一、引言
椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography, ECC）是现代公钥密码学的核心工具之一。
相比传统的 RSA，ECC 可以用 更短的密钥长度 提供 同等甚至更高的安全性，因此被广泛应用于区块链、TLS、移动设备加密等场景。
要理解 ECC，必须先了解它背后的数学结构 ------ 椭圆曲线上的点运算。本文将从基础开始，逐步介绍椭圆曲线的数学原理。
二、椭圆曲线方程
一个椭圆曲线通常由如下方程表示：
y2=x3+ax+b y^2 = x^3 + ax + b y2=x3+ax+b
其中 a,ba, ba,b 是常数，要求曲线 无奇异点（即没有自相交和尖点），满足：
4a3+27b2≠0 4a^3 + 27b^2 \neq 0 4a3+27b2=0
在实数范围内，这条曲线看起来像一条光滑的对称曲线：
- 关于 x 轴对称
- 呈"S"形或"波浪"形
但在密码学中，我们不会在实数范围上研究，而是定义在 有限域 Fp\mathbb{F}_pFp （模素数 ppp）上的椭圆曲线。
三、有限域上的椭圆曲线
在有限域中，所有运算都取模 ppp：
y2≡x3+ax+b(modp) y^2 \equiv x^3 + ax + b \pmod p y2≡x3+ax+b(modp)
例如：
选择 p=17,a=2,b=2p = 17, a = 2, b = 2p=17,a=2,b=2，曲线为：
y2≡x3+2x+2(mod17) y^2 \equiv x^3 + 2x + 2 \pmod{17} y2≡x3+2x+2(mod17)
我们可以枚举 x∈[0,16]x \in [0,16]x∈[0,16]，找到满足条件的点 (x,y)(x,y)(x,y)，这就是曲线上的点集。
四、点运算（群结构）
ECC 的核心不是曲线方程本身，而是 曲线点上的运算规则 。
椭圆曲线上的点（包括一个"无穷远点" OOO）形成一个 群，支持以下运算：
-
点加法 P+QP+QP+Q
- 几何直观：过两点作直线，直线与曲线相交于第三点 RRR，再取 RRR 关于 x 轴的对称点。
- 特殊情况：P=QP=QP=Q 时，用切线定义加法。
-
点倍乘 kPkPkP
- 相当于 P+P+...+PP+P+...+PP+P+...+P（共 kkk 次）。
- 在 ECC 中，公钥计算就是 点倍乘。
五、ECC 的安全性来源
- 容易 ：给定 PPP 和整数 kkk，计算 Q=kPQ = kPQ=kP 很快。
- 困难 ：给定 PPP 和 QQQ，求 kkk 很难（椭圆曲线离散对数问题，ECDLP）。
这种 单向性 是 ECC 的安全核心。
六、Go 语言小实验：有限域椭圆曲线点加法
下面我们用 Go 写一个小程序，在有限域 p=17p=17p=17 上实现椭圆曲线点加法。
go
package main
import (
"fmt"
"math/big"
)
// 椭圆曲线参数: y^2 = x^3 + ax + b mod p
var p = big.NewInt(17)
var a = big.NewInt(2)
var b = big.NewInt(2)
// 点结构
type Point struct {
x, y *big.Int
inf bool // 是否是无穷远点
}
// 取模
func mod(v *big.Int) *big.Int {
r := new(big.Int).Mod(v, p)
if r.Sign() < 0 {
r.Add(r, p)
}
return r
}
// 逆元
func modInverse(v *big.Int) *big.Int {
return new(big.Int).ModInverse(v, p)
}
// 点加法
func add(P, Q Point) Point {
// 处理无穷远点
if P.inf {
return Q
}
if Q.inf {
return P
}
var m *big.Int
if P.x.Cmp(Q.x) == 0 && P.y.Cmp(Q.y) == 0 {
// P == Q, 切线斜率
num := new(big.Int).Mul(big.NewInt(3), new(big.Int).Mul(P.x, P.x))
num.Add(num, a)
den := new(big.Int).Mul(big.NewInt(2), P.y)
m = new(big.Int).Mul(num, modInverse(den))
} else {
// P != Q, 直线斜率
num := new(big.Int).Sub(Q.y, P.y)
den := new(big.Int).Sub(Q.x, P.x)
m = new(big.Int).Mul(num, modInverse(den))
}
m = mod(m)
xr := mod(new(big.Int).Sub(new(big.Int).Sub(new(big.Int).Mul(m, m), P.x), Q.x))
yr := mod(new(big.Int).Sub(new(big.Int).Mul(m, new(big.Int).Sub(P.x, xr)), P.y))
return Point{xr, yr, false}
}
func main() {
P := Point{big.NewInt(5), big.NewInt(1), false}
Q := Point{big.NewInt(6), big.NewInt(3), false}
R := add(P, Q)
fmt.Printf("P=(%v,%v), Q=(%v,%v)\n", P.x, P.y, Q.x, Q.y)
fmt.Printf("P+Q=(%v,%v)\n", R.x, R.y)
}运行结果示例：
P=(5,1), Q=(6,3)
P+Q=(10,6)说明在有限域上，椭圆曲线点运算是完全可行的。
七、总结
本文介绍了椭圆曲线的数学基础，包括：
- 椭圆曲线方程及有限域定义
- 点加法和点倍乘运算
- ECC 的安全来源 ------ 椭圆曲线离散对数问题