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弗洛伊德算法
佛洛依德(Floyd)算法介绍
1）和Dijkstra算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一，1978年图灵奖获得者，斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特.弗洛伊德命名
2）弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径，比如以A顶点为出发顶点到其他六个顶点的最短路径是多少，紧接着又会以B这个顶点为出发顶点，求出从B这个顶点到其他六个顶点的最短路径，依此类推
3）迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。
4）弗洛伊德算法VS迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法是选一个顶点，求出这个顶点到其他顶点的最短路径；而弗洛伊德算法是把每个顶点都看作出发顶点(比如有七个顶点，七个顶点都会依次作为出发顶点)，求出每个顶点到其他顶点的最短路径
弗洛伊德(Floyd)算法图解分析
1）设置顶点vi到顶点vk的最短路径已知为Lik (L表示Length, i表示i顶点， k表示k顶点), 顶点vk到vj的最短路径已知为Lkj , 顶点vi到vj的路径为Lij ,则vi到vj的最短路径为：
min((Lik+Lkj),Lij)，vk的取值为图中所有顶点，则可获得vi到vj的最短路径。
2）至于vi到vk的最短路径Lik或者vk到vj的最短路径Lkj，是以同样的方式获得的
i------k------j (i这个顶点通过k这个顶点到达j这个顶点) Lik+Lkj=Lij
i------j (也有可能i和j是直接可以连通) Lij
通过比较才能知道i到j的最短路径是哪个，如果Lij小，则最短路径是Lij，如果Lik+Lkj小(也就是通过这个中间顶点到达的距离更小，就把这个和记为最短路径)，则最短路径为Lik+Lkj
3）弗洛伊德(Floyd)算法图解分析---举例说明
自己跟自己相连距离为0，N代表不可直连
初始顶点前驱关系：
第一轮循环中，以A(下标为0)作为中间顶点
即把A作为中间顶点的所有情况都进行遍历，在遍历的过程中更新距离表和前驱关系表
将A作为中间顶点情况有
- C---A---G [距离9]
- C---A---B [距离12]
- G---A---B [距离7]
距离表和前驱关系表更新为
第二轮循环中，以B(下标为:1)作为中间节点
第三轮循环中，以C(下标为:2)作为中间节点,依此类推
中间顶点 [A,B,C,D,E,F,G] k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
出发顶点 [A,B,C,D,E,F,G] i=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
终点 [A,B,C,D,E,F,G] j=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
这里用到了三层for循环，最后得到每一个顶点到其他顶点的最短距离，最后的结果在距离表里面
弗洛伊德(Floyd)算法最佳应用---最短路径
1）胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G)
- 各个村庄的距离用边线表示(权)，比如A---B距离5公里
3）问：如何计算出各村庄到其他各村庄的最短距离？
代码实现
c#
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
namespace Floyd
{
class FloydAlgorithm
{
static void Main(string[] args)
{
//测试图是否创建成功
char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' }; // 顶点数组
//创建邻接矩阵
int[,] matrix = new int[vertex.Length, vertex.Length];
int N = 65535; //表示不可直连
matrix = new int[,]
{
{0,5,7,N,N,N,2 },
{5,0,N,9,N,N,3 },
{7,N,0,N,8,N,N },
{N,9,N,0,N,4,N },
{N,N,8,N,0,5,4 },
{N,N,N,4,5,0,6 },
{2,3,N,N,4,6,0 },
};
//创建图对象
Grap grap = new Grap(vertex.Length, matrix, vertex);
//调用弗洛伊德算法
grap.floyd();
grap.show();
}
}
//创建图
class Grap
{
//属性
char[] vertex; //存放顶点的数组
private int[,] dis; //距离表:从各个顶点出发到其他顶点的距离，最后的结果，也是保留在该数组
private int[,] pre; //保存到达目标顶点的前驱顶点
//构造器
/// <summary>
///
/// </summary>
/// <param name="length">顶点的个数</param>
/// <param name="matrix">邻接矩阵</param>
/// <param name="vertex">顶点数组</param>
public Grap(int length,int[,] matrix,char[] vertex)
{
this.vertex = vertex;
this.dis = matrix;
this.pre = new int[length, length];
//对pre数组进行初始化,注意存放的是前驱节点的下标
for (int i = 0; i < length; i++)
{
for (int j = 0; j < length; j++)
{
pre[i, j] = i;
}
}
}
//显示pre数组和dis数组
public void show()
{
//先将pre数组输出
for (int i = 0; i < vertex.Length; i++)
{
for (int j = 0; j < vertex.Length; j++)
{
Console.Write(vertex[pre[i,j]]+" ");
}
Console.WriteLine();
//将dis数组输出
for (int j = 0; j < vertex.Length; j++)
{
Console.Write("("+vertex[i]+"到"+vertex[j]+"的最短距离为"+dis[i,j]+")");
}
Console.WriteLine();
Console.WriteLine();
}
}
//弗洛伊德算法,比较容易理解，而且容易实现
public void floyd()
{
int len; //变量保存距离
// 对中间顶点遍历，k就是中间顶点的下标 [A,B,C,D,E,F,G]
for (int k = 0; k < vertex.Length; k++)
{
//从i顶点开始出发[A,B,C,D,E,F,G]
for (int i = 0; i < vertex.Length; i++)
{
//从i顶点出发，经过k中间顶点，到达j顶点,j是这次的终点[A,B,C,D,E,F,G]
for (int j = 0; j < vertex.Length; j++)
{
len = dis[i, k] + dis[k, j]; //求出从i顶点出发，经过k中间顶点，到达j顶点的距离
if (len < dis[i, j]) //如果len小于dis[i,j]直连距离
{
dis[i, j] = len; //更新距离
pre[i, j] = pre[k, j]; //更新前驱顶点
}
//如果len>dis[i,j]，我就不动
}
}
}
}
}
}代码运行结果
A A A F G G A
(A到A的最短距离为0)(A到B的最短距离为5)(A到C的最短距离为7)(A到D的最短距离为12)(A到E的最短距离为6)(A到F的最短距离为8)(A到G的最短距离为2)
B B A B G G B
(B到A的最短距离为5)(B到B的最短距离为0)(B到C的最短距离为12)(B到D的最短距离为9)(B到E的最短距离为7)(B到F的最短距离为9)(B到G的最短距离为3)
C A C F C E A
(C到A的最短距离为7)(C到B的最短距离为12)(C到C的最短距离为0)(C到D的最短距离为17)(C到E的最短距离为8)(C到F的最短距离为13)(C到G的最短距离为9)
G D E D F D F
(D到A的最短距离为12)(D到B的最短距离为9)(D到C的最短距离为17)(D到D的最短距离为0)(D到E的最短距离为9)(D到F的最短距离为4)(D到G的最短距离为10)
G G E F E E E
(E到A的最短距离为6)(E到B的最短距离为7)(E到C的最短距离为8)(E到D的最短距离为9)(E到E的最短距离为0)(E到F的最短距离为5)(E到G的最短距离为4)
G G E F F F F
(F到A的最短距离为8)(F到B的最短距离为9)(F到C的最短距离为13)(F到D的最短距离为4)(F到E的最短距离为5)(F到F的最短距离为0)(F到G的最短距离为6)
G G A F G G G
)(D到G的最短距离为10)
G G E F E E E
(E到A的最短距离为6)(E到B的最短距离为7)(E到C的最短距离为8)(E到D的最短距离为9)(E到E的最短距离为0)(E到F的最短距离为5)(E到G的最短距离为4)
G G E F F F F
(F到A的最短距离为8)(F到B的最短距离为9)(F到C的最短距离为13)(F到D的最短距离为4)(F到E的最短距离为5)(F到F的最短距离为0)(F到G的最短距离为6)
G G A F G G G
(G到A的最短距离为2)(G到B的最短距离为3)(G到C的最短距离为9)(G到D的最短距离为10)(G到E的最短距离为4)(G到F的最短距离为6)(G到G的最短距离为0)