多项式的积分

在数学中，积分是微分的逆运算，分为不定积分 （求原函数）和定积分 （求面积或累积量）。在 MATLAB 中，针对多项式的积分可通过 polyint 函数高效实现。

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p = [3, 2, 1];  % 3x² + 2x + 1
q = polyint(p);  % 计算不定积分（C=0）
disp("积分后的多项式系数："); disp(q);  % 输出：1 1 1 0（对应x³ + x² + x）

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p = [3, 2, 1];
q = polyint(p, 5);  % 积分常数C=5
disp("含常数项的积分结果系数："); disp(q);  % 输出：1 1 1 5（对应x³ + x² + x + 5）

MATLAB 代码验证：

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p = [3, 2, 1];
q = polyint(p);  % 原函数
a = 1; b = 2;
integral_result = polyval(q, b) - polyval(q, a);  % 定积分 = q(b) - q(a)
disp("定积分结果："); disp(integral_result);  % 输出：11

三、关键注意事项

系数向量格式 ：输入多项式 p 必须是降幂排列的系数向量 ，缺项需补 0（例如 \(p(x) = 2x^3 + 1\) 表示为 [2, 0, 0, 1]）。
阶数变化：积分后多项式阶数增加 1（系数向量长度增加 1），例如 3 阶多项式积分后为 4 阶。
积分常数 ：默认 \(C=0\)，若需指定常数项（如物理意义中的初始条件），必须显式传入 polyint(p, C)。

总结

polyint 核心功能：计算多项式的不定积分，返回原函数系数向量。
定积分计算：先通过 polyint 求原函数，再用 polyval 计算上下限差值。
本质：按 "系数除以新阶数" 的规则自动计算积分后的系数，避免手动展开的繁琐。

该函数是 MATLAB 处理多项式积分的基础工具，适用于代数运算、物理建模（如求位移、面积等）等场景。