SCARA（Selective Compliance Assembly Robot Arm）机器人因其在水平面内高刚性、垂直方向柔顺的特性，广泛应用于装配、搬运等任务。然而，在运动学控制中，SCARA 机器人存在奇异位形（Singular Configuration），当机器人运行至这些位形时，雅可比矩阵（Jacobian Matrix）失去满秩，导致逆运动学解不唯一或不存在，关节速度趋于无穷大，严重影响运动平稳性与控制精度。因此，研究奇异点规避方法至关重要。
1. SCARA 机器人运动学模型
标准 4 自由度 SCARA 机器人（含末端旋转关节）的正运动学方程为：
x = l₁ cosθ₁ + l₂ cos(θ₁ + θ₂)
y = l₁ sinθ₁ + l₂ sin(θ₁ + θ₂)
z = d₃
φ = θ₁ + θ₂ + θ₄
其中：
- (x, y, z) 为末端执行器位置；
- φ 为末端姿态角（绕 z 轴旋转）；
- l₁, l₂ 为第一、二连杆长度；
- θ₁, θ₂, θ₃, θ₄ 为各关节角；
- d₃ = d₀ - θ₃（d₀ 为初始偏移，θ₃ 为第三关节位移）。
2. 雅可比矩阵
末端速度 v = ẋ, ẏ, ż, ωᵀ 与关节速度 q̇ = θ̇₁, θ̇₂, θ̇₃, θ̇₄ᵀ 的关系为：
v = J(q) q̇
其中雅可比矩阵 J(q) 为：
-l₁sinθ₁ - l₂sin(θ₁+θ₂) -l₂sin(θ₁+θ₂) 0 0
l₁cosθ₁ + l₂cos(θ₁+θ₂) l₂cos(θ₁+θ₂) 0 0
J(q) = 0 0 -1 0
1 1 0 1
3. 奇异点类型
SCARA 机器人的主要奇异点由 J(q) 的行列式或条件数退化引起：
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肘部奇异点（Elbow Singularity）：当第二连杆完全伸直或折叠，即 θ₂ = 0 或 θ₂ = π 时，前两个关节的运动方向共线，导致平面运动自由度退化。
- 此时，雅可比矩阵的前两列线性相关。
- 判据：sinθ₂ = 0
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腕部奇异点（Wrist Singularity）：当 θ₃ = 0 且 θ₄ 任意时，z 方向运动与姿态运动耦合退化。但标准 SCARA 中此问题不显著。
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边界奇异点（Boundary Singularity）：当机器人运动至工作空间边界时，雅可比矩阵条件数变差。
4. 奇异点规避方法
4.1 雅可比矩阵伪逆法（Damped Least Squares, DLS）
最常用方法是采用阻尼最小二乘法（也称 Levenberg-Marquardt 方法），避免直接求逆。关节速度计算为：
q̇ = J⁺(q) v
其中伪逆矩阵 J⁺(q) 定义为：
J⁺(q) = Jᵀ(q) J(q) Jᵀ(q) + λ²I⁻¹
或
J⁺(q) = Jᵀ(q) J(q) + λ²I⁻¹ Jᵀ(q)
其中：
- λ 为阻尼因子（Damping Factor），λ > 0；
- I 为单位矩阵。
当接近奇异点时，J(q)Jᵀ(q) 接近奇异，λ²I 项防止矩阵不可逆，从而限制关节速度不会趋于无穷。
4.2 奇异性规避函数法
设计一个与关节角相关的规避函数，当接近奇异区域时，调整轨迹或增益。
定义接近肘部奇异点的程度：
σ = |sinθ₂|
当 σ < σ_threshold（如 0.1）时，认为接近奇异区。
可引入速度缩放因子：
k_scale = σ / (σ + ε)
其中 ε 为小正数（如 10⁻⁶），用于防止除零。
则实际执行的末端速度为：
v_actual = k_scale × v_desired
当 σ → 0（接近奇异），k_scale → 0，机器人自动减速，避免失控。
4.3 轨迹规划层规避
在轨迹生成阶段，通过路径优化避免进入奇异区域。
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在关节空间或笛卡尔空间规划路径时，加入奇异度代价函数： C_singularity = 1 / cond(J(q)) 其中 cond(J(q)) 为雅可比矩阵的条件数。优化目标为最小化总代价，包括路径长度和奇异度。
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使用人工势场法，在奇异点附近设置"排斥力"，引导轨迹绕行。
4.4 关节极限与工作空间限制
通过限制 θ₂ 的活动范围，避免其接近 0 或 π。例如： θ₂_min ≤ θ₂ ≤ θ₂_max 其中 θ₂_min > 0，θ₂_max < π。
5. 实现建议
- 实时计算雅可比矩阵 J(q) 及其条件数 cond(J) 或最小奇异值。
- 当检测到接近奇异时（cond(J) > threshold 或 |sinθ₂| < threshold），启用 DLS 方法或速度缩放。
- 结合轨迹规划，在任务开始前评估路径安全性。
6. 总结
SCARA 机器人奇异点规避是保证运动平稳、控制可靠的关键。推荐采用 DLS 伪逆法 作为底层控制核心，辅以速度缩放 和轨迹规划优化，可有效提升机器人在复杂轨迹下的运动性能。