Variational Quantum Eigensolver笔记

1.构建氢分子电子哈密顿量

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from jax import numpy as np
import jax
jax.config.update("jax_platform_name", "cpu")
jax.config.update('jax_enable_x64', True)

import pennylane as qml

dataset = qml.data.load('qchem', molname="H2")[0]
H, qubits = dataset.hamiltonian, len(dataset.hamiltonian.wires)
print("Number of qubits = ", qubits)
print("The Hamiltonian is ", H)

作用：

使用JAX作为数值计算后端
设置为CPU模式运行
启用64位浮点数精度（量子化学计算需要高精度）
使用PennyLane的量子化学数据集服务
直接下载H₂分子的预计算数据

2.VQE算法实现

2.1定义量子设备

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dev = qml.device("lightning.qubit", wires=qubits)

"lightning.qubit"：PennyLane的高性能量子模拟器
wires=qubits：量子比特数量，这里 qubits=4

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electrons = 2
hf = qm1.qchem.hf_state(electrons, qubits)
print(hf)

Hartree-Fock 状态：
- 这是量子化学计算中的初始猜测状态
- 表示电子在分子轨道上的最低能量排布
- 在量子计算中，用比特状态来表示电子占据情况
状态表示：
- [1 1 0 0] 表示前两个轨道被占据，后两个轨道空置
- 每个 1 表示该轨道有一个电子
- 对于 2 电子系统，通常需要 4 个量子比特来表示

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@qml.qnode(dev, interface="jax")
def circuit(param, wires):
    qml.BasisState(hf, wires=wires)
    qml.DoubleExcitation(param, wires=[0, 1, 2, 3])
    return qml.expval(H)

量子节点装饰器：
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```
@qml.qnode(dev, interface="jax")
```
- 将经典函数转换为可执行的量子电路
- interface="jax" 启用自动微分，便于梯度优化
初始状态准备：
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```
qml.BasisState(hf, wires=wires)
```
- 使用之前生成的 Hartree-Fock 状态 [1, 1, 0, 0]
- 将量子比特初始化为化学上有意义的起始状态
双激发操作：
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```
qml.DoubleExcitation(param, wires=[0, 1, 2, 3])
```
- 实现双电子激发：将两个电子从占据轨道激发到空轨道
- param 是变分参数，在优化过程中调整
- 作用在 4 个量子比特上，对应分子轨道
期望值测量 ：
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```
pythonreturn qml.expval(H)
```
- 返回分子哈密顿量 H 的期望值
- 这个值就是 VQE 要最小化的能量

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def cost_fn(param):
    return circuit(param, wires=range(qubits))

桥梁功能：
- 将量子电路包装成经典优化器可以处理的函数
- 输入：变分参数 param
- 输出：分子能量期望值
优化目标：
- 在 VQE 中，成本函数的值就是分子哈密顿量的期望值（能量）
- 优化目标是最小化这个能量值，找到基态

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import optax

max_iterations = 100
conv_tol = 1e-06

opt = optax.sgd(learning_rate=0.4)

optax 库：
- Google 开发的高性能优化库
- 专门为 JAX 生态系统设计
- 提供各种优化算法
随机梯度下降 (SGD)：
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```
opt = optax.sgd(learning_rate=0.4)
```
- 使用基本的梯度下降优化器
- 学习率 0.4 控制参数更新的步长
收敛标准：
- max_iterations = 100：最大迭代次数
- conv_tol = 1e-06：收敛容差（10⁻⁶）

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# 将电路参数θ初始化为0，这意味着我们从Hartree-Fock状态开始
theta = np.array(0.)

# 存储成本函数值（能量）的历史记录
energy = [cost_fn(theta)]

# 存储电路参数值的历史记录
angle = [theta]

# 初始化优化器状态
opt_state = opt.init(theta)

# 开始优化循环，最多迭代max_iterations次
for n in range(max_iterations):
    
    # 计算成本函数关于参数θ的梯度
    gradient = jax.grad(cost_fn)(theta)
    
    # 使用优化器计算参数更新量和新的优化器状态
    updates, opt_state = opt.update(gradient, opt_state)
    
    # 应用参数更新
    theta = optax.apply_updates(theta, updates)

    # 记录更新后的参数值和对应的能量值
    angle.append(theta)
    energy.append(cost_fn(theta))
    
    # 计算当前能量与前一次能量的绝对差值，用于收敛判断
    conv = np.abs(energy[-1] - energy[-2])

    # 每2次迭代打印一次当前能量值
    if n % 2 == 0:
        print(f"Step = {n}, Energy = {energy[-1]:.8f} Ha")

    # 检查是否达到收敛容差，如果收敛则提前退出循环
    if conv <= conv_tol:
        break

# 输出最终的基态能量结果
print("\n" f"Final value of the ground-state energy = {energy[-1]:.8f} Ha")

# 输出最优的电路参数值
print("\n" f"Optimal value of the circuit parameter = {angle[-1]:.4f}")

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# 导入绘图库
import matplotlib.pyplot as plt

# 创建图形对象并设置图形大小
fig = plt.figure()
fig.set_figheight(5)
fig.set_figwidth(12)

# 经典计算得到的全组态相互作用（FCI）能量，作为基准参考值
E_fci = -1.136189454088

# 在左侧创建第一个子图（能量随优化步数的变化）
ax1 = fig.add_subplot(121)
# 绘制能量变化曲线：绿色圆点，虚线连接
ax1.plot(range(n + 2), energy, "go", ls="dashed")
# 绘制FCI能量参考线：红色水平线
ax1.plot(range(n + 2), np.full(n + 2, E_fci), color="red")
# 设置坐标轴标签
ax1.set_xlabel("Optimization step", fontsize=13)
ax1.set_ylabel("Energy (Hartree)", fontsize=13)
# 添加文本标注：Hartree-Fock能量和FCI能量
ax1.text(0.5, -1.1176, r"$E_\mathrm{HF}$", fontsize=15)
ax1.text(0, -1.1357, r"$E_\mathrm{FCI}$", fontsize=15)
# 设置坐标轴刻度字体大小
plt.xticks(fontsize=12)
plt.yticks(fontsize=12)

# 在右侧创建第二个子图（门参数θ随优化步数的变化）
ax2 = fig.add_subplot(122)
# 绘制参数变化曲线：绿色圆点，虚线连接
ax2.plot(range(n + 2), angle, "go", ls="dashed")
# 设置坐标轴标签
ax2.set_xlabel("Optimization step", fontsize=13)
ax2.set_ylabel("Gate parameter $\theta$ (rad)", fontsize=13)
# 设置坐标轴刻度字体大小
plt.xticks(fontsize=12)
plt.yticks(fontsize=12)

# 调整子图间距和底部边距
plt.subplots_adjust(wspace=0.3, bottom=0.2)

# 显示图形
plt.show()

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VQE 算法应用总结

在这个案例中，VQE 算法经过 13 次迭代后收敛。
最优电路参数 θ* = 0.208 定义了分子的量子态：

|Ψ(θ*)⟩ = 0.994 |1100⟩ - 0.104 |0011⟩

这个态正是 H₂ 分子在最小基组近似下的精确基态。

## 结论

在本教程中，我们实现了 VQE 算法来寻找氢分子的基态。我们使用了一个简单的电路来制备超越 Hartree-Fock 近似的分子量子态。
通过最小化定义为分子哈密顿量在试探态中期望值的成本函数，我们获得了基态能量。

VQE 算法还可以用于模拟其他化学现象：

1. 化学反应模拟
   - 教程：在量子计算机上模拟化学反应
   - 用途：探索分子的势能面来模拟化学反应

2. 特定希尔伯特空间扇区中的低激发态探测
   - 教程：不同自旋扇区中的 VQE
   - 用途：研究分子在特定对称性下的激发态

3. 分子几何结构优化
   - 教程：分子几何结构的优化
   - 用途：寻找分子的平衡几何构型

这些扩展应用展示了 VQE 算法在量子计算化学中的广泛适用性。
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