#等价于e * d ≡ 1 mod φ(n) #模逆元详解

d ≡ e⁻¹ mod φ(n)(e的模逆元)

等价于

e * d ≡ 1 mod φ(n)

私钥 d 的两个表达式关系详解

这两个表达式 完全等价,它们只是表示同一个数学概念的不同写法。

1. 两个表达式的含义

  • e * d ≡ 1 mod φ(n)

    这是RSA私钥d的定义式:d是满足e乘以d在模φ(n)下等于1的整数。

  • d ≡ e⁻¹ mod φ(n)

    这是e在模φ(n)下的乘法逆元的表示方式,其中e⁻¹表示e的模逆元。

2. 为什么它们等价?

在模运算中,如果a * b ≡ 1 mod m,那么b就是a在模m下的乘法逆元,记作b = a⁻¹ mod m。

所以:

  • e * d ≡ 1 mod φ(n) ⇔ d = e⁻¹ mod φ(n)

这就像在普通算术中:

  • 2 * 0.5 = 1 ⇔ 0.5 = 1/2

在模运算中,"除法"被表示为"乘以模逆元"。

3. 举例说明

假设:

  • e = 7
  • φ(n) = 10

那么:

  • d = 3,因为 7 * 3 = 21 ≡ 1 mod 10
  • 所以 d = e⁻¹ mod φ(n) = 7⁻¹ mod 10 = 3

因此:

  • e * d ≡ 1 mod φ(n) ⇔ 7 * 3 ≡ 1 mod 10 ⇔ 21 ≡ 1 mod 10
  • d ≡ e⁻¹ mod φ(n) ⇔ 3 ≡ 7⁻¹ mod 10

4. 在RSA中的应用

在RSA算法中:

  • 公钥 = (e, n)
  • 私钥 = (d, n)

其中d必须满足:d = e⁻¹ mod φ(n),即d是e在模φ(n)下的乘法逆元。

根据知识库[11]中的描述:"私钥d满足e * d ≡ 1 mod φ(n)(其中φ(n) = (p-1)(q-1))",这正是RSA加密和解密的核心数学原理。

5. 为什么需要这个关系?

在RSA中,加密过程是:c = m^e mod n 解密过程是:m = c^d mod n

要使这个过程成立,需要满足:m^(e*d) ≡ m mod n

通过欧拉定理,当e*d ≡ 1 mod φ(n)时,这个等式成立。这就是为什么d必须是e在模φ(n)下的乘法逆元。

总结

e * d ≡ 1 mod φ(n) 和 d ≡ e⁻¹ mod φ(n) 是完全等价的表达式,只是写法不同。在RSA算法中,d就是e在模φ(n)下的乘法逆元。

模逆元详解:RSA中的d ≡ e⁻¹ mod φ(n)

1. 模逆元的直观理解

模逆元就是"模运算中的倒数",就像普通数学中的倒数一样。

普通数学中的倒数:

  • 3的倒数是1/3,因为3 × (1/3) = 1
  • 5的倒数是1/5,因为5 × (1/5) = 1

模运算中的"倒数"(模逆元):

  • 3在模10下的逆元是7,因为3 × 7 = 21,21 mod 10 = 1
  • 7在模10下的逆元是3,因为7 × 3 = 21,21 mod 10 = 1

关键点:模逆元不是分数,而是一个整数,使得a × x ≡ 1 (mod m)。

2. RSA中的d ≡ e⁻¹ mod φ(n) 是什么意思

两种表达方式的等价性:

  1. 定义式:e × d ≡ 1 (mod φ(n))

    • 这表示d是e在模φ(n)下的乘法逆元
  2. 表示式:d ≡ e⁻¹ (mod φ(n))

它们完全等价,只是表达方式不同。

举例说明:

假设e = 7,φ(n) = 10

  • 用定义式:e × d ≡ 1 (mod φ(n)) → 7 × d ≡ 1 (mod 10)

    • 7 × 1 = 7 mod 10 = 7
    • 7 × 2 = 14 mod 10 = 4
    • 7 × 3 = 21 mod 10 = 1 → 找到d = 3
  • 用表示式:d ≡ e⁻¹ (mod φ(n)) → d ≡ 7⁻¹ (mod 10)

    • d = 3,因为7 × 3 ≡ 1 (mod 10)

所以,d = 3,因为3是7在模10下的逆元。

3. 为什么RSA需要这个关系?

在RSA加密算法中:

  • 加密:c = m^e mod n
  • 解密:m = c^d mod n

为了保证解密正确,我们需要:

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Text

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c^d mod n = (m^e)^d mod n = m^(e*d) mod n

根据欧拉定理(如果m和n互质):

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m^φ(n) ≡ 1 mod n

所以,如果e*d ≡ 1 mod φ(n),那么:

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m^(e*d) = m^(1 + k*φ(n)) = m * (m^φ(n))^k ≡ m * 1^k = m mod n

推导过程)

关键点:d必须是e在模φ(n)下的逆元,才能保证解密正确。

4. 为什么d ≡ e⁻¹ mod φ(n) 是标准表示?

在数学和密码学中,我们通常用:

  • a⁻¹ 表示a的逆元
  • a⁻¹ mod m 表示a在模m下的逆元

所以,d ≡ e⁻¹ mod φ(n) 是标准的数学表示方式,表示d是e在模φ(n)下的逆元。

5. 通俗总结

表达式 含义 例子(e=7, φ(n)=10)
e × d ≡ 1 mod φ(n) d是e的模逆元 7 × 3 ≡ 1 mod 10
d ≡ e⁻¹ mod φ(n) d是e在模φ(n)下的逆元 3 ≡ 7⁻¹ mod 10

一句话:d ≡ e⁻¹ mod φ(n) 是d是e在模φ(n)下的逆元的数学标准表示,与e × d ≡ 1 mod φ(n)完全等价。

6. 为什么在RSA中需要模逆元?

RSA的核心是:通过公钥(e, n)加密,私钥(d, n)解密。

  • 公钥(e, n):用于加密
  • 私钥(d, n):用于解密

为了保证加密和解密正确,必须满足e × d ≡ 1 mod φ(n),即d是e在模φ(n)下的逆元。

这就像在普通乘法中,3 × (1/3) = 1,但在模运算中,我们需要找一个整数d,使得e × d ≡ 1 mod φ(n)。

所以,d ≡ e⁻¹ mod φ(n) 是RSA算法中私钥d的数学定义。

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