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L1范数最值问题
上文 有一题比较有意思，求 |x-1|+|x-2|+|x-3|+...|x-n| 在什么时候取最小值，更高深的叫法是 L1范数 求最值
本文我们继续来探索一下这个式子的其他意义，也许会有不同的发现和解法
绝对值概念
绝对值，也叫绝对值函数，是数学中一个重要的函数，它将一个实数映射到实数上，并且绝对值的结果一定为非负数（即 0 或正数），这个只是单纯的从数值角度上来表述的，说白了就是只有负数的绝对值就是要加个负号而已
其实，绝对值还有它的几何意义，那就是距离，表示两个点相差多少或者说相隔多远，比较两个数相差多少，通常用减法，两个数相减得出差值，差值 = 大数 - 小数
比如说小明考90分，小丽考95分，小强考100分，那我们会说小明与小丽相差5分，小强与小丽之间也相差5分，相差5分是一个很模糊的说法，不代表小明与小强考的分数一样多，相差5分就是绝对值的含义。
同样道理，在数轴上有两个数字，分别是数字a与 数字b，它们之间的距离就是｜ a-b｜，表示 a 与 b 之间相差多少
更特殊地，某个数字x 到 数字0 的距离为 ｜x - 0｜=｜x｜，可以表示为x 与 0 之间相差多少，即是 x 的绝对值
举例说明：
｜-2｜ = ｜-2 - 0 ｜ = 2，即 -2 到 0 的距离是 2
｜ 3 ｜ =｜3 - 0 ｜ = 3，即 3 到 0 的距离是 3
｜3 - (-2)｜= 5，即 3 到 -2 的距离是 5
现实的距离
现实中的距离，一般是说两点间直线距离，就是两点间隔了有多远，它是一段长度，永远是大于等于0的。如果我问你，你家到学校的距离有多远，你会回答1公里，不可能说是负1公里吧？
我们可以把数轴比作马路，每个数就像是一个地点，0点就像是学校，小明家住在 -2 点上，小玲家住在 3 点上，那么小明家到学校的距离是｜-2 - 0｜= 2公里，小玲家到学校是 ｜3 - 0｜= 3公里。
那举一反三：小玲家（3点） 到小明家（-2点）之间的距离是多远？当然就等于｜3 - (-2)｜= 5 公里，我们可以直接相减得出，这是最快的。
这里可以下结论说：绝对值就是距离，距离就是绝对值
建学校的问题
学校怎么建才好呢，当然是离家越近越好，但每个同学住的地方不一样，不可能人人都住在学校旁边，那么学校到底建的好不好呢？
我们可以用所有同学家到学校的距离之和来评判，总距离越小，那学校就建的好，对大家来说相对公平。
比如上面的学校建在了0点处，我以学校的角度来看，小明家距离学校是 2km，小玲家距离学校是 3km，那总距离是｜0 - (-2)｜+｜0 - 3｜= 2 + 3 = 5 km，而且两位同学的路线没有重合
如果我学校建在了4点位置呢？
学校离小玲家近了（1km），但离小明家就远了（6km），总距离就是 ｜4 - 3｜+｜4 - (-2)｜= 1+6 = 7km，对比上面的5km 是不是多了2km？
原因就是学校建的位置不好，两位同学走的路线有重合的地方，就是 3 到 4 之间的路段为 1km，两位同学都要多走这 1km，那就是多走了 2km，多出的的 2km 就出在这里
所以，要想学校建的好，就要总距离少，就是让各位同学路线减少重合，就会避免同学们多走路
按照上面的思路，每个同学例如住在a点，他到学校的距离就是 ｜x - a｜=｜a - x｜，假如每个整数点都住了了一位同学（1，2，3，4...），学校建在了某个点x上，总距离会不会求？
总距离 = ｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜...
举个例子，假设学校还是建在0点，当n=4时，即有4个同学分别住在 1，2，3，4 点上，那么总距离就如下图所示，总距离 = ｜0-1｜+｜0-2｜+｜0-3｜+｜0-4｜ = 1+2+3+4 = 10 km
这个学校建的也不好，每位同学都要走 0-1 这段路，那我试试将学校挪一下，挪到 1 位置上试试，即 x=1 时，总距离 = ｜1-1｜+｜1-2｜+｜1-3｜+｜1-4｜ = 0+1+2+3 = 6 km
看见没有，仅仅是挪动了一下，马上减少了4公里，有位同学甚至住到了学校旁边，连走路都不用走了！我们还可以继续挪到 2，3，4 位置上
我们列个表看一下 x 分别从 -1～6 取值时，总距离 ｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜的变化
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 2.5 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜ | 14 | 10 | 6 | 4 | 4 | 4 | 6 | 10 | 14 |
其中，x 在 2～3 之间取任意值，计算的总距离都是4，而且是最小的，不信你可以代入验算一下，这是有理可证的，下面我们会解释这个奇特的现象的
回归正题
现在我们再回过头来 看这个问题，求 |x-1|+|x-2|+|x-3|+...|x-n| 在什么时候取最小值，看看我们上面建学校问题，和计算总距离是不是一模一样！
这道题就相当于是：在 1，2，3，4，...，n 点上都住了一位同学，我要去选一个好地方来建一个好学校（假设建在x点），要让所有同学总距离最小，也就是尽可能让全部同学路线少重合
我们抛开数学绝对值式子，单纯让你来建学校，你会把学校选址在哪里？
直觉告诉我们，学校建在中心区最好，同学都在学校附近，事实也确实是这样，我们再来推理一下，大家可以拿出纸和笔分别画一下
- 如果有2个点，例如 1，2 住着2个同学，那学校建在中间的1～2点之间任何位置都可以，最小总距离总是 1km = 2-1，即数轴上
2到1 的距离，见图1 - 如果有3个点，例如 1，2，3 住着3个同学，那学校建在中间的点 2，最小总距离就是 2km = 3-1，即
3到1 之间的距离，见图2 - 如果有4个点，例如 1，2，3，4 住着4个同学，那学校建在中间的 2～3 点之间任何位置都可以，最小总距离就是 4km = 3-2 + 4-1，即
3到2的距离 + 4到1的距离，见图3 - 如果有5个点，例如 1，2，3，4，5 住着5个同学，那学校建在中间的点 3，最小总距离就是 6km = 4-2 + 5-1，即
4到2的距离 + 5到1的距离 - 如果有6个点，例如 1，2，3，4，5，6 住着6个同学，那学校建在中间的点 3～4 点之间任何位置都可以，最小总距离就是 9km = 4-3 + 5-2 + 6-1，即
4到3 + 5到2 + 6到1的距离
...
是不是很奇妙？2-1 居然可以看成 2到1之间的距离，3-2 为 3到2的距离，...
因为，相差就是绝对值，绝对值就是距离，那么，绝对值｜3 -（-5）｜，我们完全可以说是求数轴上 3 到 -5 两点间的距离，那就是8啊，是不是超简单！
我们从上面的规律归纳出这样的结果：
1.如果有奇数个点住着同学们，学校就建在 (1+n)/2 的地方，即 x = (1+n)/2
2.如果有偶数个点住着同学们，学校就建在 （n/2）~（n/2）+1 之间的任意地方，即 x 在（n/2）和（n/2）+1 之间取任意值都可以
总距离最小值
我们甚至还能算出总距离 |x-1|+|x-2|+|x-3|+...|x-n| 的最小值，就是以学校为中心，最近的一环的两点距离 + 二环两点距离 + 三环两点的距离 + ... + 最远的那环距离
举例：
在 1，2，3，4，5 住着5个同学为例，一环的点就只有一个3，二环是2和4，三环是1和5
在 1，2，3，4，5，6 住着6个同学为例，一环的两点就是3和4，二环是2和5，三环是1和6
|x-1|+|x-2|+|x-3|+...|x-n| = n-1 + (n-1)-2 + (n-2)-3 + ... = 最外环n到1的距离 + (n-1)到2点的距离 + (n-2)到3点的距离 + ... + 最内的一环距离
-
当 n 为偶数时，
总距离 = n-1 + n-3 + n-5 + n-7 + n-9 + ... + 7 + 5 + 3 + 1，各项全是奇数，总共有 n/2 项，利用等差数列公式 (首项+末项)*项数/2 求得
总距离 = ( ( ( n − 1 ) + 1 ) ∗ n 2 ) ∗ 1 2 = n 2 4 总距离 = (((n-1) + 1) * \frac{n}{2})* \frac{1}{2} = \frac{n^2}{4} 总距离=(((n−1)+1)∗2n)∗21=4n2
用 n=2 代入，得 总距离 = 1，用 n=4 代入，得 总距离 = 4
-
当 n 为奇数时，
总距离 = n-1 + n-3 + n-5 + n-7 + n-9 + ... + 6 + 4 + 2 + 0，各项全是偶数，总共有 (n+1)/2 项利用等差数列公式 (首项+末项)*项数/2 求得
总距离 = ( ( ( n − 1 ) + 0 ) ∗ n + 1 2 ) ∗ 1 2 = n 2 − 1 4 总距离 = (((n-1) + 0) * \frac{n+1}{2})* \frac{1}{2} = \frac{n^2-1}{4} 总距离=(((n−1)+0)∗2n+1)∗21=4n2−1
用 n=3 代入，得 总距离 = 2，用 n=5 代入，得 总距离 = 6，与上面我们推理一下的结果完全一致！
总结
总结一下，主要思想有下面两点：
- 绝对值就是距离，距离就是绝对值
- 绝对值 |x-n| 可以看作数轴上 x 点到 n 点的距离