在数据分析、机器学习、模式识别等领域，距离函数用于衡量两个对象（向量、集合、字符串等）之间的相似性或差异性。不同的距离函数适用于不同的数据类型和业务场景，以下是常见距离函数的总结，按应用场景分类整理：
一、适用于连续型向量的距离（数值型数据）
这类距离主要用于衡量欧几里得空间中两个点（向量）的距离，适用于连续数值特征（如身高、体重、像素值等）。
| 距离名称 | 定义与公式 | 适用场景 | 特点 |
|---|---|---|---|
| 欧几里得距离（Euclidean Distance） | 两点之间的直线距离，是最常用的距离度量。 公式：对于向量 (a=(a_1,a_2,...,a_n)) 和 (b=(b_1,b_2,...,b_n))， (d(a,b) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i - b_i)^2}) | 计算机视觉（如特征点匹配）、推荐系统（用户偏好向量比较）、聚类分析（K-Means默认距离） | 直观且符合人类对"距离"的认知；但受量纲影响大（如厘米和米需先标准化）。 |
| 曼哈顿距离（Manhattan Distance） | 各维度坐标差的绝对值之和，又称"城市街区距离"。 公式：(d(a,b) = \sum_{i=1}^n | a_i - b_i | ) |
| 切比雪夫距离（Chebyshev Distance） | 各维度坐标差的最大值。 公式：(d(a,b) = \max_{i=1...n} | a_i - b_i | ) |
| 闵可夫斯基距离（Minkowski Distance） | 欧几里得、曼哈顿、切比雪夫距离的推广，由参数 (p) 控制。 公式：(d(a,b) = (\sum_{i=1}^n | a_i - b_i | p){1/p}) |
| 标准化欧几里得距离 | 先对数据标准化（消除量纲），再计算欧几里得距离。 公式：(d(a,b) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (\frac{a_i - b_i}{\sigma_i})^2})，其中 (\sigma_i) 是第 (i) 维度的标准差。 | 特征量纲差异大的场景（如"年龄（0-100）"和"收入（0-100万）"） | 解决了欧几里得距离的量纲问题，更适合跨维度比较。 |
| 马氏距离（Mahalanobis Distance） | 考虑特征间协方差的距离，不受量纲影响，且能消除维度相关性。 公式：(d(a,b) = \sqrt{(a-b)^T \Sigma^{-1} (a-b)})，其中 (\Sigma) 是数据的协方差矩阵。 | 异常检测（如信用卡欺诈识别）、同一分布内的点距离度量 | 对高维、特征相关的数据更友好；但需已知数据分布（协方差矩阵）。 |
二、适用于向量方向的距离（不关注大小，仅关注方向）
这类距离更注重向量的"方向相似性"，而非绝对数值大小，常用于文本、图像等高维稀疏数据。
| 距离名称 | 定义与公式 | 适用场景 | 特点 |
|---|---|---|---|
| 余弦距离（Cosine Distance） | 基于余弦相似度的距离（(1 - \text{余弦相似度})）。 余弦相似度公式：(\cos\theta = \frac{a \cdot b}{ | a | |
| 角度距离（Angular Distance） | 向量夹角的弧度值。 公式：(d(a,b) = \arccos(\cos\theta))（(\cos\theta) 为余弦相似度） | 需严格度量方向差异的场景（如方向传感器数据比较） | 直接反映夹角大小，范围为 ([0, \pi])，比余弦距离更直观。 |
三、适用于集合或二进制数据的距离（0-1特征、布尔值）
这类数据通常表示"有无"（如"是否购买商品""基因是否表达"），距离需反映集合的重叠程度。
| 距离名称 | 定义与公式 | 适用场景 | 特点 |
|---|---|---|---|
| 杰卡德距离（Jaccard Distance） | 基于杰卡德系数（集合交集与并集的比值），衡量两个集合的不相似度。 公式：(d(A,B) = 1 - \frac{ | A \cap B | }{ |
| 汉明距离（Hamming Distance） | 两个等长字符串（或二进制向量）中，对应位置元素不同的数量。 公式：对二进制向量 (a,b)，(d(a,b) = \sum_{i=1}^n | a_i - b_i | ) |
| dice距离（Dice Distance） | 基于Dice系数的距离（(1 - \text{Dice系数})）。 Dice系数公式：(\frac{2 | A \cap B | }{ |
四、适用于字符串的距离（序列数据）
用于衡量两个字符串（或序列）的差异，需考虑插入、删除、替换等操作。
| 距离名称 | 定义与公式 | 适用场景 | 特点 |
|---|---|---|---|
| 编辑距离（Levenshtein Distance） | 将一个字符串转换为另一个所需的最少插入、删除、替换操作次数。 （无简洁公式，需动态规划计算） | 拼写纠错（如"teh"到"the"的距离为1）、自然语言处理（文本相似度）、DNA序列比对 | 灵活处理不同长度的字符串；但计算复杂度较高（(O(nm))，(n,m) 为字符串长度）。 |
| 最长公共子序列距离（LCS Distance） | 基于最长公共子序列（LCS）长度的距离：(d = 1 - \frac{ | LCS(a,b) | }{\max(len(a), len(b))}) |
五、选择距离函数的核心原则
- 数据类型优先：连续数值优先用欧几里得/曼哈顿；二进制/集合用杰卡德/汉明；字符串用编辑距离。
- 业务目标：关注"大小差异"用欧几里得；关注"方向差异"用余弦距离；关注"极端值"用切比雪夫。
- 数据特性：高维稀疏数据优先余弦距离（避免维度灾难）；特征相关数据用马氏距离；量纲差异大时用标准化距离。
实际应用中，常需通过实验（如对比不同距离下模型的准确率）选择最优方案。