近世代数研究的对象就是具有代数运算的集合，这样的集合称为"代数系"
代数系的更确切定义是指一个非空集合 A，连同定义在 A 上的若干个满足特定规则（如封闭性、结合律等）的代数运算，所构成的整体。
第一章：群
1.1等价关系和集合的分类
定义--关系
设 S S S是一个非空集合， R \mathcal{R} R是关于 S S S的元素的一个条件. 如果对 S S S中任意一个有序元素对 ( a , b ) (a,b) (a,b)，我们总能确定 a a a与 b b b是否满足条件 R \mathcal{R} R，就称 R \mathcal{R} R是 S S S的一个关系(relation). 如果 a a a与 b b b满足条件 R \mathcal{R} R，则称 a a a与 b b b有关系 R \mathcal{R} R，记作 a R b a\mathcal{R}b aRb；否则称 a a a与 b b b无关系 R \mathcal{R} R. 关系 R \mathcal{R} R也称为二元关系.
eg. 在整数集 Z \mathbb{Z} Z中，整除是关系。（ ∀ a , b ∈ Z \forall a,b \in \mathbb{Z} ∀a,b∈Z,要么 a ∣ b a\mid b a∣b，要么 a ∤ b a\nmid b a∤b）
理解：关系是集合中元素相互联系的方式，可以用有序对表示，关系可以有很多种性质，如自反性，对称性，传递性等。
关系的本质是有序对的集合 ：如果有一个集合 S S S，那么一个关系 R \mathcal{R} R可以看作是 S × S S \times S S×S（即 S S S与自身的笛卡尔积）的一个子集。也就是说， R ⊆ S × S \mathcal{R} \subseteq S \times S R⊆S×S，其中每个有序对 ( a , b ) (a,b) (a,b)表示 a a a和 b b b满足关系 R \mathcal{R} R（即 a R b a\mathcal{R}b aRb）。
定义--等价关系
同时具有自反性，对称性，传递性的关系叫做等价关系
设 R \mathcal{R} R 是非空集合 S S S 的一个关系，如果 R \mathcal{R} R 满足
- 自反性，即对任意的 a ∈ S a \in S a∈S，有 a R a ; a\mathcal{R}a; aRa;
- 对称性，即若 a R b a\mathcal{R}b aRb，则 b R a b\mathcal{R}a bRa;
- 传递性，即若 a R b a\mathcal{R}b aRb，且 b R c b\mathcal{R}c bRc，则 a R c a\mathcal{R}c aRc
则称 R \mathcal{R} R 是 S S S 的一个等价关系 (equivalence relation)，并且如果 a R b a\mathcal{R}b aRb，则称 a a a 等价于 b b b，记作 a ∼ b a \sim b a∼b
目的：研究等价关系的目的在于将集合中的元素进行分类，选取没类元素的 代表元素来件地问题的复杂度。如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。
eg:同余关系是等价关系
设 m m m是正整数，在整数集 Z \mathbb{Z} Z中，规定
a R b ⟺ m ∣ a − b , ∀ a , b ∈ Z , a\mathcal{R}b \iff m \mid a - b, \ \forall a,b \in \mathbb{Z}, aRb⟺m∣a−b, ∀a,b∈Z,
(1) 对任意整数 a a a，有 m ∣ a − a m \mid a - a m∣a−a；
(2) 若 m ∣ a − b m \mid a - b m∣a−b，则 m ∣ b − a m \mid b - a m∣b−a；
(3) 若 m ∣ a − b m \mid a - b m∣a−b， m ∣ b − c m \mid b - c m∣b−c，则 m ∣ a − c m \mid a - c m∣a−c，
所以 R \mathcal{R} R是 Z \mathbb{Z} Z的一个等价关系。显然 a a a与 b b b等价当且仅当 a a a与 b b b被 m m m除有相同的余数，因此称这个关系为同余关系(congruence relation)，并记作 a ≡ b ( mod m ) a \equiv b \ (\text{mod} \ m) a≡b (mod m)。
定义 --划分
如果非空集合 S S S是它的某些两两不相交的非空子集的并，则称这些子集为集合 S S S的一种划分(partition)，其中每个子集称为 S S S一个类(class)。如果 S S S的子集族 { S i ∣ i ∈ I } \{S_i \mid i \in I\} {Si∣i∈I}构成 S S S的一种划分，则记作 P = { S i ∣ i ∈ I } \mathcal{P} = \{S_i \mid i \in I\} P={Si∣i∈I}。
由此定义可知，集合 S S S的子集族 { S i ∣ i ∈ I } \{S_i \mid i \in I\} {Si∣i∈I}构成 S S S的一种划分当且仅当
- S = ⋃ i ∈ I S i S = \bigcup_{i \in I} S_i S=⋃i∈ISi;
- S i ∩ S j = ∅ , i ≠ j S_i \cap S_j = \varnothing, i \neq j Si∩Sj=∅,i=j.
理解：用刀切蛋糕，蛋糕的每一块彼此独立（无公共元素），所有块蛋糕合起来又是完整的蛋糕
注：等价关系和划分是一一对应的（一个等价关系预示着一个划分方式，一个划分方式包含着一个等价关系）
定义--等价类,商集
如果 ∼ \sim ∼是集合 S S S的一个等价关系，对 a ∈ S a \in S a∈S，令
a = { x ∈ S ∣ x ∼ a } . a = \{x \in S \mid x \sim a\}. a={x∈S∣x∼a}.
称子集 a a a为 S S S的一个等价类(equivalence class)。 S S S的全体等价类的集合称为集合 S S S在等价关系下的商集(quotient set)，记 S / ∼ S/\sim S/∼。
理解：商集本身是集合其里面的元素也是集合
模6的等价类
等价关系把集合划分为了等价类
如果集合 S S S具有代数结构（如群、环、向量空间），并且等价关系 ∼ \sim ∼与该结构兼容（即运算在等价类上良定义），则商集 S / ∼ S/\sim S/∼可以继承相同的结构
1.2群的概念
定义 --代数运算
设 A A A是一个非空集合，若对 A A A中任意两个元素 a , b a,b a,b，通过某个法则" ⋅ \cdot ⋅"，有 A A A中唯一确定的元素 c c c与之对应，则称法则" ⋅ \cdot ⋅"为集合 A A A上的一个代数运算(algebraic operation)。元素 c c c是 a , b a,b a,b通过运算" ⋅ \cdot ⋅"作用的结果，将此结果记为 a ⋅ b = c a \cdot b = c a⋅b=c。
性质：代数运算一定满足封闭性
定义 --群
设 G G G是一个非空集合，" ⋅ \cdot ⋅"是 G G G上的一个代数运算，即对所有的 a , b ∈ G a,b \in G a,b∈G，有 a ⋅ b ∈ G a \cdot b \in G a⋅b∈G。如果 G G G的运算还满足
-
结合律，即对所有的 a , b , c ∈ G a,b,c \in G a,b,c∈G，有 ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)；
-
G G G中有元素 e e e（单位元），使对每个 a ∈ G a \in G a∈G，有 e ⋅ a = a ⋅ e = a e \cdot a = a \cdot e = a e⋅a=a⋅e=a；
-
对 G G G中每个元素 a a a，存在元素 b ∈ G b \in G b∈G，使 a ⋅ b = b ⋅ a = e a \cdot b = b \cdot a = e a⋅b=b⋅a=e，
则称 G G G关于运算" ⋅ \cdot ⋅"构成一个群(group)，记作 ( G , ⋅ ) (G, \cdot) (G,⋅)。也称 G G G为群。
性质：
- 群 G G G的单位元是唯一的
- 群 G G G的每个元素的逆元是唯一的
- 对 ∀ a ∈ G \forall a \in G ∀a∈G,有 ( a − 1 ) − 1 = a (a^{-1})^{-1}=a (a−1)−1=a
- 对 ∀ a , b ∈ G \forall a,b \in G ∀a,b∈G，有 ( a b ) − 1 = b − 1 a − 1 (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} (ab)−1=b−1a−1
- 在群中消去律成立，即：设 a , b , c ∈ G a,b,c \in G a,b,c∈G,若 a b = a c ab=ac ab=ac或 b a = c a ba=ca ba=ca,则 b = c b=c b=c
- 无零元
- 除e之外没有幂等元素
- a x = b ax=b ax=b， y a = b ya=b ya=b在群中有唯一解
常见的非交换群：
n 阶一般线性群 GL(n, ℝ) ：所有 n×n 的可逆实矩阵在矩阵乘法下构成的群。
对称群 S n S_n Sn :当 n ≥ 3 n\geq3 n≥3时为非交换群， n = 1 , 2 n=1,2 n=1,2时是交换群
定义 --交换群
群 G G G的运算满足交换律，即对任意的 a , b ∈ G a,b \in G a,b∈G，有 a ⋅ b = b ⋅ a a \cdot b = b \cdot a a⋅b=b⋅a，则称 G G G是一个交换群(commutative group) 或阿贝尔群(Abelian group)。
常见的交换群：
1.循环群：所有的循环群都是交换群
2.数系加法群
- 整数加法群 ( Z , + ) (\mathbb{Z}, +) (Z,+)：所有整数在加法运算下构成群。单位元是 0 0 0，任意整数 n n n的逆元是 − n -n −n。
- 有理数加法群 ( Q , + ) (\mathbb{Q}, +) (Q,+)：所有有理数在加法下构成群。
- 实数加法群 ( R , + ) (\mathbb{R}, +) (R,+)：所有实数在加法下构成群。
- 复数加法群 ( C , + ) (\mathbb{C}, +) (C,+)：所有复数在加法下构成群。
3.数系加群对应的模 n n n的剩余类加群
4.数系乘法群（非零元素）
注意：这些数系在乘法下不能构成群，因为 0 0 0 没有乘法逆元。但如果我们只考虑非零元素，它们就构成交换群。
-
非零有理数乘法群 ( Q ∗ , ⋅ ) (\mathbb{Q}^\ast, \cdot) (Q∗,⋅)：单位元是 1 1 1，有理数 a / b a/b a/b 的逆元是 b / a b/a b/a。
-
非零实数乘法群 ( R ∗ , ⋅ ) (\mathbb{R}^\ast, \cdot) (R∗,⋅)
-
非零复数乘法群 ( C ∗ , ⋅ ) (\mathbb{C}^\ast, \cdot) (C∗,⋅)
5.模 p p p（素数）的非零剩余类乘法群 ( Z p ∗ , ⋅ ) (\mathbb{Z}_p^\ast, \cdot) (Zp∗,⋅)：这是一个非常重要的有限交换群。例如， ( Z 5 ∗ , ⋅ ) (\mathbb{Z}_5^\ast, \cdot) (Z5∗,⋅) 的集合是 { 1 , 2 , 3 , 4 } \{1, 2, 3, 4\} {1,2,3,4}，因为 0 0 0 被排除。 2 ⋅ 3 = 6 ≡ 1 ( mod 5 ) 2 \cdot 3 = 6 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 5) 2⋅3=6≡1 (mod 5)，所以 2 2 2 和 3 3 3 互为逆元。
定义 --群的阶
群 G G G中元素的个数称为群 G G G的阶(order)，记为 ∣ G ∣ |G| ∣G∣。如果 ∣ G ∣ |G| ∣G∣是有限数，则称 G G G为有限群(finite group)，否则称 G G G为无限群(infinite group)。
定义 --群元素的方幂and倍数
乘法群中可以定义群的元素的方幂：
对任意的正整数 ( n )，定义
a n = a ⋅ a ⋯ a ⏟ n 个 a a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n个a} an=n个a a⋅a⋯a,
再约定
a 0 = e a^0 = e a0=e,
a − n = ( a − 1 ) n ( n 为正整数 ) a^{-n} = (a^{-1})^n \ (n \text{ 为正整数}) a−n=(a−1)n (n 为正整数),
则 a n a^n an对任意整数 n n n 都有意义，并且对任意的 a ∈ G , m , n ∈ Z a \in G, m, n \in \mathbb{Z} a∈G,m,n∈Z，有以下指数法则：
- a n ⋅ a m = a n + m a^n \cdot a^m = a^{n+m} an⋅am=an+m;
- ( a n ) m = a n m (a^n)^m = a^{nm} (an)m=anm;
- 若 ( G ) 是交换群，则 ( a b ) n = a n b n (ab)^n = a^n b^n (ab)n=anbn；若 ( G ) 不是交换群，则 ( a b ) n = a n b n (ab)^n = a^n b^n (ab)n=anbn 一般不成立。
加群中定义元素的倍数
当 ( G ) 是加群 时，元素的"方幂"改写为倍数：
n a = a + a + ⋯ + a ⏟ n 个 a na = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{n个a} na=n个a a+a+⋯+a,
同时约定
0 a = 0 0a = 0 0a=0,
( − n ) a = n ( − a ) (-n)a = n(-a) (−n)a=n(−a),
相应地，指数法则变为倍数法则：
- n a + m a = ( n + m ) a na + ma = (n + m)a na+ma=(n+m)a;
- m ( n a ) = ( m n ) a m(na) = (mn)a m(na)=(mn)a;
- n ( a + b ) = n a + n b n(a + b) = na + nb n(a+b)=na+nb（因为加群是交换群，所以该式总是成立的）。
定理 ：群的判定1
G是一个具有代数运算的非空集合，则G为群 ⇔ \Leftrightarrow ⇔
- G的运算满足结合律
- 左单位元： ∀ a ∈ G , \forall a \in G , ∀a∈G,有 e a = a ea=a ea=a
- 左逆元： ∀ a ∈ G \forall a\in G ∀a∈G,\\exist a'\\in G s.t. a ′ a = e a'a=e a′a=e(e为左单位元)
定理 ：群的判定2
设 G G G是一个具有乘法运算且满足结合律的非空集合，则 G G G是群 ⇔ \Leftrightarrow ⇔
对 ∀ a , b ∈ G \forall a,b \in G ∀a,b∈G,方程 a X = b aX=b aX=b与 Y a = b Ya=b Ya=b在 G G G中有解
1.3子群
定义 --子群
设 G G G是一个群， H H H是 G G G的一个非空子集。如果 H H H关于 G G G的运算也构成群，则称 H H H为 G G G的一个子群(subgroup)，记作 H < G H < G H<G。
PS： 对任意群 G G G， G G G本身以及只含单位元 e e e的子集 H = { e } H = \{e\} H={e} 是 G G G的子群，这两个子群称为 G G G的平凡子群 (trivial subgroup)。群 G G G的其他子群称为 G G G的非平凡子群 (nontrivial subgroup)；群 G G G的不等于它自身的子群称为 G G G的真子群(proper subgroup)。
定理 --1.3.1群与子群元素关系
设 G G G为群， H H H是 G G G的子群，则
(1) 群 G G G的单位元 e e e是 H H H的单位元；
(2) 对任意的 a ∈ H a \in H a∈H， a a a在 G G G中的逆元 a − 1 a^{-1} a−1就是 a a a在 H H H中的逆元。
定理 --1.3.2子群的判定1
设 G G G为群， H H H是群 G G G的非空子集，则 H H H成为群 G G G的子群的充分必要条件是
(1) 对任意 a , b ∈ H a,b \in H a,b∈H，有 a b ∈ H ab \in H ab∈H；
(2) 对任意 a ∈ H a \in H a∈H，有 a − 1 ∈ H a^{-1} \in H a−1∈H。
定理 --1.3.3子群的判定2
设 G G G为群， H H H是群 G G G的非空子集，则 H H H成为 G G G的子群的充分必要条件是对任意的 a , b ∈ H a,b \in H a,b∈H，有 a b − 1 ∈ H ab^{-1} \in H ab−1∈H。
定理 --1.3.4子群的运算性质
群 G G G的任意两个子群的交集还是 G G G的子群。
注：G的\\forall 子群的并不一定是 子群的并不一定是 子群的并不一定是G的子群
定义 --生成子群
设 S S S是群 G G G的一个非空子集，令 M M M表示 G G G中所有包含 S S S的子群所组成的集合，即 M = { H < G ∣ S ⊆ H } . M = \{ H < G \mid S \subseteq H \}. M={H<G∣S⊆H}. G G G本身显然包含 S S S，所以 G ∈ M G \in M G∈M，从而 M M M非空。令 K = ⋂ H ∈ M H , K = \bigcap\limits_{H \in M} H, K=H∈M⋂H, 则 K K K是 G G G的子群，称 K K K为群 G G G的由子集 S S S所生成的子群（简称生成子群），记作 ⟨ S ⟩ \langle S \rangle ⟨S⟩，即 ⟨ S ⟩ = ⋂ S ⊆ H < G H , \langle S \rangle = \bigcap\limits_{S \subseteq H < G} H, ⟨S⟩=S⊆H<G⋂H, 子集 S S S称为 ⟨ S ⟩ \langle S \rangle ⟨S⟩的生成元组。 若 S = { a 1 , a 2 , ⋯ , a r } S = \{ a_1, a_2, \cdots, a_r \} S={a1,a2,⋯,ar}为有限集，则记 ⟨ S ⟩ = ⟨ a 1 , a 2 , ⋯ , a r ⟩ . \langle S \rangle = \langle a_1, a_2, \cdots, a_r \rangle. ⟨S⟩=⟨a1,a2,⋯,ar⟩.
**理解：**群中某些元素所生成的最小子群
定理 --1.3.5
设 S S S是 G G G的非空子集，则
-
⟨ S ⟩ \langle S \rangle ⟨S⟩是 G G G的包含 S S S的最小子群；
-
⟨ S ⟩ = { a 1 l 1 a 2 l 2 ⋯ a k l k ∣ a i ∈ S , l i = ± 1 , k ∈ N } \langle S \rangle = \{ a_1^{l_1} a_2^{l_2} \cdots a_k^{l_k} \mid a_i \in S, l_i = \pm 1, k \in \mathbb{N} \} ⟨S⟩={a1l1a2l2⋯aklk∣ai∈S,li=±1,k∈N}
PS：当 S S S只包含群 G G G的一个元素 a a a时，由于 a l 1 a l 2 ⋯ a l k = a ∑ i = 1 k l i , a^{l_1}a^{l_2}\cdots a^{l_k}=a^{\sum_{i=1}^k l_i}, al1al2⋯alk=a∑i=1kli, 所以 ⟨ a ⟩ = { a r ∣ r ∈ Z } . \langle a \rangle = \{ a^r \mid r \in \mathbb{Z} \}. ⟨a⟩={ar∣r∈Z}. 这种由一个元素 a a a生成的子群称为由 a a a生成的循环群(cyclic group)。
**理解：**群中某个元素所生成的最小子群
1.4群的同构
韩老师的引言很不错：
定义--映射类型
- 映射（function） :每一个 x x x都有唯一的 y y y与之对应；
- 单射（injection）：不同的x必须映射到不同的y(但是每一个x都得能够映射到Y中)
- 满射（surjection） ：每一个 y y y都必有至少一个 x x x与之对应；
- 双射（bijection） ：每一个 x x x都有唯一的 y y y与之对应，每一个 y y y都有唯一的 x x x与之对应。
理解：
- 单射就是一个萝卜一个坑，有的坑有可能没萝卜；
- 满射就是所有坑都有萝卜，有的坑可能有不止一个萝卜；
- 双射就是严格的一个萝卜一个坑，一个坑一个萝卜，所有萝卜都有坑，所有坑都有萝卜。
定义 --同构与自同构
设 ( G , . ) (G,.) (G,.)与 ( G ′ , ∗ ) (G',*) (G′,∗)是两个群， ϕ \phi ϕ是 G G G到 G ′ G' G′的一一对应，使
ϕ ( a ⋅ b ) = ϕ ( a ) ∗ ϕ ( b ) , ∀ a , b ∈ G , \phi(a \cdot b) = \phi(a) * \phi(b), \quad \forall a,b \in G, ϕ(a⋅b)=ϕ(a)∗ϕ(b),∀a,b∈G,
则称 ϕ \phi ϕ为群 G G G到 G ′ G' G′的一个同构映射(isomorphism)，简称同构 ，并称群 G G G与 G ′ G' G′同构(isomorphic)，记作
ϕ : G ≅ G ′ . \phi: G \cong G'. ϕ:G≅G′.
群 G G G到它自身的同构映射称为群 G G G的自同构(automorphism)。
自同构的密码学运用举例 对称加密的核心是 "加密和解密使用同一密钥"，而自同构的 "可逆性" 和 "结构保持性" 恰好匹配这一需求： - 加密过程可视为 "自同构映射"：将明文（某一数学结构中的元素）通过密钥控制的自同构映射为密文（保持结构的 "不可读性"，但可逆）； - 解密过程即 "自同构的逆映射"：用同一密钥还原密文为明文。 - **例：AES 加密算法**：AES 的核心变换 "字节代换（SubBytes）" 本质是有限域GF(2\^8) 上的自同构（保持有限域的加法和乘法运算），"行移位（ShiftRows）""列混合（MixColumns）" 则是线性空间的自同构 ------ 这些自同构的组合确保了加密的 "雪崩效应"（明文或密钥微小变化导致密文大幅变化），保障了加密安全性。
证明 ：群同构的步骤：
要证明两个群 G G G 和 G ′ G' G′ 同构，通常需要构造一个双射 ϕ : G → G ′ \phi: G \to G' ϕ:G→G′，并且证明 ϕ \phi ϕ 保持群运算。具体步骤如下：
第一步 构作群 G G G 与群 G ′ G' G′ 的元素间的对应关系 ϕ \phi ϕ，并证明 ϕ \phi ϕ 是 G G G 到 G ′ G' G′ 的映射；
第二步 证明 ϕ \phi ϕ 是 G G G 到 G ′ G' G′ 的单映射。即对任意的 x , y ∈ G x,y \in G x,y∈G，证明由 ϕ ( x ) = ϕ ( y ) \phi(x)=\phi(y) ϕ(x)=ϕ(y) 可推出 x = y x=y x=y；
第三步 证明 ϕ \phi ϕ 是 G G G 到 G ′ G' G′ 的满映射。即对任意的 x ′ ∈ G ′ x' \in G' x′∈G′，证明存在 x ∈ G x \in G x∈G，使 ϕ ( x ) = x ′ \phi(x)=x' ϕ(x)=x′；
第四步 证明 ϕ \phi ϕ 保持运算。即对任意的 x , y ∈ G x,y \in G x,y∈G，证明 ϕ ( x y ) = ϕ ( x ) ϕ ( y ) \phi(xy)=\phi(x)\phi(y) ϕ(xy)=ϕ(x)ϕ(y)。
定理 1.4.1群同构的性质
设 ϕ \phi ϕ是群 G G G到 G ′ G' G′的同构映射， e e e与 e ′ e' e′分别是 G G G与 G ′ G' G′的单位元， a a a是 G G G的任一元素，则
(1) ϕ ( e ) = e ′ \phi(e)=e' ϕ(e)=e′；
(2) ϕ ( a − 1 ) = ( ϕ ( a ) ) − 1 \phi(a^{-1})=(\phi(a))^{-1} ϕ(a−1)=(ϕ(a))−1；
(3) ϕ \phi ϕ是可逆映射，且 ϕ \phi ϕ的逆映射 ϕ − 1 \phi^{-1} ϕ−1是群 G ′ G' G′到群 G G G的同构映射。
理解：群同构把单位元映射为单位元，逆元映射为逆元
PS：设群 G G G与 G ′ G' G′同构。如果 G G G是交换群，则 G ′ G' G′也是交换群；如果 G G G是有限群，则 G ′ G' G′也是有限群，且 ∣ G ∣ = ∣ G ′ ∣ |G| = |G'| ∣G∣=∣G′∣。
定理 ：1.4.2群同构是等价关系
群的同构是一个等价关系，即
(1) G ≅ G G \cong G G≅G（反身性）；
(2) 若 G ≅ G ′ G \cong G' G≅G′，则 G ′ ≅ G G' \cong G G′≅G（对称性）；
(3) 若 G ≅ G ′ G \cong G' G≅G′， G ′ ≅ G ′ ′ G' \cong G'' G′≅G′′，则 G ≅ G ′ ′ G \cong G'' G≅G′′（传递性）， 其中 G , G ′ , G ′ ′ G, G', G'' G,G′,G′′都是群。
理解：同构的群具有完全相同的群性质
定义 ：对称群和变换群
对于非空集合 X X X，全体可逆变换 （即 X X X到自身的双射变换）关于"变换的合成"（即依次进行两个变换的运算）所构成的群，称为集合 X X X的对称群 （记为 S X S_X SX）；而S_X 的任意一个子群，就称为 的任意一个子群，就称为 的任意一个子群，就称为X的一个变换群。
定理 ：凯莱定理
每一个群都同构于一个变换群
1.5循环群
定义 ：元素的阶
设 G G G是一个群， e e e是 G G G的单位元， a ∈ G a\in G a∈G。如果存在正整数 r r r，使 a r = e a^r=e ar=e，则称 a a a是有限阶的，否则称 a a a是无限阶的。使 a r = e a^r=e ar=e的最小正整数 r r r称为元素 a a a的阶(order)，记作 ord a = r \text{ord}\,a = r orda=r。如果 a a a是无限阶的，则记作 ord a = ∞ \text{ord}\,a = \infty orda=∞。
定理 ：关于元素阶的性质
设 G G G为群， e e e为 G G G的单位元。
(1) 对任意的 a ∈ G a \in G a∈G，有 ord a = ord a − 1 \text{ord}\,a = \text{ord}\,a^{-1} orda=orda−1；
(2) 设 ord a = n \text{ord}\,a = n orda=n，如果有 m ∈ Z m \in \mathbb{Z} m∈Z，使 a m = e a^m = e am=e，则 n ∣ m n \mid m n∣m；
(3) 设 ord a = n \text{ord}\,a = n orda=n，则对任意的 m ∈ Z m \in \mathbb{Z} m∈Z， ord a m = n ( n , m ) \text{ord}\,a^m = \frac{n}{(n, m)} ordam=(n,m)n；
(4) 设 ord a = n \text{ord}\,a = n orda=n， ord b = m \text{ord}\,b = m ordb=m，如果 a b = b a ab = ba ab=ba，且 gcd ( n , m ) = 1 \gcd(n, m) = 1 gcd(n,m)=1，则 ord ( a b ) = m n \text{ord}\,(ab) = mn ord(ab)=mn。
定理： 元素的阶与群的阶之间的关系
设 G G G是一个有限群， ∣ G ∣ = n |G|=n ∣G∣=n，则对任意的 a ∈ G a \in G a∈G， a a a是有限阶的，且 ord a ∣ ∣ G ∣ \text{ord}\,a \mid |G| orda∣∣G∣，即一个有限群的任一个元素的阶都是群阶数的因子。
定义 ：循环群
设 G G G是群，如果存在 a ∈ G a \in G a∈G，使得 G = ⟨ a ⟩ G = \langle a \rangle G=⟨a⟩，则称 G G G为一个循环群 (cyclic group)，并称 a a a为 G G G的一个生成元 (generator)。当 G G G的元素个数无限时，称 G G G为无限循环群 ；当 G G G的元素个数为 n n n时，称 G G G为** n n n阶循环群**。
性质 ：循环群的性质
(1) ( a − 1 ) = ⟨ a ⟩ (a^{-1}) = \langle a \rangle (a−1)=⟨a⟩；
(2) 如果 G G G是有限群，则 G = ⟨ a ⟩ ⟺ ∣ G ∣ = ord a G = \langle a \rangle \iff |G| = \text{ord}\,a G=⟨a⟩⟺∣G∣=orda；
(3) 如果 G G G为无限循环群，则 G = { e , a , a − 1 , a 2 , a − 2 , a 3 , a − 3 , ... } G = \{e, a, a^{-1}, a^2, a^{-2}, a^3, a^{-3}, \dots\} G={e,a,a−1,a2,a−2,a3,a−3,...}， 且对任意的 k , l ∈ Z k, l \in \mathbb{Z} k,l∈Z，由 a k = a l a^k = a^l ak=al，必可推出 k = l k = l k=l；
(4) 如果 G G G为 n n n阶循环群，则 G = { e , a , a 2 , a 3 , ... , a n − 1 } G = \{e, a, a^2, a^3, \dots, a^{n-1}\} G={e,a,a2,a3,...,an−1}， 且对任意的 k , l ∈ Z k, l \in \mathbb{Z} k,l∈Z， a k = a l ⟺ n ∣ k − l a^k = a^l \iff n \mid k - l ak=al⟺n∣k−l
定理 :原根定理
设 p p p为素数，则 Z p ∗ \mathbb{Z}_p^* Zp∗是 p − 1 p - 1 p−1阶循环群。
理解：设 p p p是一个素数，则模 p p p的乘法群 Z p ∗ \mathbb{Z}_p^* Zp∗（即集合 { 1 , 2 , ... , p − 1 } \{1, 2, \dots, p - 1\} {1,2,...,p−1}在模 p p p乘法下构成的群）是一个阶为 p − 1 p - 1 p−1的循环群。
在素数乘法群中原根和生成元是一回事
定理 ：生成元的个数
设 G = ⟨ a ⟩ G = \langle a \rangle G=⟨a⟩为循环群，则
(1) 如果 ∣ G ∣ = ∞ |G| = \infty ∣G∣=∞，则 a a a与 a − 1 a^{-1} a−1是 G G G的两个仅有的生成元；
(2) 如果 ∣ G ∣ = n |G| = n ∣G∣=n，则 G G G恰有 φ ( n ) \varphi(n) φ(n)个生成元，且 a r a^r ar是 G G G的生成元的充分必要条件是 ( n , r ) = 1 (n, r) = 1 (n,r)=1，其中 φ ( n ) \varphi(n) φ(n)是欧拉函数。
理解：
生成元的作用是"生成"整个群，即通过重复应用群运算（乘法或加法）可以得到群的所有元素。 如果 r r r和 n n n 有公因子，那么 a r a^r ar生成的子群只会是 G G G的一个真子群，无法覆盖整个 G G G。 只有当 r r r和 n n n互质时， a r a^r ar 的幂才能遍历所有 n n n个元素。如果不互质会陷入一个真子群的小循环。互质保证了遍历性
定理 ：循环群的任意一个子群也是循环群
推论1 设 ord a = n \text{ord}\,a = n orda=n， r r r是任一整数。如果 ( n , r ) = d (n, r) = d (n,r)=d，则 ( a r ) = ⟨ a d ⟩ (a^r) = \langle a^d \rangle (ar)=⟨ad⟩
推论2 设 G = ⟨ a ⟩ G = \langle a \rangle G=⟨a⟩为循环群
- 如果 ∣ G ∣ = ∞ |G| = \infty ∣G∣=∞，则 G G G的全部子群为 { ⟨ a d ⟩ ∣ d = 0 , 1 , 2 , ... } \{\langle a^d \rangle \mid d = 0, 1, 2, \dots\} {⟨ad⟩∣d=0,1,2,...}；
- 如果 ∣ G ∣ = n |G| = n ∣G∣=n，则 G G G的全部子群为 { ⟨ a d ⟩ ∣ d \{\langle a^d \rangle \mid d {⟨ad⟩∣d为 n n n的正因子 } \} }。
定理 :循环群的结构定理
设 G G G为循环群
(1) 如果 G = ⟨ a ⟩ G = \langle a \rangle G=⟨a⟩是无限循环群，则 G ≅ ( Z , + ) G \cong (\mathbb{Z}, +) G≅(Z,+)；
(2) 如果 G = ⟨ a ⟩ G = \langle a \rangle G=⟨a⟩是 n n n阶循环群，则 G ≅ ( Z n , + ) G \cong (\mathbb{Z}_n, +) G≅(Zn,+)。
1.6置换群和对称群
定义 ：对称群与置换群
非空集合 X X X的全体可逆变换(从集合 X X X到集合 X X X的双射变换 )关于映射的合成构成集合 X X X的对称群 S X S_X SX，并且把 S X S_X SX的任一子群叫做 X X X的一个变换群。如果 X X X是由 n n n个元素组成的有限集合，则通常把 X X X的一个可逆变换(从集合 X X X到集合 X X X的双射变换 )叫做一个 n n n阶置换(permutation)，称 S X S_X SX为 n n n次对称群(symmetric group of degree n n n)，并把 S X S_X SX记作 S n S_n Sn，同时称 S n S_n Sn的子群为置换群(permutation group)。
理解 ：定义在非空集合 X X X上的全体双射变换（双射变换的复合还是双射变换 ，见下图解）自然构成一个群，这个群我们叫做对称群 S X S_X SX或者 n n n次对称群（ n n n为集合 X X X元素的数量）记作 S n S_n Sn。 S n S_n Sn的任意一个子群都叫做置换群。
定理 :有限群的凯莱定理
任何一个有限群同构于一个置换群。
定理 ：n次对称群 S n S_n Sn的阶是 n ！ n！ n！
例子 ： ∣ S 1 ∣ = 1 ! = 1 |S_1| = 1! = 1 ∣S1∣=1!=1； X = { 1 } X = \{1\} X={1}； ( 1 1 ) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} (11)
∣ S 2 ∣ = 2 ! = 2 |S_2| = 2! = 2 ∣S2∣=2!=2； X = { 1 , 2 } X = \{1,2\} X={1,2}； ( 1 2 1 2 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} (1122)， ( 1 2 2 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} (1221)
∣ S 3 ∣ = 3 ! = 6 |S_3| = 3! = 6 ∣S3∣=3!=6； X = { 1 , 2 , 3 } X = \{1,2,3\} X={1,2,3}； ( 1 2 3 1 2 3 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} (112233)， ( 1 2 3 1 3 2 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} (112332)， ( 1 2 3 2 1 3 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} (122133)， ( 1 2 3 2 3 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} (122331)， ( 1 2 3 3 1 2 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} (132132)， ( 1 2 3 3 2 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} (132231)
定义 :r轮换
设 σ \sigma σ是一个 n n n阶置换. 如果存在 1 1 1到 n n n中的 r r r个不同的数 i 1 , i 2 , ⋯ , i r i_1,i_2,\cdots,i_r i1,i2,⋯,ir，使
σ ( i 1 ) = i 2 \sigma(i_1)=i_2 σ(i1)=i2, σ ( i 2 ) = i 3 \sigma(i_2)=i_3 σ(i2)=i3, ⋯ \cdots ⋯, σ ( i r − 1 ) = i r \sigma(i_{r-1})=i_r σ(ir−1)=ir, σ ( i r ) = i 1 \sigma(i_r)=i_1 σ(ir)=i1,
并且** σ \sigma σ保持其余的元素不变**，则称 σ \sigma σ是一个长度为 r r r的轮换(cycle)，简称 r r r轮换，记作 σ = ( i 1 i 2 ... i r ) \sigma=(i_1\ i_2\ \dots\ i_r) σ=(i1 i2 ... ir). 2 2 2轮换称为对换(transposition).
理解 :轮换的表示一般不是唯一的。对于置换 σ = ( 1 2 3 4 5 6 7 2 4 3 6 5 1 7 ) \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 3 & 6 & 5 & 1 & 7 \end{pmatrix} σ=(12243346556177) 可分别表示为 σ = ( 1 2 4 6 ) \sigma = (1\ 2\ 4\ 6) σ=(1 2 4 6) = ( 2 4 6 1 ) = (2\ 4\ 6\ 1) =(2 4 6 1) = ( 4 6 1 2 ) = (4\ 6\ 1\ 2) =(4 6 1 2) = ( 6 1 2 4 ) = (6\ 1\ 2\ 4) =(6 1 2 4).
也可以用下面的图理解：
定义 ：不相交轮换
设 σ = ( i 1 i 2 ... i r ) \sigma=(i_1\ i_2\ \dots\ i_r) σ=(i1 i2 ... ir)与 τ = ( j 1 j 2 ... j s ) \tau=(j_1\ j_2\ \dots\ j_s) τ=(j1 j2 ... js)是两个轮换，如果 i k ≠ j l , k = 1 , 2 , ⋯ , r ; l = 1 , 2 , ⋯ , s , i_k \neq j_l, \ \ k = 1,2,\cdots,r; \ l = 1,2,\cdots,s, ik=jl, k=1,2,⋯,r; l=1,2,⋯,s, 则称 σ \sigma σ与 τ \tau τ为两个不相交的轮换。
定理 ：任何两个不相交轮换的乘积是可以交换的.
定理 ：每一个置换可表位一些不相交轮换的乘积
例子：
将 σ = ( 1 2 3 4 5 6 4 3 6 1 5 2 ) \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 3 & 6 & 1 & 5 & 2 \end{pmatrix} σ=(142336415562)表为不相交轮换的乘积.
容易看出， σ \sigma σ以下列顺序作用于 X X X的元素： 1 ⟼ 4 ⟼ 1 , 1 \longmapsto 4 \longmapsto 1, 1⟼4⟼1, 2 ⟼ 3 ⟼ 6 ⟼ 2 , 2 \longmapsto 3 \longmapsto 6 \longmapsto 2, 2⟼3⟼6⟼2, 5 ⟼ 5. 5 \longmapsto 5. 5⟼5.
故 ( 1 2 3 4 5 6 4 3 6 1 5 2 ) = ( 14 ) ( 236 ) ( 5 ) = ( 14 ) ( 236 ) . \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 3 & 6 & 1 & 5 & 2 \end{pmatrix} = (14)(236)(5) = (14)(236). (142336415562)=(14)(236)(5)=(14)(236).
例子：
将下列轮换的乘积表示为不相交轮换的乘积： ( 3 6 5 4 ) ( 3 2 4 1 ) ( 3 1 5 2 ) . (3\ 6\ 5\ 4)(3\ 2\ 4\ 1)(3\ 1\ 5\ 2). (3 6 5 4)(3 2 4 1)(3 1 5 2).
解 设 σ = ( 3 6 5 4 ) \sigma = (3\ 6\ 5\ 4) σ=(3 6 5 4)， δ = ( 3 2 4 1 ) \delta = (3\ 2\ 4\ 1) δ=(3 2 4 1)， η = ( 3 1 5 2 ) \eta = (3\ 1\ 5\ 2) η=(3 1 5 2)，则有 σ δ η : 1 ⟼ η 5 ⟼ δ 5 ⟼ σ 4 4 ⟼ η 3 ⟼ δ 2 ⟼ σ 2 2 ⟼ η 4 ⟼ δ 1 ⟼ σ 1 3 ⟼ η 1 ⟼ δ 3 ⟼ σ 6 6 ⟼ η 6 ⟼ δ 6 ⟼ σ 5 5 ⟼ η 2 ⟼ δ 4 ⟼ σ 3 \sigma\delta\eta: \begin{align*} 1 &\stackrel{\eta}{\longmapsto} 5 \stackrel{\delta}{\longmapsto} 5 \stackrel{\sigma}{\longmapsto} 4 \\ 4 &\stackrel{\eta}{\longmapsto} 3 \stackrel{\delta}{\longmapsto} 2 \stackrel{\sigma}{\longmapsto} 2 \\ 2 &\stackrel{\eta}{\longmapsto} 4 \stackrel{\delta}{\longmapsto} 1 \stackrel{\sigma}{\longmapsto} 1 \\ 3 &\stackrel{\eta}{\longmapsto} 1 \stackrel{\delta}{\longmapsto} 3 \stackrel{\sigma}{\longmapsto} 6 \\ 6 &\stackrel{\eta}{\longmapsto} 6 \stackrel{\delta}{\longmapsto} 6 \stackrel{\sigma}{\longmapsto} 5 \\ 5 &\stackrel{\eta}{\longmapsto} 2 \stackrel{\delta}{\longmapsto} 4 \stackrel{\sigma}{\longmapsto} 3 \\ \end{align*} σδη:142365⟼η5⟼δ5⟼σ4⟼η3⟼δ2⟼σ2⟼η4⟼δ1⟼σ1⟼η1⟼δ3⟼σ6⟼η6⟼δ6⟼σ5⟼η2⟼δ4⟼σ3 由此得 ( 3 6 5 4 ) ( 3 2 4 1 ) ( 3 1 5 2 ) = ( 1 4 2 ) ( 3 6 5 ) . (3\ 6\ 5\ 4)(3\ 2\ 4\ 1)(3\ 1\ 5\ 2) = (1\ 4\ 2)(3\ 6\ 5). (3 6 5 4)(3 2 4 1)(3 1 5 2)=(1 4 2)(3 6 5). 注意，计算的顺序应是从右到左。
定理 ：轮换的阶
如果 σ \sigma σ是一个 r r r轮换，则 ord σ = r \text{ord}\ \sigma = r ord σ=r。
如果 σ \sigma σ是一些不相交轮换的乘积 σ = σ 1 σ 2 ⋯ σ s , \sigma = \sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_s, σ=σ1σ2⋯σs, 其中 σ i \sigma_i σi是 r i r_i ri轮换，则 ord σ = r 1 , r 2 , ⋯ , r s \text{ord}\ \sigma = r_1, r_2, \\cdots, r_s ord σ=r1,r2,⋯,rs。
定理 :置换转化为对换的奇偶不变性
将一个置换表为对换的乘积，所用对换个数的奇偶性是唯一的。
定义 ：奇置换和偶置换
可表成偶数个对换的乘积的置换叫偶置换 (even permutation)，可表成奇数个对换的乘积的置换叫奇置换(odd permutation)。
由定义易得：
(1) 任何两个偶(奇)置换之积是偶置换；
(2) 一个偶置换与一个奇置换之积是奇置换；
(3) 一个偶(奇)置换的逆置换仍是一个偶(奇)置换。
定理 : S n S_n Sn中奇置换和偶置换个数
当 n > 1 n > 1 n>1时，在全体 n n n阶置换中，奇置换与偶置换各有 n ! 2 \frac{n!}{2} 2n!个.
定理 :n次交代群（交错群）
在 S n S_n Sn中，全体偶置换构成 S n S_n Sn的子群称为n次交代群（交错群），记作 A n A_n An.
*1.7置换在对称变换群中的应用
定义 :对称变换群
使图形不变形地变到与自身重合 的变换称为这个图形的对称变换 (symmetric transformation). 一个图形的一切对称变换关于变换的乘法 构成群, 这个群称为这个图形的对称变换群.
例：正方形的对称变换群
由图1.7.1不难看出，正方形的对称变换只有两种：
(1) 分别绕中心点 O O O按逆时针方向旋转 9 0 ∘ 90^\circ 90∘， 18 0 ∘ 180^\circ 180∘， 27 0 ∘ 270^\circ 270∘， 36 0 ∘ 360^\circ 360∘的旋转；
(2) 关于直线 L 1 L_1 L1， L 2 L_2 L2， L 3 L_3 L3， L 4 L_4 L4的镜面反射。
为了用置换来表示正方形的对称变换，用数字 1 1 1， 2 2 2， 3 3 3， 4 4 4来代表正方形的四个顶点（图1.7.1）。显然，正方形的每一个对称变换都导致了这四个顶点的一个置换。如果对称变换将顶点 i i i变为顶点 k i k_i ki，那么用置换
( 1 2 3 4 k 1 k 2 k 3 k 4 ) \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ k_1&k_2&k_3&k_4 \end{pmatrix} (1k12k23k34k4)
来表示这个对称变换。
表1.7.1 正方形的对称变换及其置换表示
| 对称变换 | 置换表示 |
|---|---|
| c c c表示绕中心旋转 9 0 ∘ 90^\circ 90∘ | ( 1 2 3 4 ) (1\ 2\ 3\ 4) (1 2 3 4) |
| c 2 c^2 c2表示绕中心旋转 18 0 ∘ 180^\circ 180∘ | ( 1 3 ) ( 2 4 ) (1\ 3)(2\ 4) (1 3)(2 4) |
| c 3 c^3 c3表示绕中心旋转 27 0 ∘ 270^\circ 270∘ | ( 1 4 3 2 ) (1\ 4\ 3\ 2) (1 4 3 2) |
| c 4 c^4 c4表示绕中心旋转 36 0 ∘ 360^\circ 360∘（恒等变换） | ( 1 ) (1) (1) |
| v 1 v_1 v1表示关于 L 1 L_1 L1的反射 | ( 1 2 ) ( 3 4 ) (1\ 2)(3\ 4) (1 2)(3 4) |
| v 2 v_2 v2表示关于 L 2 L_2 L2的反射 | ( 1 4 ) ( 2 3 ) (1\ 4)(2\ 3) (1 4)(2 3) |
| v 3 v_3 v3表示关于 L 3 L_3 L3的反射 | ( 2 4 ) (2\ 4) (2 4) |
| v 4 v_4 v4表示关于 L 4 L_4 L4的反射 | ( 1 3 ) (1\ 3) (1 3) |
由表1.7.1可知，两个对称变换的乘积对应于相应的置换的乘积。所以正方形的对称变换群是 S 4 S_4 S4的一个子群，记作 D 4 D_4 D4。由表1.7.1可知 ∣ D 4 ∣ = 8 |D_4|=8 ∣D4∣=8。
一般地，正 n n n边形（ n ⩾ 3 n \geqslant 3 n⩾3）的对称变换群是 S n S_n Sn的一个子群，记作 D n D_n Dn，称为二面体群 。易知，正 n n n边形有 n n n个旋转（包括恒等变换）和 n n n个反射，所以，二面体群的阶数是 2 n 2n 2n。
第二章：群的进阶
2.1子群的陪集
定义 ：子群的乘积
设 A A A与 B B B是群 G G G的两个非空子集，称集合 A B = { a b ∣ a ∈ A , b ∈ B } AB = \{ab \mid a \in A, b \in B\} AB={ab∣a∈A,b∈B} 为群的子集 A A A与 B B B的乘积
定理 ：2.1.1
设 A , B , C A,B,C A,B,C是群 G G G的非空子集， g g g是群 G G G的一个元素，则
(1) A ( B C ) = ( A B ) C A(BC) = (AB)C A(BC)=(AB)C；
(2) 如果 g A = g B gA = gB gA=gB或 A g = B g Ag = Bg Ag=Bg，则 A = B A = B A=B；
(3) 如果 H H H是群 G G G的子群，则 H ⋅ H = H H \cdot H = H H⋅H=H；
(4) 如果 A , B A,B A,B是群 G G G的两个子群，则 A B AB AB也是群 G G G的子群的充分必要条件是 A B = B A AB = BA AB=BA。
定义 ：左右陪集
设 G G G是群， H H H是 G G G的子群. 对任意的 a ∈ G a \in G a∈G，群 G G G的子集 a H = { a h ∣ h ∈ H } 与 H a = { h a ∣ h ∈ H } aH = \{ah \mid h \in H\} \quad \text{与} \quad Ha = \{ha \mid h \in H\} aH={ah∣h∈H}与Ha={ha∣h∈H} 分别称为 H H H在 G G G中的左陪集 (left coset) 和右陪集 (right coset).
定理: 2.1.2
设 H H H是群 G G G的子群， a , b ∈ G a,b \in G a,b∈G，则
(1) a ∈ a H a \in aH a∈aH；
(2) a H = H aH = H aH=H的充分必要条件是 a ∈ H a \in H a∈H；
(3) a H aH aH为子群的充分必要条件是 a ∈ H a \in H a∈H；
(4) a H = b H aH = bH aH=bH的充分必要条件是 a − 1 b ∈ H a^{-1}b \in H a−1b∈H；
(5) a H aH aH与 b H bH bH或者完全相同，或者无公共元素；
(6) ∣ a H ∣ = ∣ b H ∣ |aH| = |bH| ∣aH∣=∣bH∣。
并且仅有H是群
定理 ：2.1.3
设 H H H是群 G G G的子群，用 S L S_L SL表示 H H H在 G G G中的全体左陪集 （即 S L = { g H ∣ g ∈ G } S_L = \{ gH \mid g \in G \} SL={gH∣g∈G}，其中 g H gH gH是左陪集），用 S R S_R SR表示 H H H在 G G G中的全体右陪集 （即 S R = { H g ∣ g ∈ G } S_R = \{ Hg \mid g \in G \} SR={Hg∣g∈G}，其中 H g Hg Hg是右陪集）则 ∣ S L ∣ = ∣ S R ∣ |S_L| = |S_R| ∣SL∣=∣SR∣。
理解 ：子群 H H H通过"左乘群 G G G中元素"得到的所有左陪集，和通过"右乘群 G G G中元素"得到的所有右陪集，数量是一样的。
定义 :子群的指数
设 G G G是群， H H H是 G G G的子群. 称子群 H H H在群 G G G中的左陪集或右陪集的个数 (有限或无限) 为 H H H在 G G G中的指数 (index)，记作 G : H G:H G:H.
定理 ：拉格朗日定理
设 G G G是一个有限群， H H H是 G G G的子群，则 ∣ G ∣ = ∣ H ∣ G : H . |G| = |H|G:H. ∣G∣=∣H∣G:H. 拉格朗日定理说明，有限群 G G G的子群 H H H的阶数与它在 G G G中的指数，都是群 G G G的阶数的因子。
理解 ：拉格朗日定理说明，有限群 G G G的子群 H H H的阶数与它在 G G G中的指数，都是群 G G G的阶数的因子.
推论 1 ：设 G G G是有限群，则 G G G中每一个元素的阶都是 ∣ G ∣ |G| ∣G∣的因子.
理解：因为 a a a 的阶就是 ⟨ a ⟩ \langle a \rangle ⟨a⟩ 的阶，而 ⟨ a ⟩ \langle a \rangle ⟨a⟩ 的阶是 ∣ G ∣ |G| ∣G∣ 的因子，所以 a a a 的阶是 ∣ G ∣ |G| ∣G∣ 的因子. □
推论 2 ：设 G G G为有限群， ∣ G ∣ = n |G|=n ∣G∣=n，则对任意的 a ∈ G a \in G a∈G，有 a n = e a^n = e an=e.
注：将推论2应用到模 p p p单位群 Z p ∗ \boldsymbol{Z}_p^* Zp∗（ p p p是素数），可以得到初等数论中著名的定理：
定理 2.1.5（费马 (Fermat) 小定理） 设 p p p为素数，则对任意一个与 p p p互素的整数 a a a，有
a p − 1 ≡ 1 ( m o d p ) . a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}. ap−1≡1(modp).
2.2正规子群与商群
定义 ：正规子群
设 H H H是群 G G G的子群，如果对每个 a ∈ G a \in G a∈G，都有 a H = H a aH = Ha aH=Ha，则称 H H H是群 G G G的一个正规子群(normal subgroup)或不变子群(invariant subgroup)，记作 H ◃ G H \triangleleft G H◃G。
定理 ：2.2.1
设 G G G是群， H H H是 G G G的子群，则下列四个条件等价：
(1) H H H是 G G G的正规子群；
(2) 对任意的 a ∈ G a \in G a∈G，有 a H a − 1 = H aHa^{-1} = H aHa−1=H；
(3) 对任意的 a ∈ G a \in G a∈G，有 a H a − 1 ⊆ H aHa^{-1} \subseteq H aHa−1⊆H；
(4) 对任意的 a ∈ G a \in G a∈G， h ∈ H h \in H h∈H，有 a h a − 1 ∈ H aha^{-1} \in H aha−1∈H。
定理 ：2.2.2
交换群的任意子群都是正规子群,而循环群一定是交换群所以循环群的任意子群也一定是正规子群
定理 ：2.2.3
设 G G G为群， H 1 , H 2 H_1, H_2 H1,H2是 G G G的正规子群，则 H 1 ∩ H 2 H_1 \cap H_2 H1∩H2与 H 1 H 2 H_1H_2 H1H2都是 G G G的正规子群。
定义 ：商群
设 G G G是群， H H H是 G G G的一个正规子群，则 H H H的所有陪集组成的集合 G / H = { a H ∣ a ∈ G } G/H = \{aH \mid a \in G\} G/H={aH∣a∈G} 关于陪集的乘法 a H ⋅ b H = ( a b ) H aH \cdot bH = (ab)H aH⋅bH=(ab)H构成群，称为群 G G G关于子群 H H H的商群 (quotient group)，仍记作 G / H G/H G/H.
推论1：
设 G G G为群， H H H是 G G G的正规子群，则
(1) 商群 G / H G/H G/H的单位元是 e H ( = H ) eH(=H) eH(=H)；
(2) a H aH aH在 G / H G/H G/H中的逆元是 a − 1 H a^{-1}H a−1H。
推论2：
设 G G G为群， H H H是 G G G的任一子群。如果 G G G是交换群，则商群 G / H G/H G/H也是交换群。
推论3：
有限群 G G G的商群的阶是群 G G G的阶数的因子。
研究商群的意义：
商群是一类极为重要的群，它从一开始就受到数学家们的特别关注。这是因为，商群是由其正规子群的陪集所构成，所以它在许多方面有与原来的群相似 的性质（如果子群 H ≠ G H \neq G H=G）；同时，商群的结构又比原来的群简单一些（只要子群 H ≠ { e } H \neq \{e\} H={e}）。讨论商群的性质相对来说要比讨论原来的群的性质容易。这样，借助于商群，我们就可以部分地了解原来群的性质。从这一点来看，商群在理论上和实践上的意义当然是不言而喻的了。作为正规子群的应用。
理解：考虑一个G群，它可以被可视化为一个较大圆圈内的一组点。在这个圆圈内，有代表子群的小圆圈。 现在，想象N是这个表示中的一个特殊子群。商群G/N可以被视作将每个陪集的所有元素折叠成一个点。这创造出一个简化的结构，它仍然反映出群的性质。
举例：
设 G G G为有限交换群， ∣ G ∣ = n |G|=n ∣G∣=n。证明：对 n n n的任一素因子 p p p， G G G必有阶为 p p p的元素。
证明: 对 n n n应用数学归纳法。
首先，当 n = 2 n=2 n=2时，结论显然成立。
假设结论对所有阶小于 n n n的交换群成立。考察阶为 n n n的交换群 G G G，设 p p p为 n n n的任一素因子。
任取 a ∈ G a \in G a∈G， a ≠ e a \neq e a=e，设 ord a = r \text{ord}\,a = r orda=r。
(1) 如果 r = p k r = pk r=pk，则 ord a k = p \text{ord}\,a^k = p ordak=p，结论成立。
(2) 如果 p ∤ r p \nmid r p∤r，令 H = ⟨ a ⟩ H = \langle a \rangle H=⟨a⟩，则 H H H为 G G G的正规子群（见例3），且商群 G / H G/H G/H为交换群（推论2）。而 ∣ G / H ∣ = n r < n |G/H| = \frac{n}{r} < n ∣G/H∣=rn<n，且因 p ∤ r p \nmid r p∤r，所以 p ∣ ( n r ) p \mid \left( \frac{n}{r} \right) p∣(rn)。从而由归纳假设知，存在 b H ∈ G / H bH \in G/H bH∈G/H，使 ord b H = p \text{ord}\,bH = p ordbH=p，则 b p ∈ H b^p \in H bp∈H。于是 b p r = e b^{pr} = e bpr=e。由于 p ∤ r p \nmid r p∤r，所以 ( b H ) r ≠ H (bH)^r \neq H (bH)r=H，即 b r ∉ H b^r \notin H br∈/H，于是 b r ≠ e b^r \neq e br=e。而 ( b r ) p = e (b^r)^p = e (br)p=e，所以 ord b r = p \text{ord}\,b^r = p ordbr=p。
从而由归纳法原理知结论成立。
2.3群的同态和同构基本定理
引言：
1.3 节曾经说过，研究一件事物通常有三种方法，其中之一就是从一件事物与另一件事物的联系中去了解事物。在数学上，数学对象之间的联系往往是通过某种特殊的映射来反映的。这些映射不但建立了两个数学对象的元素之间的联系，而且也要能反映出这两个数学对象之间的某种结构上的联系。比如，线性代数中的线性映射就具有这一特点，它既建立了两个线性空间的元素之间的对应关系，同时也保持了双方的某些运算性质。在 1.4 节中所讨论过的群同构的概念也具有这一特性。但是，群同构的概念对于讨论群与群之间的关系来说条件太强了，它首先要求群与群的元素之间有一个一一对应的关系。在群论中，在讨论群与群之间的联系时，一个应用得更为广泛的概念是群同态的概念。与同构一样，群同态保持了群双方的运算，但却不要求群的元素之间是一一对应的。因此可以说，群同态是群同构的概念的自然推广。通过群同态，可以了解一个群与它的商群以及它的同态象之间的密切的联系。而这种联系，无论对于群论本身，还是对于群的应用，都是极为重要的。本节首先给出群同态的定义，然后讨论群同态的一些最基本的性质，最后证明群同态的基本定理。
定义 ：同态
设 ( G , ⋅ ) (G,\cdot) (G,⋅)与 ( G ′ , ∗ ) (G',*) (G′,∗)是两个群， ϕ \phi ϕ是 G G G到 G ′ G' G′的映射。如果对任意的 a , b ∈ G a,b \in G a,b∈G有 ϕ ( a ⋅ b ) = ϕ ( a ) ∗ ϕ ( b ) , (2.3.1) \phi(a\cdot b) = \phi(a)*\phi(b), \tag{2.3.1} ϕ(a⋅b)=ϕ(a)∗ϕ(b),(2.3.1) 则称 ϕ \phi ϕ是群 G G G到 G ′ G' G′的一个同态映射(homomorphism)，简称同态。
当同态映射 ϕ \phi ϕ是满射时，称 ϕ \phi ϕ为群 G G G到 G ′ G' G′的满同态 (epimorphism)，并称群 G G G与 G ′ G' G′同态，记作 ϕ : G ∼ G ′ \phi: G \sim G' ϕ:G∼G′(或 G ∼ ϕ G ′ G \stackrel{\phi}{\sim} G' G∼ϕG′)。
当同态映射 ϕ \phi ϕ是单射时，称 ϕ \phi ϕ为 G G G到 G ′ G' G′的单同态(monomorphism)。
既是单射又是满射的同态是同构
定义 : 自然同态
设 G G G 是一个群， H H H 是 G G G 的一个正规子群 （即 N ◃ G N \triangleleft G N◃G）。定义映射 ϕ : G → G / H \phi: G \to G/H ϕ:G→G/H，对于任意 g ∈ G g \in G g∈G，令 ϕ ( g ) = g H \phi(g) = gH ϕ(g)=gH。这里 g H gH gH 是 g g g 所在的陪集，也就是商群 G / H G/H G/H 中的一个元素。 这个映射 ϕ \phi ϕ 称为从群 G G G 到商群 G / H G/H G/H 的自然同态 （或典范同态）。
定理 :2.3.1同态下元素的关系
设 ϕ \phi ϕ是群 G G G到群 G ′ G' G′的同态映射， e e e与 e ′ e' e′分别是 G G G与 G ′ G' G′的单位元， a ∈ G a \in G a∈G，则
(1) ϕ \phi ϕ将 G G G的单位元映到 G ′ G' G′的单位元，即 ϕ ( e ) = e ′ \phi(e) = e' ϕ(e)=e′；
(2) ϕ \phi ϕ将 a a a的逆元映到 ϕ ( a ) \phi(a) ϕ(a)的逆元，即 ϕ ( a − 1 ) = ( ϕ ( a ) ) − 1 \phi(a^{-1}) = (\phi(a))^{-1} ϕ(a−1)=(ϕ(a))−1；
(3) 设 n n n是任一整数，则 ϕ ( a n ) = ( ϕ ( a ) ) n \phi(a^n) = (\phi(a))^n ϕ(an)=(ϕ(a))n；
(4) 如果 ord a \text{ord}\,a orda有限，则 ord ϕ ( a ) ∣ ord a \text{ord}\,\phi(a) \mid \text{ord}\,a ordϕ(a)∣orda。
定理 ：2.3.2同态下子群的关系
设 ϕ \phi ϕ是群 G G G到 G ′ G' G′的同态映射， H H H与 K K K分别是 G G G与 G ′ G' G′的子群，则
(1) ϕ ( H ) \phi(H) ϕ(H)是 G ′ G' G′的子群；
(2) ϕ − 1 ( K ) \phi^{-1}(K) ϕ−1(K)是 G G G的子群；
(3) 如果 H H H是 G G G的正规子群，则 ϕ ( H ) \phi(H) ϕ(H)是 ϕ ( G ) \phi(G) ϕ(G)的正规子群；
(4) 如果 K K K是 G ′ G' G′的正规子群，则 ϕ − 1 ( K ) \phi^{-1}(K) ϕ−1(K)是 G G G的正规子群。
定义 ：核
设 ϕ \phi ϕ是群 G G G到 G ′ G' G′的同态映射， e ′ e' e′是 G ′ G' G′的单位元，则称 e ′ e' e′在 G G G中的原象
ϕ − 1 ( { e ′ } ) = { a ∈ G ∣ ϕ ( a ) = e ′ } \phi^{-1}(\{e'\}) = \{a \in G \mid \phi(a) = e'\} ϕ−1({e′})={a∈G∣ϕ(a)=e′}
为同态映射 ϕ \phi ϕ的核(kernel)，记作 Ker ϕ \text{Ker}\,\phi Kerϕ.
定理 ：2.3.3
设 ϕ \phi ϕ是群 G G G到 G ′ G' G′的同态映射，则 Ker ϕ \text{Ker}\,\phi Kerϕ是 G G G的正规子群。
定理 :2.3.4（群同态基本定理）
设 ϕ \phi ϕ是群 G G G到群 G ′ G' G′的满同态， K = Ker ϕ K = \text{Ker}\,\phi K=Kerϕ，则 G / K ≅ G ′ . G/K \cong G'. G/K≅G′.
理解 ：群同态基本定理是群论中一个十分重要而且经常用到的定理. 由这个定理可知, 从同构的观点来看, 群的同态象就是群的商群. 因此, 既可以由群的同态象去研究群的商群, 同时又可以借助于群的商群对群的同态象作系统的描述. 以下面的例子来说明群同态基本定理的某些应用.
2.4群的直积
2.5群在集合上作用
2.6西罗定理
参考：
近世代数 | 韩士安, 林磊 | download on Z-Library近世代数 ------韩士安
【静夜思】一些抽象代数的核心思想和实际应用_抽象代数有什么用-CSDN博客(