一、堆排序的概念
堆排序（Heapsort）：利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。通过堆来进行选择数据，需要注意的是 排升序要建大堆，排降序建小堆。
二、堆排序的实现
我们先创建一个堆排序的函数：
cpp
void HeapSort(int arr[], int n);假设我们要对下列数组来使用堆排序（升序）：
cpp
int arr[] = {70, 56, 30, 25, 15, 10, 75};根据我们之前学到的知识，数组是可以直接看为完全二叉树的，所以我们可以把它化为堆。此时我们就可以 "选数" （堆排序本质上是一种选择排序）。
第一步：构建堆
第一步就是要想办法把 arr 数组构建成堆（这里我们先构建成小堆）。我们介绍两种方法，分别为向上调整算法和向下调整算法：
方法1：向上调整
cpp
void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py) {
HPDataType tmp = *px;
*px = *py;
*py = tmp;
}
/* 小堆的向上调整 */
void AdjustUp(int* arr, int child) {
assert(arr);
// 首先根据公式计算算出父亲的下标
int parent = (child - 1) / 2;
// 最坏情况:调到根，child=parent 当child为根节点时结束（根节点永远是0）
while(child > 0) {
if(arr[child] < arr[parent]) { // 如果孩子小于父亲（不符合小堆的性质）
// 交换他们的值
Swap(&arr[child],&arr[parent]); // 传地址
// 往上走
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
} else { // 如果孩子大于父亲（符合小堆的性质）
// 跳出循环
break;
}
}
}方法1：
cpp
/* 升序 */
void HeapSort(int arr[], int n) {
for (int i = 1; i < n; i++) {
AdjustUp(arr, i); // 传入数组 和 child的下标
}
}方法2：向下调整
cpp
void SmallAjustDown(int* arr, int n, int parent) {
int child = parent * 2 + 1; // 默认为左孩子
while(child < n) { // 叶子内
// 选出左右孩子中小的那一个
if(child + 1 < n && arr[child + 1] < arr[child]) {
child = child + 1;
}
// 如果孩子小于父亲（不符合小堆的性质）
if(arr[child] < arr[parent]) {
// 交换它们的值
Swap(&arr[child], &arr[parent]);
// 往下走
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
} else { // 如果孩子大于父亲（符合小堆的性质）
// 跳出循环
break;
}
}
}方法2：
cpp
/* 升序 */
void HeapSort(int arr[], int n) {
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) {
AdjustDown(arr, n, i);
}
}也可以这样写：
cpp
/* 升序 */
void HeapSort(int arr[], int sz) {
int father = ((sz - 1) - 1) / 2; // 计算出最后一个叶子节点的父亲
while (father >= 0) {
AdjustDown(arr, sz, father);
father--;
}
}测试一下：
cpp
#include <stdio.h>
/* 交换函数 */
void Swap(int* px, int* py) {
int tmp = *px;
*px = *py;
*py = tmp;
}
/* 小堆下调 */
void AdjustDown(int arr[], int sz, int father_idx) {
int child_idx = father_idx * 2 + 1; // 计算出左孩子的值（默认认为左孩子大）
while (child_idx < sz) { // 最坏情況：调到叶子（child >= 数组范围时必然已经调到叶子）
if ((child_idx + 1 < sz) && (arr[child_idx + 1] < arr[child_idx])) { // 如果右孩子存在且右孩子比左孩子小
child_idx = child_idx + 1; // 让其代表右孩子
}
if (arr[child_idx] < arr[father_idx]) { // 如果孩子的值小于父亲的值（大符合小堆的性質）
Swap(&arr[child_idx], &arr[father_idx]); // 交换它们的值
/* 往下走 */
father_idx = child_idx; // 更新下标
child_idx = father_idx * 2 + 1; // 计算出该节点路线的新父亲
} else { // 如果孩子的值大于父亲的值（符合小堆的性质）
break; // 终止循环
}
}
}
/* 升序 */
void HeapSort(int arr[], int sz) {
/* 创建大堆，选出最大的数 O(N) */
int father = ((sz - 1) - 1) / 2; // 计算出最后一个叶子节点的父亲
while (father >= 0) {
AdjustDown(arr, sz, father);
father--;
}
}
void HeapPrint(int arr[], int sz) {
for (int i = 0; i < sz; i++) {
printf("%d ", arr[i]);
}
printf("\n");
}
int main()
{
int arr[] = {70, 56, 30, 25, 15, 10, 75, 33, 50, 69};
int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
HeapSort(arr, sz);
HeapPrint(arr, sz);
return 0;
}运行结果如下：
第二步：排序
刚才介绍了两种方法来构建堆，现在堆已经构建完毕了，我们可以开始设计排序部分的算法了。
如果排升序，建小堆......
① 选出最小的数，放到第一个位置，这很简单，直接取顶部就可以得到最小的数。
② 但问题来了，如何选出次小的数呢？
建小堆来排升序是完全可以的，但是效率太低！
所以使用大堆来排升序。
我们刚才已经实现好小堆了，根据上一节学到的知识，小堆要变成大堆，直接把刚才的代码的 "<" 改成 ">" 即可：
cpp
#include <stdio.h>
/* 交换函数 */
void Swap(int* px, int* py) {
int tmp = *px;
*px = *py;
*py = tmp;
}
/* 大堆下调 */
void AdjustDown(int arr[], int sz, int father_idx) {
int child_idx = father_idx * 2 + 1; // 计算出左孩子的值（默认认为左孩子大）
while (child_idx < sz) { // 最坏情況：调到叶子（child >= 数组范围时必然已经调到叶子）
if ((child_idx + 1 < sz) && (arr[child_idx + 1] > arr[child_idx])) { // 如果右孩子存在且右孩子比左孩子大
child_idx = child_idx + 1; // 让其代表右孩子
}
if (arr[child_idx] > arr[father_idx]) { // 如果孩子的值大于父亲的值（不符合大堆的性質）
Swap(&arr[child_idx], &arr[father_idx]); // 交换它们的值
/* 往下走 */
father_idx = child_idx; // 更新下标
child_idx = father_idx * 2 + 1; // 计算出该节点路线的新父亲
} else { // 如果孩子的值小于父亲的值（符合大堆的性质）
break; // 终止循环
}
}
}
/* 升序 */
void HeapSort(int arr[], int sz) {
/* 创建大堆，选出最大的数 O(N) */
int father = ((sz - 1) - 1) / 2; // 计算出最后一个叶子节点的父亲
while (father >= 0) {
AdjustDown(arr, sz, father);
father--;
}
}
void PrintArray(int arr[], int sz) {
for (int i = 0; i < sz; i++) {
printf("%d ", arr[i]);
}
printf("\n");
}
int main()
{
int arr[] = {70, 56, 30, 25, 15, 10, 75, 33, 50, 69};
int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
HeapSort(arr, sz);
PrintArray(arr, sz);
return 0;
}运行结果如下：
现在改成了大堆，我们要排升序，我们可以让堆顶数和最后的数进行交换：
这并不会带来堆结构的破坏！我们把75不看作堆的一部分即可。再进行向下调整，就可以找到次小的数了。
步骤总结：
① 建大堆，选出最大的数。
② 最大的数跟最后一个数交换。
③ 如何选出次大的数呢？把最后一个数不看作堆里面，进行向下调整。
代码实现：
第一种
cpp
/* 堆排序 - 升序 */
void HeapSort(int arr[], int sz) {
/* 创建大堆，选出最大的数 O(N) */
int father = ((sz - 1) - 1) / 2; // 计算出最后一个叶子节点的父亲
while (father >= 0) {
AdjustDown(arr, sz, father);
father--;
}
/* 依次选数，调堆 O(N * logN) */
int end = sz - 1;
while (end > 0) {
Swap(&arr[0], &arr[end]); // 最大的数跟最后一个数交换
AdjustDown(arr, end, 0); // 调堆，选出次大的数
end--;
}
}第二种：
cpp
void HeapSort(int arr[], int sz) {
/* 建堆 */
for (int father = (sz - 1 - 1) / 2; father >= 0; father--) {
AdjustDown(arr, sz, father);
}
/* 排序 */
for (int end = sz - 1; end > 0; end--) {
Swap(&arr[0], &arr[end]); // 最大的数跟最后一个数交换
AdjustDown(arr, end, 0); // 调堆，选出次大的数
}
}三、完整代码
升序：使用大堆
cpp
#include <stdio.h>
void Swap(int* pa, int* pb) {
int tmp = *pa;
*pa = *pb;
*pb = tmp;
}
void AdjustDown(int arr[], int sz, int father) {
int child = father * 2 + 1;
while (child < sz) {
if (child + 1 < sz && arr[child + 1] > arr[child]) {
child += 1;
}
if (arr[child] > arr[father]) {
Swap(&arr[child], &arr[father]);
father = child;
child = father * 2 + 1;
}
else {
break;
}
}
}
/* 堆排序 - 升序 */
void HeapSort(int arr[], int sz) {
/* 创建大堆，选出最大的数 O(N) */
int father = ((sz - 1) - 1) / 2; // 计算出最后一个叶子节点的父亲
while (father >= 0) {
AdjustDown(arr, sz, father);
father--;
}
/* 依次选数，调堆 O(N * logN) */
int end = sz - 1;
while (end > 0) {
Swap(&arr[0], &arr[end]); // 最大的数跟最后一个数交换
AdjustDown(arr, end, 0); // 调堆，选出次大的数
end--;
}
}
void HeapPrint(int arr[], int sz) {
int i = 0;
for (i = 0; i < sz; i++) {
printf("%d ", arr[i]);
}
printf("\n");
}
int main()
{
int arr[] = { 70, 56, 30, 25, 15, 10, 75, 33, 50, 69 };
int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
printf("排序前: ");
HeapPrint(arr, sz);
HeapSort(arr, sz);
printf("排序后: ");
HeapPrint(arr, sz);
return 0;
}运行结果如下：
降序：使用小堆
cpp
#include <stdio.h>
/* 交换函数 */
void Swap(int* px, int* py) {
int tmp = *px;
*px = *py;
*py = tmp;
}
/* 小堆下调 */
void AdjustDown(int arr[], int sz, int father_idx) {
int child_idx = father_idx * 2 + 1; // 计算出左孩子的值（默认认为左孩子大）
while (child_idx < sz) { // 最坏情況：调到叶子（child >= 数组范围时必然已经调到叶子）
if ((child_idx + 1 < sz) && (arr[child_idx + 1] < arr[child_idx])) { // 如果右孩子存在且右孩子比左孩子小
child_idx = child_idx + 1; // 让其代表右孩子
}
if (arr[child_idx] < arr[father_idx]) { // 如果孩子的值小于父亲的值（不符合小堆的性質）
Swap(&arr[child_idx], &arr[father_idx]); // 交换它们的值
/* 往下走 */
father_idx = child_idx; // 更新下标
child_idx = father_idx * 2 + 1; // 计算出该节点路线的新父亲
}
else { // 如果孩子的值大于父亲的值（符合小堆的性质）
break; // 终止循环
}
}
}
/* 堆排序 - 降序 */
void HeapSort(int arr[], int sz) {
/* 创建大堆，选出最大的数 O(N) */
int father = ((sz - 1) - 1) / 2; // 计算出最后一个叶子节点的父亲
while (father >= 0) {
AdjustDown(arr, sz, father);
father--;
}
/* 依次选数，调堆 O(N * logN) */
int end = sz - 1;
while (end > 0) {
Swap(&arr[0], &arr[end]); // 最大的数跟最后一个数交换
AdjustDown(arr, end, 0); // 调堆，选出次小的数
end--;
}
}
void PrintArray(int arr[], int sz) {
for (int i = 0; i < sz; i++) {
printf("%d ", arr[i]);
}
printf("\n");
}
int main()
{
int arr[] = { 70, 56, 30, 25, 15, 10, 75, 33, 50, 69 };
int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
printf("排序前: ");
PrintArray(arr, sz);
HeapSort(arr, sz);
printf("排序后: ");
PrintArray(arr, sz);
return 0;
}运行结果如下：
