y−XA)

为求解极值，对 A\boldsymbol{A}A 求偏导并令导数为零。根据矩阵求导法则：
∂∂A(Y−XA)T(Y−XA)=−2XT(Y−XA) \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{A}} (\boldsymbol{Y} - \boldsymbol{X}\boldsymbol{A})^T (\boldsymbol{Y} - \boldsymbol{X}\boldsymbol{A}) = -2\boldsymbol{X}^T (\boldsymbol{Y} - \boldsymbol{X}\boldsymbol{A}) ∂A∂(Y−XA)T(Y−XA)=−2XT(Y−XA)

令导数为零，得到正规方程 （Normal Equation）：
XTXA=XTY(2) \boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{X}^T \boldsymbol{Y} \tag{2} XTXA=XTY(2)

若 XTX\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}XTX 可逆（要求 W>k+1W > k+1W>k+1，即窗口大小大于多项式阶数+1，否则矩阵秩不足），则系数向量的解为：
A=(XTX)−1XTY(3) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X})^{-1} \boldsymbol{X}^T \boldsymbol{Y} \tag{3} A=(XTX)−1XTY(3)

3.3 滤波系数的推导（核心步骤）

SG滤波的结果是窗口中心样本的拟合值 ，即 p(t0)=p(0)p(t_0) = p(0)p(t0)=p(0)（因 t0=0t_0=0t0=0 为中心）。将 t=0t=0t=0 代入多项式 p(t)p(t)p(t)，得：
p(0)=a0+a1⋅0+a2⋅02+⋯+ak⋅0k=a0 p(0) = a_0 + a_1 \cdot 0 + a_2 \cdot 0^2 + \dots + a_k \cdot 0^k = a_0 p(0)=a0+a1⋅0+a2⋅02+⋯+ak⋅0k=a0

因此，滤波结果等价于多项式的常数项 a0a_0a0 。结合式(3)，a0a_0a0 是系数向量 A\boldsymbol{A}A 的第一个元素，可表示为：
a0=e1TA=e1T(XTX)−1XTY(4) a_0 = \boldsymbol{e}_1^T \boldsymbol{A} = \boldsymbol{e}_1^T (\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X})^{-1} \boldsymbol{X}^T \boldsymbol{Y} \tag{4} a0=e1TA=e1T(XTX)−1XTY(4)

其中 e1=[1,0,0,...,0]T\boldsymbol{e}_1 = [1, 0, 0, \dots, 0]^Te1=[1,0,0,...,0]T 是 (k+1)×1(k+1) \times 1(k+1)×1 的单位向量（第一个元素为1，其余为0）。

令滤波系数向量 c=[c−M,c−M+1,...,c0,...,cM]T\boldsymbol{c} = [c_{-M}, c_{-M+1}, \dots, c_0, \dots, c_M]^Tc=[c−M,c−M+1,...,c0,...,cM]T（W×1W \times 1W×1），则式(4)可改写为加权和形式 ：
y^∗i=a0=cTY=∑∗j=−MMcjyi+j(5) \hat{y}*i = a_0 = \boldsymbol{c}^T \boldsymbol{Y} = \sum*{j=-M}^M c_j y_{i+j} \tag{5} y^∗i=a0=cTY=∑∗j=−MMcjyi+j(5)

其中滤波系数 c\boldsymbol{c}c 的表达式为：
c=X(XTX)−1e1(6) \boldsymbol{c} = \boldsymbol{X} (\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X})^{-1} \boldsymbol{e}_1 \tag{6} c=X(XTX)−1e1(6)

推导说明 ：式(6)由式(4)变形而来------因为 cT=e1T(XTX)−1XT\boldsymbol{c}^T = \boldsymbol{e}_1^T (\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X})^{-1} \boldsymbol{X}^TcT=e1T(XTX)−1XT，两边转置后得到 c=X[(XTX)−1]Te1\boldsymbol{c} = \boldsymbol{X} [(\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X})^{-1}]^T \boldsymbol{e}_1c=X[(XTX)−1]Te1；又因为 XTX\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}XTX 是对称矩阵（(XTX)T=XTX(\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X})^T = \boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}(XTX)T=XTX），其逆矩阵也对称，故 [(XTX)−1]T=(XTX)−1[(\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X})^{-1}]^T = (\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X})^{-1}[(XTX)−1]T=(XTX)−1，最终得到式(6)。

3.4 等间距采样的简化计算（以5点2阶SG为例）

当信号等间距采样时，中心化后的 tjt_jtj 是对称整数序列（t−j=−tjt_{-j} = -t_jt−j=−tj），此时 XTX\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}XTX 是对称矩阵 ，且其非对角线元素中奇数阶项为零 （因 tjt_jtj 对称，∑j=−MMtjm+n=0\sum_{j=-M}^M t_j^{m+n} = 0∑j=−MMtjm+n=0 当 m+nm+nm+n 为奇数时）。以下以5点2阶SG滤波为例，详细展示系数计算过程：

步骤1：确定参数与 tjt_jtj 序列

取窗口大小 W=5W=5W=5（M=2M=2M=2，半宽为2），多项式阶数 k=2k=2k=2（二次多项式），则 tj=−2,−1,0,1,2t_j = -2, -1, 0, 1, 2tj=−2,−1,0,1,2（对称整数序列）。

步骤2：构造设计矩阵 X\boldsymbol{X}X

设计矩阵 X\boldsymbol{X}X 的每行对应 tjt_jtj 的多项式项（0阶、1阶、2阶）：
X=[1−2(−2)21−1(−1)2100211121222]=[1−241−11100111124] \boldsymbol{X} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & (-2)^2 \\ 1 & -1 & (-1)^2 \\ 1 & 0 & 0^2 \\ 1 & 1 & 1^2 \\ 1 & 2 & 2^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} X= 11111−2−1012(−2)2(−1)2021222 = 11111−2−101241014

步骤3：计算 XTX\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}XTX

根据矩阵乘法，XTX\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}XTX 的元素为 ∑j=−MMtjm+n\sum_{j=-M}^M t_j^{m+n}∑j=−MMtjm+n（m,n=0,1,2m,n=0,1,2m,n=0,1,2）：
XTX=[∑tj0∑tj1∑tj2∑tj1∑tj2∑tj3∑tj2∑tj3∑tj4] \boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X} = \begin{bmatrix} \sum t_j^0 & \sum t_j^1 & \sum t_j^2 \\ \sum t_j^1 & \sum t_j^2 & \sum t_j^3 \\ \sum t_j^2 & \sum t_j^3 & \sum t_j^4 \end{bmatrix} XTX= ∑tj0∑tj1∑tj2∑tj1∑tj2∑tj3∑tj2∑tj3∑tj4

代入 tj=−2,−1,0,1,2t_j = -2,-1,0,1,2tj=−2,−1,0,1,2 计算各项和：

• ∑tj0=5\sum t_j^0 = 5∑tj0=5（每个 tj0=1t_j^0=1tj0=1，共5项）；
• ∑tj1=(−2)+(−1)+0+1+2=0\sum t_j^1 = (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = 0∑tj1=(−2)+(−1)+0+1+2=0（奇数阶和为零）；
• ∑tj2=4+1+0+1+4=10\sum t_j^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10∑tj2=4+1+0+1+4=10；
• ∑tj3=(−8)+(−1)+0+1+8=0\sum t_j^3 = (-8) + (-1) + 0 + 1 + 8 = 0∑tj3=(−8)+(−1)+0+1+8=0（奇数阶和为零）；
• ∑tj4=16+1+0+1+16=34\sum t_j^4 = 16 + 1 + 0 + 1 + 16 = 34∑tj4=16+1+0+1+16=34。

因此：
XTX=[5010010010034] \boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 0 & 10 & 0 \\ 10 & 0 & 34 \end{bmatrix} XTX= 5010010010034

步骤4：求 XTX\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}XTX 的逆矩阵

对于对称矩阵，可通过伴随矩阵法 求逆。首先计算行列式：
det⁡(XTX)=5×(10×34−0×0)−0+10×(0×0−10×10)=5×340−10×100=1700−1000=700 \det(\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}) = 5 \times (10 \times 34 - 0 \times 0) - 0 + 10 \times (0 \times 0 - 10 \times 10) = 5 \times 340 - 10 \times 100 = 1700 - 1000 = 700 det(XTX)=5×(10×34−0×0)−0+10×(0×0−10×10)=5×340−10×100=1700−1000=700

然后计算伴随矩阵（对称矩阵的伴随矩阵也是对称的）：
adj(XTX)=[10×34−0×00−0×100×0−10×100−0×105×34−10×1010×0−5×00×0−10×1010×0−5×05×10−0×0]=[3400−1000700−100050] \text{adj}(\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}) = \begin{bmatrix} 10 \times 34 - 0 \times 0 & 0 - 0 \times 10 & 0 \times 0 - 10 \times 10 \\ 0 - 0 \times 10 & 5 \times 34 - 10 \times 10 & 10 \times 0 - 5 \times 0 \\ 0 \times 0 - 10 \times 10 & 10 \times 0 - 5 \times 0 & 5 \times 10 - 0 \times 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 340 & 0 & -100 \\ 0 & 70 & 0 \\ -100 & 0 & 50 \end{bmatrix} adj(XTX)= 10×34−0×00−0×100×0−10×100−0×105×34−10×1010×0−5×00×0−10×1010×0−5×05×10−0×0 = 3400−1000700−100050

因此逆矩阵为：
(XTX)−1=1det⁡(XTX)adj(XTX)=1700[3400−1000700−100050]=[17/350−1/701/100−1/701/14] (\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X})^{-1} = \frac{1}{\det(\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X})} \text{adj}(\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}) = \frac{1}{700} \begin{bmatrix} 340 & 0 & -100 \\ 0 & 70 & 0 \\ -100 & 0 & 50 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17/35 & 0 & -1/7 \\ 0 & 1/10 & 0 \\ -1/7 & 0 & 1/14 \end{bmatrix} (XTX)−1=det(XTX)1adj(XTX)=7001 3400−1000700−100050 = 17/350−1/701/100−1/701/14

步骤5：计算滤波系数 c\boldsymbol{c}c

根据式(6)，c=X(XTX)−1e1\boldsymbol{c} = \boldsymbol{X} (\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X})^{-1} \boldsymbol{e}_1c=X(XTX)−1e1。代入 e1=[1,0,0]T\boldsymbol{e}_1 = [1,0,0]^Te1=[1,0,0]T：
(XTX)−1e1=[17/350−1/7] (\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X})^{-1} \boldsymbol{e}_1 = \begin{bmatrix} 17/35 \\ 0 \\ -1/7 \end{bmatrix} (XTX)−1e1= 17/350−1/7

再与 X\boldsymbol{X}X 相乘：
c=[1−241−11100111124][17/350−1/7]=[17/35−0−4/717/35−0−1/717/35−0−017/35−0−1/717/35−0−4/7]=[−3/3512/3517/3512/35−3/35] \boldsymbol{c} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 17/35 \\ 0 \\ -1/7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17/35 - 0 - 4/7 \\ 17/35 - 0 - 1/7 \\ 17/35 - 0 - 0 \\ 17/35 - 0 - 1/7 \\ 17/35 - 0 - 4/7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3/35 \\ 12/35 \\ 17/35 \\ 12/35 \\ -3/35 \end{bmatrix} c= 11111−2−101241014 17/350−1/7 = 17/35−0−4/717/35−0−1/717/35−0−017/35−0−1/717/35−0−4/7 = −3/3512/3517/3512/35−3/35

最终，5点2阶SG滤波的结果为：
y^∗i=−335y∗i−2+1235yi−1+1735yi+1235yi+1−335yi+2 \hat{y}*i = -\frac{3}{35}y*{i-2} + \frac{12}{35}y_{i-1} + \frac{17}{35}y_i + \frac{12}{35}y_{i+1} - \frac{3}{35}y_{i+2} y^∗i=−353y∗i−2+3512yi−1+3517yi+3512yi+1−353yi+2

4. 完整模型求解步骤（精细化）

SG滤波的实际应用需遵循参数选择→系数预计算→逐点滤波→边界处理→结果输出的流程，以下展开每个步骤的细节：

4.1 参数选择（关键决策）

SG滤波的效果高度依赖窗口大小 WWW 和多项式阶数 kkk，需满足以下约束：

1. 窗口大小 WWW ：必须为奇数（保证窗口有中心样本），且 W>k+1W > k+1W>k+1（确保 XTX\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}XTX 可逆）。通常根据噪声强度选择：噪声越大，窗口越大（如噪声方差为 σ2\sigma^2σ2，窗口大小可按 W∝1/σW \propto 1/\sigmaW∝1/σ 调整）。
2. 多项式阶数 kkk ：通常取 k=2k=2k=2（适用于大多数平滑场景）或 k=3k=3k=3（适用于含曲率变化的信号）。需注意：阶数过高易过拟合（拟合噪声），阶数过低易欠拟合（无法捕捉信号趋势）。

参数优化方法 ：可通过交叉验证 选择最优参数------将信号分为训练集和验证集，尝试不同的 (W,k)(W,k)(W,k) 组合，选择验证集上均方误差（MSE）最小的组合。

4.2 预计算滤波系数

对选定的 WWW 和 kkk，预计算滤波系数 c\boldsymbol{c}c（仅需计算一次，可复用）：

1. 生成中心化的 tjt_jtj 序列：tj=−M,−M+1,...,0,...,Mt_j = -M, -M+1, \dots, 0, \dots, Mtj=−M,−M+1,...,0,...,M（其中 M=(W−1)/2M=(W-1)/2M=(W−1)/2）；
2. 构造设计矩阵 X\boldsymbol{X}X（W×(k+1)W \times (k+1)W×(k+1)）；
3. 计算 XTX\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}XTX 并求逆（利用对称性简化计算）；
4. 按式(6)计算滤波系数 c\boldsymbol{c}c。

4.3 逐点滤波计算

对原始信号的每个样本 yiy_iyi（i=0,1,...,N−1i=0,1,\dots,N-1i=0,1,...,N−1），执行以下操作：

1. 窗口样本提取 ：对中心样本 iii，提取窗口内的样本 {yi−M,yi−M+1,...,yi+M}\{y_{i-M}, y_{i-M+1}, \dots, y_{i+M}\}{yi−M,yi−M+1,...,yi+M}；
2. 加权求和 ：按式(5)计算滤波结果 y^∗i=∑∗j=−MMcjyi+j\hat{y}*i = \sum*{j=-M}^M c_j y_{i+j}y^∗i=∑∗j=−MMcjyi+j；
3. 边界处理 ：对于信号两端的 MMM 个样本（如 i<Mi < Mi<M 或 i>N−1−Mi > N-1-Mi>N−1−M），窗口无法完全覆盖，需采用以下方法处理：
   • 镜像扩展 （最常用）：将信号两端的样本镜像到外侧（如 i=0i=0i=0 时，窗口左侧的样本取 y1,y2y_1, y_2y1,y2 代替 y−1,y−2y_{-1}, y_{-2}y−1,y−2；i=N−1i=N-1i=N−1 时，窗口右侧的样本取 yN−2,yN−3y_{N-2}, y_{N-3}yN−2,yN−3 代替 yN,yN+1y_N, y_{N+1}yN,yN+1）；
   • 零填充：将外侧样本视为0（易引入偏差，仅适用于信号两端无重要信息的场景）；
   • 截断处理 ：直接使用现有样本（如 i=0i=0i=0 时，窗口为 {y0,y1,y2}\{y_0, y_1, y_2\}{y0,y1,y2}，此时需重新计算滤波系数，复杂度较高）。

4.4 结果输出

将所有滤波后的样本 {y^0,y^∗1,...,y^∗N−1}\{\hat{y}_0, \hat{y}*1, \dots, \hat{y}*{N-1}\}{y^0,y^∗1,...,y^∗N−1} 组合成最终的滤波信号。

5. 适用边界与局限性

SG滤波并非"万能滤波"，其适用场景与局限性需明确：

5.1 适用场景

1. 等间距采样信号 ：设计矩阵的构造基于等间距的 tjt_jtj，不等间距信号需重新计算 tjt_jtj（复杂度上升，且滤波效果下降）；
2. 需保留高阶特征的信号：如光谱峰、心电图的QRS波、机械振动的共振峰等，SG滤波能在平滑噪声的同时保留特征的位置、斜率与曲率；
3. 高斯白噪声主导的信号：SG滤波对高斯白噪声的抑制效果优于移动平均，且不会引入相位偏移（因滤波系数对称）。

5.2 局限性

1. 非平稳信号：若信号存在突变（如阶跃信号、脉冲信号），局部多项式拟合会导致突变处的"拖尾"失真（例如阶跃信号的上升沿被平滑成斜坡）；
2. 强脉冲噪声：SG滤波对脉冲噪声（如椒盐噪声）的抑制效果差，因脉冲噪声会严重影响多项式拟合的结果（需先通过中值滤波预处理）；
3. 参数敏感性：窗口大小或阶数选择不当会导致过拟合（阶数过高）或欠拟合（窗口过大），需通过交叉验证优化；
4. 计算复杂度：对大窗口或高阶多项式，矩阵求逆的计算量较大（但可通过预计算系数缓解）。

6. 总结

Savitzky-Golay滤波是一种基于局部多项式拟合的自适应平滑方法 ，其核心是通过最小二乘法求解多项式系数，并用中心处的拟合值作为滤波结果。与传统移动平均相比，SG滤波的优势在于保留信号的高阶特征，因此成为需要"平滑+保特征"场景的首选方法。

关键结论：

• 滤波结果是窗口内样本的加权和，权重由多项式拟合的最小二乘解确定；
• 等间距采样时，滤波系数仅与窗口大小和多项式阶数有关，与信号本身无关；
• 边界处理是实际应用中的关键步骤，镜像扩展是最优选择；
• 参数选择需平衡噪声抑制与特征保留，交叉验证是有效的优化方法。

通过合理选择参数，SG滤波能在噪声抑制与特征保留之间取得最佳平衡，是信号处理领域的经典算法之一。

案例介绍

生成模拟光谱数据：包含2个高斯特征峰、随机高斯白噪声，用于演示Savitzky-Golay滤波的噪声抑制与特征保留效果。

完整代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def generate_simulation_data(n_points=1000, noise_std=0.05):
    """
    生成带噪声的模拟光谱数据
    参数:
        n_points: 采样点数
        noise_std: 高斯白噪声标准差
    返回:
        x: 自变量（波长）
        y_raw: 原始无噪声信号
        y_noisy: 带噪声的信号
    """
    x = np.linspace(0, 10, n_points)
    # 两个高斯峰
    peak1 = np.exp(-(x - 3) ** 2 / 0.1)
    peak2 = np.exp(-(x - 7) ** 2 / 0.2)
    y_raw = peak1 + peak2
    # 加入高斯白噪声
    y_noisy = y_raw + np.random.normal(0, noise_std, n_points)
    return x, y_raw, y_noisy

def compute_sg_coefficients(window_size, poly_order):
    """
    计算Savitzky-Golay滤波系数
    参数:
        window_size: 窗口大小（必须为奇数）
        poly_order: 多项式阶数
    返回:
        coeffs: 滤波系数数组
    """
    # 确保窗口大小为奇数且满足约束条件
    if window_size % 2 == 0:
        raise ValueError("Window size must be odd")
    if window_size <= poly_order:
        raise ValueError("Window size must be larger than polynomial order")

    # 计算窗口半宽
    half_window = (window_size - 1) // 2
    # 生成中心化的自变量序列 t = -M, ..., 0, ..., M
    t = np.arange(-half_window, half_window + 1)
    # 构造设计矩阵 X (W × (k+1))，每行是 [t^0, t^1, ..., t^k]
    X = np.zeros((window_size, poly_order + 1))
    for i in range(window_size):
        for j in range(poly_order + 1):
            X[i, j] = t[i] ** j
    # 计算正规方程的系数矩阵 X^T X 并求逆
    XTX = np.dot(X.T, X)
    XTX_inv = np.linalg.inv(XTX)
    # 单位向量 e1 (第一个元素为1，其余为0)
    e1 = np.zeros(poly_order + 1)
    e1[0] = 1
    # 计算滤波系数 c = X (X^T X)^{-1} e1
    coeffs = np.dot(np.dot(X, XTX_inv), e1)
    return coeffs

def sg_filter(y, window_size, poly_order):
    """
    对信号应用Savitzky-Golay滤波
    参数:
        y: 原始信号数组
        window_size: 窗口大小（必须为奇数）
        poly_order: 多项式阶数
    返回:
        y_smooth: 滤波后的信号
    """
    coeffs = compute_sg_coefficients(window_size, poly_order)
    half_window = (window_size - 1) // 2
    n = len(y)
    y_smooth = np.zeros(n)

    # 处理中间样本
    for i in range(half_window, n - half_window):
        # 提取窗口内的样本
        window = y[i - half_window: i + half_window + 1]
        # 加权求和计算滤波值
        y_smooth[i] = np.dot(window, coeffs)

    # 处理左边界（镜像扩展）
    for i in range(half_window):
        # 镜像序列：y[0], y[1], ..., y[half_window], y[half_window-1], ..., y[half_window - (half_window - i) + 1]
        mirror_left = y[half_window - i: half_window + 1]
        # 填充右半部分
        if i < half_window:
            mirror_right = y[half_window: half_window + (half_window - i)]
        else:
            mirror_right = []
        # 组合镜像窗口
        window = np.concatenate([mirror_left, mirror_right])
        # 加权求和计算滤波值
        y_smooth[i] = np.dot(window, coeffs[:len(window)])

    # 处理右边界（镜像扩展）
    for i in range(n - half_window, n):
        # 镜像序列：y[n - half_window - 1], ..., y[n-1], y[n-2], ..., y[n - (i - (n - half_window)) - 2]
        mirror_right = y[n - half_window - 1: i][::-1]
        # 填充左半部分
        if i < n - 1:
            mirror_left = y[i: i + (n - i - 1)][::-1]
        else:
            mirror_left = []
        # 组合镜像窗口
        window = np.concatenate([mirror_left, mirror_right])
        # 加权求和计算滤波值
        y_smooth[i] = np.dot(window, coeffs[-len(window):])

    return y_smooth

# 主程序
if __name__ == "__main__":
    # 生成模拟数据
    x, y_raw, y_noisy = generate_simulation_data()
    # 设置SG滤波参数
    window_size = 21
    poly_order = 3
    # 应用SG滤波
    y_smoothed = sg_filter(y_noisy, window_size, poly_order)

    # 绘制结果
    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.plot(x, y_raw, 'k--', label='Original Signal', linewidth=2)
    plt.plot(x, y_noisy, 'r', label='Noisy Signal', alpha=0.5)
    plt.plot(x, y_smoothed, 'b', label='SG Smoothed Signal', linewidth=2)
    plt.xlabel('Wavelength')
    plt.ylabel('Intensity')
    plt.title('Savitzky-Golay Filtering Demonstration')
    plt.legend()
    plt.grid(True)
    plt.show()

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代码深度解析：Savitzky-Golay（SG）滤波模拟光谱去噪

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一、整体框架与背景

代码功能：生成带高斯峰+高斯白噪声的模拟光谱数据，实现Savitzky-Golay滤波 （多项式滑动窗口滤波）的噪声抑制，并可视化对比效果。核心原理：在滑动窗口内用多项式拟合信号，取拟合多项式在窗口中心的值作为滤波输出，同时保留信号的特征（如峰位、峰形）和高阶导数信息（光谱建模的关键需求）。

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二、逐模块解析

1. 导入依赖库

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

• numpy：提供高效的数值计算（数组运算、矩阵求逆等），是SG滤波的数学核心依赖。
• matplotlib.pyplot：用于可视化原始信号、噪声信号、滤波结果的对比。

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2. 模拟光谱数据生成 generate_simulation_data

def generate_simulation_data(n_points=1000, noise_std=0.05):
    x = np.linspace(0, 10, n_points)
    # 两个高斯峰
    peak1 = np.exp(-(x - 3) ** 2 / 0.1)
    peak2 = np.exp(-(x - 7) ** 2 / 0.2)
    y_raw = peak1 + peak2
    # 加入高斯白噪声
    y_noisy = y_raw + np.random.normal(0, noise_std, n_points)
    return x, y_raw, y_noisy

• 参数 ：n_points（采样点数，默认1000）、noise_std（高斯白噪声标准差，默认0.05，模拟光谱测量噪声）。
• 自变量x ：用np.linspace生成[0,10]范围内的均匀采样波长（光谱常见的自变量类型）。
• 高斯峰构造 ：单个高斯峰的数学形式为 f(x)=exp⁡(−(x−μ)2γ)f(x) = \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{\gamma}\right)f(x)=exp(−γ(x−μ)2)，其中：
  • peak1：μ=3（峰位），γ=0.1（带宽，γ越小峰越窄）；
  • peak2：μ=7（峰位），γ=0.2（带宽，比peak1宽）；
    两个峰叠加得到无噪声原始光谱y_raw。
• 噪声叠加 ：用np.random.normal生成均值为0、标准差为noise_std的高斯白噪声，叠加到原始光谱上得到带噪声光谱y_noisy。

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3. SG滤波系数计算 compute_sg_coefficients（数学核心！）

def compute_sg_coefficients(window_size, poly_order):
    # 约束检查
    if window_size % 2 == 0:
        raise ValueError("Window size must be odd")
    if window_size <= poly_order:
        raise ValueError("Window size must be larger than polynomial order")

    half_window = (window_size - 1) // 2
    t = np.arange(-half_window, half_window + 1)  # 中心化位置坐标
    X = np.zeros((window_size, poly_order + 1))    # 设计矩阵
    for i in range(window_size):
        for j in range(poly_order + 1):
            X[i, j] = t[i] ** j
    XTX = np.dot(X.T, X)
    XTX_inv = np.linalg.inv(XTX)
    e1 = np.zeros(poly_order + 1)
    e1[0] = 1
    coeffs = np.dot(np.dot(X, XTX_inv), e1)
    return coeffs

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3.1 约束检查的数学意义

• window_size % 2 == 0：窗口大小必须为奇数，保证窗口存在「中心采样点」（SG滤波的核心是取窗口中心的拟合值）。
• window_size <= poly_order：窗口大小必须大于多项式阶数，若等于则多项式拟合会过拟合窗口内的噪声，且正规方程矩阵不可逆。

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3.2 设计矩阵与最小二乘法推导

SG滤波的本质是：在滑动窗口内用k阶多项式拟合信号，取拟合多项式在窗口中心的值作为滤波输出。

1. 中心化坐标t ：设窗口半宽为M=half_window，则窗口内的位置坐标为 t∈[−M,−M+1,...,0,...,M−1,M]t \in [-M, -M+1, ..., 0, ..., M-1, M]t∈[−M,−M+1,...,0,...,M−1,M]（以窗口中心为0点，简化计算）。
2. k阶多项式模型 ：设拟合多项式为 P(t)=a0+a1t+a2t2+...+aktkP(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + ... + a_k t^kP(t)=a0+a1t+a2t2+...+aktk，其中 k=polyorderk=poly_orderk=polyorder，a=[a0,a1,...,ak]T\mathbf{a} = [a_0, a_1, ..., a_k]^Ta=[a0,a1,...,ak]T 为多项式系数。
3. 设计矩阵X ：形状为(window_size, poly_order+1)，每行对应窗口内的一个采样点，列对应 t0,t1,...,tkt^0, t^1, ..., t^kt0,t1,...,tk，即：
   X=[t10t11...t1kt20t21...t2k............tW0tW1...tWk](W=window_size)X = \begin{bmatrix} t_1^0 & t_1^1 & ... & t_1^k \\ t_2^0 & t_2^1 & ... & t_2^k \\ ... & ... & ... & ... \\ t_W^0 & t_W^1 & ... & t_W^k \end{bmatrix} \quad (W=window\_size)X= t10t20...tW0t11t21...tW1............t1kt2k...tWk (W=window_size)
4. 最小二乘解 ：最小化窗口内信号 yw\mathbf{y}_wyw 与拟合值 XaX\mathbf{a}Xa 的残差平方和，得到正规方程：
   XTXa=XTyw  ⟹  a=(XTX)−1XTywX^T X \mathbf{a} = X^T \mathbf{y}_w \implies \mathbf{a} = (X^T X)^{-1} X^T \mathbf{y}_wXTXa=XTyw⟹a=(XTX)−1XTyw
5. 滤波系数coeffs的计算 ：
   • 拟合多项式在窗口中心t=0处的值 为 P(0)=a0P(0) = a_0P(0)=a0（因为 t=0t=0t=0 时高阶项全为0）；
   • 用单位向量 e1=[1,0,...,0]T\mathbf{e}_1 = [1, 0, ..., 0]^Te1=[1,0,...,0]T 提取 a0a_0a0，即 a0=e1Taa_0 = \mathbf{e}_1^T \mathbf{a}a0=e1Ta；
   • 代入最小二乘解，得到：
     P(0)=e1T(XTX)−1XTywP(0) = \mathbf{e}_1^T (X^T X)^{-1} X^T \mathbf{y}_wP(0)=e1T(XTX)−1XTyw
   • 令 coeffs=X(XTX)−1e1\text{coeffs} = X (X^T X)^{-1} \mathbf{e}_1coeffs=X(XTX)−1e1，则 P(0)=ywT⋅coeffsP(0) = \mathbf{y}_w^T \cdot \text{coeffs}P(0)=ywT⋅coeffs（内积运算），这就是代码中滤波系数的物理意义。

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4. SG滤波应用 sg_filter

def sg_filter(y, window_size, poly_order):
    coeffs = compute_sg_coefficients(window_size, poly_order)
    half_window = (window_size - 1) // 2
    n = len(y)
    y_smooth = np.zeros(n)

    # 中间样本处理（无边界问题）
    for i in range(half_window, n - half_window):
        window = y[i - half_window: i + half_window + 1]
        y_smooth[i] = np.dot(window, coeffs)

    # 左边界处理（镜像扩展避免失真）
    for i in range(half_window):
        mirror_left = y[half_window - i: half_window + 1]
        mirror_right = y[half_window: half_window + (half_window - i)] if i < half_window else []
        window = np.concatenate([mirror_left, mirror_right])
        y_smooth[i] = np.dot(window, coeffs[:len(window)])

    # 右边界处理（镜像扩展避免失真）
    for i in range(n - half_window, n):
        mirror_right = y[n - half_window - 1: i][::-1]
        mirror_left = y[i: i + (n - i - 1)][::-1] if i < n - 1 else []
        window = np.concatenate([mirror_left, mirror_right])
        y_smooth[i] = np.dot(window, coeffs[-len(window):])

    return y_smooth

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4.1 中间样本处理

• 当窗口中心i满足 half_window ≤ i < n - half_window 时，窗口完全落在信号内部，直接提取窗口内的y值与滤波系数coeffs做内积，得到滤波结果。

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4.2 边界处理（关键优化！）

当窗口中心i接近信号两端时，窗口会超出信号范围，若直接截断会导致边界失真。代码采用镜像扩展策略：

• 左边界 ：将窗口超出左边界的部分，用中心右侧的对称信号镜像填充（如i=0时，用y[0], y[1], ..., y[M]的镜像替代左半部分）。
• 右边界 ：将窗口超出右边界的部分，用中心左侧的对称信号镜像填充（如i=n-1时，用y[n-1], y[n-2], ..., y[n-M-1]的镜像替代右半部分）。
• 扩展后的窗口与对应长度的滤波系数（左边界用前半系数，右边界用后半系数）做内积，保证边界滤波的连续性。

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5. 主程序与可视化

if __name__ == "__main__":
    # 生成模拟数据
    x, y_raw, y_noisy = generate_simulation_data()
    # SG滤波参数设置（常用组合：窗口21，3次多项式）
    window_size = 21
    poly_order = 3
    # 应用滤波
    y_smoothed = sg_filter(y_noisy, window_size, poly_order)

    # 可视化对比
    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.plot(x, y_raw, 'k--', label='Original Signal', linewidth=2)
    plt.plot(x, y_noisy, 'r', label='Noisy Signal', alpha=0.5)
    plt.plot(x, y_smoothed, 'b', label='SG Smoothed Signal', linewidth=2)
    plt.xlabel('Wavelength')
    plt.ylabel('Intensity')
    plt.title('Savitzky-Golay Filtering Demonstration')
    plt.legend()
    plt.grid(True)
    plt.show()

• 参数设置 ：window_size=21（窗口半宽10，覆盖21个采样点）、poly_order=3（3次多项式，平衡噪声抑制与特征保留）。
• 可视化 ：
  • 黑色虚线：无噪声原始光谱（真实特征）；
  • 红色半透明：带噪声光谱（模拟测量数据）；
  • 蓝色实线：SG滤波后的光谱（噪声抑制效果）；
  • 清晰对比SG滤波在保留高斯峰形、峰位的同时，有效抑制噪声的效果。

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三、建模亮点与优化方向

1. 模拟数据合理性：高斯峰+高斯白噪声符合光谱测量的真实场景，适合滤波算法的验证。
2. SG滤波优势 ：相比滑动平均滤波，SG滤波能保留信号的高阶导数信息（如峰的斜率、曲率），是光谱特征提取、导数光谱计算的首选方法。
3. 边界处理优化：镜像扩展避免了边界失真，比零填充、截断更适合光谱等连续信号。
4. 参数调优空间 ：
   • 窗口大小：增大窗口可增强去噪效果，但易平滑峰形；减小窗口则保留细节但去噪不足。
   • 多项式阶数：阶数越高越易拟合噪声，阶数越低越易丢失特征（通常选择2-4阶）。

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以上解析结合了数学原理与代码逻辑，覆盖了SG滤波的核心思想、实现细节与建模应用，可直接用于论文撰写或队友讲解。