两条平面直线之间通过三次多项式曲线进行过渡的方法介绍

在工程设计、道路规划或机器人路径规划中,常需要使用一条光滑的曲线(如三次多项式曲线)来平滑连接两条平面直线。以下介绍一种常见的方法,实现两条直线之间的 G¹连续(即位置和切线方向连续)的三次多项式过渡。

一、问题描述

设有两条平面直线:

  • 直线1:起点为 (x₀, y₀),方向向量为 (dx₁, dy₁)
  • 直线2:终点为 (x₃, y₃),方向向量为 (dx₂, dy₂)

我们希望设计一条三次多项式参数曲线,在起点处与直线1相切,在终点处与直线2相切,实现平滑过渡。

二、参数化三次多项式曲线

采用参数形式表示过渡曲线:

x(t) = aₓ + bₓt + cₓt² + dₓt³

y(t) = aᵧ + bᵧt + cᵧt² + dᵧt³

其中,参数 t ∈ [0, 1],t = 0 对应起点,t = 1 对应终点。

三、边界条件(G¹ 连续)

为保证平滑连接,设定以下四个边界条件:

  1. 起点位置匹配直线1:

    x(0) = x₀

    y(0) = y₀

  2. 终点位置匹配直线2:

    x(1) = x₃

    y(1) = y₃

  3. 起点切线方向与直线1一致:

    x′(0) = k₁·dx₁

    y′(0) = k₁·dy₁

    (k₁ 为比例系数,控制起点切线长度)

  4. 终点切线方向与直线2一致:

    x′(1) = k₂·dx₂

    y′(1) = k₂·dy₂

    (k₂ 为比例系数,控制终点切线长度)

四、求解系数

对参数曲线求导:

x′(t) = bₓ + 2cₓt + 3dₓt²

y′(t) = bᵧ + 2cᵧt + 3dᵧt²

代入边界条件,解得:

x方向系数:

aₓ = x₀

bₓ = k₁·dx₁

cₓ = 3(x₃ - x₀) - 2k₁·dx₁ - k₂·dx₂

dₓ = -2(x₃ - x₀) + k₁·dx₁ + k₂·dx₂

y方向系数:

aᵧ = y₀

bᵧ = k₁·dy₁

cᵧ = 3(y₃ - y₀) - 2k₁·dy₁ - k₂·dy₂

dᵧ = -2(y₃ - y₀) + k₁·dy₁ + k₂·dy₂

五、使用说明

  1. 参数 k₁ 和 k₂ 可根据过渡长度和曲率要求调整,通常取正值。
  2. 若两条直线平行,可简化为对称过渡。
  3. 曲线整体光滑,适用于路径规划、CAD建模等场景。
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