在三维空间中，平面方程用于描述所有位于同一平面上的点的集合。平面方程的常见形式及其推导和性质如下：
1. 一般式（General Form）
方程形式 ：
Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0Ax+By+Cz+D=0
其中，A,B,CA, B, CA,B,C不同时为零，且(A,B,C)(A, B, C)(A,B,C)是平面的法向量（垂直于平面的向量）。
推导 ：
平面由法向量n=(A,B,C)\mathbf{n} = (A, B, C)n=(A,B,C)和平面上一点P0(x0,y0,z0)P_0(x_0, y_0, z_0)P0(x0,y0,z0)确定。对于平面上任意一点P(x,y,z)P(x, y, z)P(x,y,z)，向量P0P→=(x−x0,y−y0,z−z0)\overrightarrow{P_0P} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)P0P =(x−x0,y−y0,z−z0)与法向量垂直，因此点积为零：
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0
展开后得到一般式：
Ax+By+Cz−(Ax0+By0+Cz0)=0Ax + By + Cz - (Ax_0 + By_0 + Cz_0) = 0Ax+By+Cz−(Ax0+By0+Cz0)=0
令D=−(Ax0+By0+Cz0)D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)D=−(Ax0+By0+Cz0)，即得一般式。
性质：
- 法向量n=(A,B,C)\mathbf{n} = (A, B, C)n=(A,B,C)决定了平面的方向。
- 平面到原点的距离为∣D∣A2+B2+C2\frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}A2+B2+C2 ∣D∣（需确保法向量已归一化）。
2. 点法式（Point-Normal Form）
方程形式 ：
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0
直接由法向量n=(A,B,C)\mathbf{n} = (A, B, C)n=(A,B,C)和平面上一点P0(x0,y0,z0)P_0(x_0, y_0, z_0)P0(x0,y0,z0)推导而来。
应用 ：
已知法向量和一点时，可直接写出方程。例如，法向量(1,2,3)(1, 2, 3)(1,2,3)过点(1,1,1)(1, 1, 1)(1,1,1)的平面方程为：
1(x−1)+2(y−1)+3(z−1)=01(x - 1) + 2(y - 1) + 3(z - 1) = 01(x−1)+2(y−1)+3(z−1)=0
化简为一般式：
x+2y+3z−6=0x + 2y + 3z - 6 = 0x+2y+3z−6=0
3. 截距式（Intercept Form）
方程形式 ：
xa+yb+zc=1\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1ax+by+cz=1
其中，a,b,ca, b, ca,b,c分别是平面在x,y,zx, y, zx,y,z轴上的截距（即平面与坐标轴的交点坐标）。
推导 ：
平面与xxx轴交于(a,0,0)(a, 0, 0)(a,0,0)，与yyy轴交于(0,b,0)(0, b, 0)(0,b,0)，与zzz轴交于(0,0,c)(0, 0, c)(0,0,c)。通过这三点可确定平面方程。例如，代入一般式：
Aa+D=0⇒A=−DaAa + D = 0 \Rightarrow A = -\frac{D}{a}Aa+D=0⇒A=−aD
同理B=−DbB = -\frac{D}{b}B=−bD，C=−DcC = -\frac{D}{c}C=−cD。代入一般式并约去DDD（D≠0D \neq 0D=0）得截距式。
应用 ：
已知截距时直接使用。例如，截距为(2,3,4)(2, 3, 4)(2,3,4)的平面方程为：
x2+y3+z4=1\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 12x+3y+4z=1
化为一般式：
6x+4y+3z−12=06x + 4y + 3z - 12 = 06x+4y+3z−12=0
4. 参数式（Parametric Form）
方程形式 ：
通过平面上的两个方向向量v1=(u1,v1,w1)\mathbf{v}_1 = (u_1, v_1, w_1)v1=(u1,v1,w1)和v2=(u2,v2,w2)\mathbf{v}_2 = (u_2, v_2, w_2)v2=(u2,v2,w2)，以及平面上一点P0(x0,y0,z0)P_0(x_0, y_0, z_0)P0(x0,y0,z0)，平面上的任意点P(x,y,z)P(x, y, z)P(x,y,z)可表示为：
$
\begin{cases}
x = x_0 + s u_1 + t u_2 \
y = y_0 + s v_1 + t v_2 \
z = z_0 + s w_1 + t w_2
\end{cases}
$
其中s,ts, ts,t为参数。
应用 ：
适用于已知平面上的两个方向向量和一点的情况。例如，方向向量(1,0,1)(1, 0, 1)(1,0,1)和(0,1,1)(0, 1, 1)(0,1,1)，过点(0,0,0)(0, 0, 0)(0,0,0)的平面参数方程为：
$
\begin{cases}
x = s \
y = t \
z = s + t
\end{cases}
$
消去参数s,ts, ts,t可得一般式：
x−y+z=0x - y + z = 0x−y+z=0
5. 特殊情况
-
垂直于坐标轴的平面：
- 垂直于xxx轴：x=kx = kx=k（法向量(1,0,0)(1, 0, 0)(1,0,0)）。
- 垂直于yyy轴：y=ky = ky=k（法向量(0,1,0)(0, 1, 0)(0,1,0)）。
- 垂直于zzz轴：z=kz = kz=k（法向量(0,0,1)(0, 0, 1)(0,0,1)）。
-
平行于坐标平面的平面：
- 平行于xyxyxy-平面：z=kz = kz=k。
- 平行于xzxzxz-平面：y=ky = ky=k。
- 平行于yzyzyz-平面：x=kx = kx=k。
总结
- 一般式 Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0Ax+By+Cz+D=0是最通用的形式，法向量为(A,B,C)(A, B, C)(A,B,C)。
- 点法式 和截距式是特殊形式的简化表达。
- 参数式适用于描述平面上的所有点，通过方向向量和参数表示。
- 特殊平面（如垂直于坐标轴或平行于坐标平面）有简化的方程形式。
示例 ：
求过点(1,2,3)(1, 2, 3)(1,2,3)且法向量为(2,−1,4)(2, -1, 4)(2,−1,4)的平面方程。
解 ：
直接使用点法式：
2(x−1)−1(y−2)+4(z−3)=02(x - 1) - 1(y - 2) + 4(z - 3) = 02(x−1)−1(y−2)+4(z−3)=0
展开得一般式：
2x−y+4z−12=02x - y + 4z - 12 = 02x−y+4z−12=0