本文涉及知识点
复杂但相对容易理解的解法
上界、下界的位数一样都为N。如果不一样，拆分一样。比如：[10,200]，拆分[10,99]和[100,200]。由于要枚举到 1 ∼ N 1\sim N 1∼N，故实际复杂度是N倍。
动态规划的状态表示
dp[n][m][m1]，n表示已经处理最高n位，m表示上下界状态：0非上下界，1下界，2上界，3上下界。m1是自定义状态。
某题范围是[110,190]，处理一位后：1是上下界，无其它合法状态。处理二位后，11是下界，19是上界， 12 ∼ 18 12 \sim 18 12∼18是非上下界。
空间复杂度：O( 4 N 4N 4N)
动态规划的状态表示
第一层循环n从小到大；第二层循环m，任意顺序；第三层自定义状态。
动态规划的转移方程
| 前n位状态 | 当前位状态 | 前n+1位状态 |
|---|---|---|
| 上下界 | 上下界 | 上下界 |
| ... | 上界 | 上界 |
| ... | 下界 | 下界 |
| ... | 下界上界之间 | 非界 |
| 上界 | 上界 | 上界 |
| 上界 | <上界 | 非界 |
| 下界 | 下界 | 下界 |
| 下界 | >下届 | 非界 |
| 非界 | 任意 | 非界 |
单个状态的时间复杂度： ∑ \sum ∑。总时间复杂度：O(4N ∑ \sum ∑)
动态规划的初始值
枚举最高位。
动态的返回值
dp.back() 和自定义状态有关。
优化一
如果上下界没有公共前缀，则不存在状态上下界。
如果公共前缀为len，则目标串的前n位必定和上下界相同。故可以不处理 0 ∼ n − 1 0 \sim n-1 0∼n−1，直接从第n位开始处理。
优化二
l e f t ∼ r \] 的方案数 = \[ 0 ∼ r \] 的方案数 − \[ 0 ∼ l e f t − 1 \] 的方案数 = \[ 0 ∼ r \] 的方案数 − \[ 0 ∼ l e f t \] 的方案数 + l e f t 是否符合 \[left \\sim r\]的方案数 =\[0 \\sim r\]的方案数-\[0\\sim left-1\]的方案数=\[0 \\sim r\]的方案数-\[0\\sim left\]的方案数 + left是否符合 \[left∼r\]的方案数=\[0∼r\]的方案数−\[0∼left−1\]的方案数=\[0∼r\]的方案数−\[0∼left\]的方案数+left是否符合。简化后只需要考虑是否是上限。
### 优化三
小于N位的数，可以可以看成前导0。
### 自己摸索的封装类
```cpp
template
情况二:dp=m_vDpUpper[n],vNext=m_vDpUpper[n+1]
情况三：dp=m_vDpUpper[n],vNext=m_vDP[n+1]
curValue当前元素的值。
iCustomStatusCount 自定义状态的数量。
最高位的取值范围和其它位相同
比如：枚举字母，容许前导0,即N-1位可以看成有一个前导0的N位数。
cpp
template<class ELE, class ResultType>
class CUperrDP
{
public:
CUperrDP(int iCustomStatusCount, IUpperDPCall<ELE, ResultType>& call, ELE minEle, ELE maxEle)
:m_iCustomStatusCount(iCustomStatusCount),m_call(call),m_minEle(minEle),m_maxEle(maxEle)
{
}
void Init(const ELE* pHigh, int iEleCount)
{
m_vDP.assign(iEleCount + 1, vector<ResultType>(m_iCustomStatusCount));
m_vDpUpper = m_vDP;
m_call.OnInitEnd(m_vDP.back(), m_vDpUpper.back());
//预处理增加的一位
for (int i = iEleCount - 1;i > 0;i--) {
m_call.OnEnum(i,m_vDpUpper[i], m_vDpUpper[i + 1], pHigh[i],m_iCustomStatusCount);
for (auto j = m_minEle; j < pHigh[i];j++) {
m_call.OnEnum(i,m_vDpUpper[i], m_vDP[i + 1], j, m_iCustomStatusCount);
}
for (auto j = m_minEle; j <= m_maxEle;j++) {
m_call.OnEnum(i,m_vDP[i], m_vDP[i + 1], j, m_iCustomStatusCount);
}
}
m_call.OnEnum(0,m_vDpUpper[0], m_vDpUpper[1], pHigh[0], m_iCustomStatusCount);
for (auto j = m_minEle; j < pHigh[0];j++) {
m_call.OnEnum(0,m_vDP[0], m_vDP[1], j, m_iCustomStatusCount);
}
}
ResultType Sum(int iMinCustomStatu, int iMaxCustomStatu) {
ResultType ret = 0;
for (int i = iMinCustomStatu; i <= iMaxCustomStatu;i++) {
ret += m_vDP[0][i] + m_vDpUpper[0][i];
}
return ret;
}
ResultType Sum() {
return Sum(0, m_iCustomStatusCount - 1);
}
vector<vector<ResultType>> m_vDP, m_vDpUpper;
const ELE m_minEle, m_maxEle;
protected:
const int m_iCustomStatusCount;
IUpperDPCall<ELE, ResultType>& m_call;
};ELE：元素的类型，几乎全部是char。
ResultType：记录方案数量的类型，如果：int,long long,自定义数据类型。
minEle：最小元素
maxEle：最大元素。
pHigh, int iEleCount：上限字符串的数量和长度。
Init的大致逻辑：
一，初始化。
二，n = N-1 to 1。如果当前元素等于pHigh[n],dpUp[n]对应dpUp[n+1];如果当前元素小于pHigh[n]，dpUp[n]对应dpUp[n+1];任意当前元素,dp[n]对应dp[n+1]。
三，第0个元素等于pHigh[0]，则dpUp[0]对应dpUp[1]。第0个元素小于pHigh[0]，则dp[0]对应dp[1]。
最高位的取值范围和其它位不同
如：正整数不能以0开始。原理类似上一部分，只描述不同点：
firstMinEle，最高位最小元素。
m_vFirstDP[n][m]:N-n位数，自定义状态为m的方案数。 m_vFirstDP[N]未使用。
cpp
template<class ELE, class ResultType>
class CUperrDP2
{
public:
CUperrDP2(int iCustomStatusCount, IUpperDPCall<ELE, ResultType>& call, ELE minEle, ELE maxEle, ELE firstMinEle)
:m_iCustomStatusCount(iCustomStatusCount), m_call(call), m_minEle(minEle),m_maxEle(maxEle),m_firstMinEle(firstMinEle)
{
}
void Init(const ELE* pHigh, int iEleCount)
{
m_vDP.assign(iEleCount + 1, vector<ResultType>(m_iCustomStatusCount));
m_vDpUpper = m_vDP;
m_vFirstDP = m_vDP;
m_call.OnInitEnd(m_vDP.back(), m_vDpUpper.back());
//预处理增加的一位
for (int i = iEleCount - 1;i > 0;i--) {
m_call.OnEnum(i,m_vDpUpper[i], m_vDpUpper[i + 1], pHigh[i], m_iCustomStatusCount);
for (auto j = m_minEle; j < pHigh[i];j++) {
m_call.OnEnum(i,m_vDpUpper[i], m_vDP[i + 1], j, m_iCustomStatusCount);
}
for (auto j = m_minEle; j <= m_maxEle;j++) {
m_call.OnEnum(i,m_vDP[i], m_vDP[i + 1], j, m_iCustomStatusCount);
}
for (auto j = m_firstMinEle; j <= m_maxEle;j++) {
m_call.OnEnum(i,m_vFirstDP[i], m_vDP[i + 1], j, m_iCustomStatusCount);
}
}
m_call.OnEnum(0,m_vFirstDP[0], m_vDpUpper[1], pHigh[0], m_iCustomStatusCount);
for (auto j = m_firstMinEle; j < pHigh[0];j++) {
m_call.OnEnum(0,m_vFirstDP[0], m_vDP[1], j, m_iCustomStatusCount);
}
}
ResultType Sum(int iMinCustomStatu, int iMaxCustomStatu) {
ResultType ret = 0;
for (int i = 0;i + 1 < m_vFirstDP.size();i++) {
ret += accumulate(m_vFirstDP[i].begin() + iMinCustomStatu, m_vFirstDP[i].begin() + iMaxCustomStatu + 1, (ResultType)0);
}
return ret;
}
ResultType Sum() {
return Sum(0, m_iCustomStatusCount - 1);
}
vector<vector<ResultType>> m_vDP, m_vDpUpper,m_vFirstDP;
ELE m_minEle, m_maxEle, m_firstMinEle;
protected:
const int m_iCustomStatusCount;
IUpperDPCall<ELE, ResultType>& m_call;
};样例
力扣
洛谷
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| 【数学 进制 数位DP】P9362 [ICPC 2022 Xi'an R] Find Maximum | 普及+ |
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法 用**C++**实现。
