1. 多维数组
python
>>> import numpy as np
>>> A = np.array([1,2,3,4])
>>> print(A)
[1 2 3 4]
>>> np.ndim(A)
1
>>> A.shape
(4,)
>>> A.shape[0]
4
>>>np.dim(A) 数组的维数
A.shape 数组的形状，结果是个元组（tuple）。 例如，二维数组时返回的
是元组 (4,3)，三维数组时返回的是元组(4,3,2)，因此一维数组时也同样以
元组的形式返回结果。
bash
>>> B = np.array([[1,2],[3,4],[5,6]])
>>> print(B)
[[1 2]
[3 4]
[5 6]]
>>> np.ndim(B)
2
>>> B.shape
(3, 2)
>>> B
array([[1, 2],
[3, 4],
[5, 6]])
>>>这里生成了一个3 × 2的数组B。 3 × 2的数组表示第一个维度有3个元素，
第二个维度有2个元素。另外，第一个维度对应第0维，第二个维度对应第
1维（Python的索引从0开始）。二维数组也称为矩阵（matrix）。如图3-10所示，
数组的横向排列称为行（row），纵向排列称为列（column）。
2.矩阵乘法
下面，我们来介绍矩阵（二维数组）的乘积。比如2 × 2的矩阵，其乘积
可以像图3-11这样进行计算（按图中顺序进行计算是规定好了的）
矩阵的乘积是通过左边矩阵的行（横向）和右边矩阵的列（纵
向）以对应元素的方式相乘后再求和而得到的。并且，运算的结果保存为新
的多维数组的元素。比如， A的第1行和B的第1列的乘积结果是新数组的
第1行第1列的元素， A的第2行和B的第1列的结果是新数组的第2行第1
列的元素。另外，在本书的数学标记中，矩阵将用黑斜体表示（比如，矩阵
A），以区别于单个元素的标量（比如， a或b）。这个运算在Python中可以用
如下代码实现。
bash
>>> A = np.array([[1,2],[3,4]])
>>> A.shape
(2, 2)
>>> B = np.array([[5,6],[7,8]])
>>> B.shape
(2, 2)
>>> np.dot(A,B)
array([[19, 22],
[43, 50]])
>>> 这 里， A 和 B 都 是 2 × 2 的 矩 阵，它 们 的 乘 积 可 以 通 过 NumPy 的
np.dot()函数计算（乘积也称为点积）。 np.dot()接收两个NumPy数组作为参
数，并返回数组的乘积。这里要注意的是， np.dot(A, B)和 np.dot(B, A)的
值可能不一样。和一般的运算（+或*等）不同，矩阵的乘积运算中，操作数（A、
B）的顺序不同，结果也会不同。
bash
>>> A = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
>>> A.shape
(2, 3)
>>> B = np.array([[1,2],[3,4],[5,6]])
>>> B.shape
(3, 2)
>>> np.dot(A,B)
array([[22, 28],
[49, 64]])
>>>2 × 3的矩阵A和3 × 2的矩阵B的乘积可按以上方式实现。这里需要
注意的是矩阵的形状（shape）。具体地讲，矩阵A的第1维的元素个数（列数）
必须和矩阵B的第0维的元素个数（行数）相等。在上面的例子中，矩阵A
的形状是2 × 3，矩阵B的形状是3 × 2，矩阵A的第1维的元素个数（3）和
矩阵B的第0维的元素个数（3）相等。如果这两个值不相等，则无法计算矩
阵的乘积。比如，如果用Python计算2 × 3 的矩阵A和2 × 2的矩阵C的乘
积，则会输出如下错误。
bash
>>> C = np.array([[1,2],[3,4]])
>>> C.shape
(2, 2)
>>> np.dot(A,C)
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: shapes (2,3) and (2,2) not aligned: 3 (dim 1) != 2 (dim 0)
>>>这个错误的意思是，矩阵A的第1维和矩阵C的第0维的元素个数不一
致（维度的索引从0开始）。也就是说，在多维数组的乘积运算中，必须使两
个矩阵中的对应维度的元素个数一致，这一点很重要。我们通过图3-12再来
确认一下。
图3-12中， 3 × 2的矩阵A和2 × 4 的矩阵B的乘积运算生成了3 × 4的
矩阵C。如图所示，矩阵A和矩阵B的对应维度的元素个数必须保持一致。
此外，还有一点很重要，就是运算结果的矩阵C的形状是由矩阵A的行数
和矩阵B的列数构成的。
当A是二维矩阵、 B是一维数组时
bash
>>> A = np.array([[1,2],[3,4],[5,6]])
>>> A.shape
(3, 2)
>>> B = np.array([7,8])
>>> B.shape
(2,)
>>> np.dot(A,B)
array([23, 53, 83])
3.神经网络的内积
bash
>>> X = np.array([1,2])
>>> X.shape
(2,)
>>> W = np.array([[1,3,5],[2,4,6]])
>>> print(W)
[[1 3 5]
[2 4 6]]
>>> W.shape
(2, 3)
>>> Y = np.dot(X,W)
>>> print(Y)
[ 5 11 17]如上所示，使用np.dot（多维数组的点积），可以一次性计算出Y 的结果。
这意味着，即便Y 的元素个数为100或1000，也可以通过一次运算就计算出
结果！如果不使用np.dot，就必须单独计算Y 的每一个元素（或者说必须使
用for语句），非常麻烦。因此，通过矩阵的乘积一次性完成计算的技巧，在
实现的层面上可以说是非常重要的。