【拓扑排序】-- 算法原理讲解，及实现拓扑排序，附赠热门例题

文章目录

拓扑排序介绍
拓扑排序原理
拓扑排序实现
拓扑排序例题
加餐练习题

拓扑排序是图论中处理有向无环图（DAG）的重要算法，用于确定活动执行的合理顺序。本文将详细介绍拓扑排序算法的原理以及拓扑排序的实现。在讲解之前，我们需要先认识了解一下 有向无环图（DAG） 和 AOV 网 （顶点活动图）。

有向无环图：是由顶点和边连接而成的数据结构，图中的边都是有方向的边，无环意味着随意将图中的点提出来，将他们的边组合起来后都是没有环出现的。下图中图一就是有向无环图，图二存在环，不是有向无环图。

下面我们补充两个有向无环图中的概念，入度和出度

入度和出度都是针对当前的这个顶点来看的
入度：指向当前顶点的边
出度：从当前点指出去的边

eg：上图中，顶点1的入度为0，出度为2；顶点2的入度为1，出度为2，剩下的顶点同理可得，这里不再详细说明。

AOV网：在有向无环图中，用顶点来表示一个活动，用边来表示活动执行的先后顺序的图结构。下面我们举个例子说明一下，如下图（做法多样，图片仅供参考）：

图中每个结点代表一个活动，每条边代表活动的执行顺序。比如：在洗菜前的一个条件肯定是得先有菜，在切菜前肯定得先有厨具和菜。像这样的一个流程图就是一个AOV网，AOV网是很具有实际意义的，在现实生活中的应用还是很广泛的。

拓扑排序介绍

在前两个铺垫的知识点讲完后，接下来我们来认识一下什么是拓扑排序。

拓扑排序（Topological sorting）要解决的问题是如何给一个有向无环图的所有节点排序。简而言之就是找到做一件事情的先后顺序，其中对应的事情就是一个一个的活动。继续拿我们上面的青椒炒肉工程图来进行讲解。

拓扑排序原理

①：确定活动的起点，起点有两个选择，一个是准备厨具，另一个是买菜，这两个活动代表的顶点入度均为0 。这里我们选择准备厨具，准备厨具是腌肉和切菜的前提条件 ，图示变化如下（这里可以将图中准备厨具顶点直接移至下方，方便看到过程变化这里未进行移动）：

②：现在我们可选的操作只有买菜，买菜顶点的入度为0 ，注意腌肉还有一个前提条件是洗菜（这里菜指可食用物品总称），腌肉顶点的入度为1 ，图示变化如下：

③：如上图所示，接下来我们可选择进行的活动只有洗菜。同理后续的步骤就不再一一进行演示了。若最开始选择买菜，后续的活动执行流程和上面分析的一样。通过分析发现规律，当顶点的入度为0时，当前顶点便可选，不为0时，不可以进行选择 。

当我们重复上面的操作，一直到最后干饭这个顶点对应的活动被选择，DAG这个图中不存在顶点，我们便完成了本次的拓扑排序。

如何排序呢？通过上面的分析我们不难发现，首先我们需要找出图中入度为0的顶点，然后依据题目要求，对其进行输出或保存；然后删除与该结点相连的边，重复上面两个操作，直到 DAG 图中没有顶点被边指向。

拓扑排序实现

借助队列，来一次 BFS 即可。具体实现步骤如下：

实验步骤

1.初始化：将图中所有入度为0的顶点加入到队列中

2.当队列不为空的时候:

拿出对头元素，加入到最终结果中（依据题目而定）；

删除与该元素相连的边；

判断：与该边相连的点，是否入度变为0，如果入度为0，加入到队列中

重复上面 2 步骤，直到队列中不再存在顶点信息。注意在拿到一道算法题时，不可能参数传递为一个图像，一般传递的都是一个二维数组，我们需要自己将题目已知的二维数组转化为图，建图这个过程，将在下面的例题进行介绍。

接下来我们将具体的实现步骤与实际例题结合起来，便于理解。

拓扑排序例题

例题坐标:

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题目描述

你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则必须先学习课程 bi 。

例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 。

请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。

示例

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]

输出：true

解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0 。这是可能的。

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]

输出：false

解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0 ；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1 。这是不可能的。

例题解析

不知道AOV网和拓扑排序思想的小伙伴拿到这个题可能脑瓜子嗡嗡的。题目的意思是在学习某某课程前，必须要先完成某某课程。这不就是上述拓扑排序的定义，找到事情执行的先后顺序，根据上文，可以写出代码，后续会对代码进行解释。

代码实现

java 复制代码

class Solution {
    public boolean canFinish(int n, int[][] p) {
        int[] in=new int[n];//用于记录元素入度的次数
        Queue<Integer> queue=new ArrayDeque<>();//存入当前本次入度为0的全部元素
        HashMap<Integer,List<Integer>> map=new HashMap<>();//拓扑建图
        for(int i=0;i<p.length;i++){
            int a=p[i][0],b=p[i][1];
            if(!map.containsKey(b)) map.put(b,new ArrayList<>());
            map.get(b).add(a);//建图
            in[a]++;//计算入度
        }
        for(int i=0;i<n;i++){
            if(in[i]==0) queue.offer(i);
        }
        while(!queue.isEmpty()){
            int size=queue.size();
            while(size-->0){
                int cur=queue.poll();
                List<Integer> list=map.getOrDefault(cur,new ArrayList<>());
                for(int x:list){
                    in[x]--;
                    if(in[x]==0) queue.offer(x);
                }
            }
        }
        for(int i=0;i<n;i++){
            if(in[i]!=0) return false;
        }
        return true;
    }
}

代码解析

代码解析part1

java 复制代码

        int[] in=new int[n];//用于记录元素入度的次数
        Queue<Integer> queue=new ArrayDeque<>();//存入当前本次入度为0的全部元素
        HashMap<Integer,List<Integer>> map=new HashMap<>();//拓扑建图
        for(int i=0;i<p.length;i++){
            int a=p[i][0],b=p[i][1];
            if(!map.containsKey(b)) map.put(b,new ArrayList<>());
            map.get(b).add(a);//建图
            in[a]++;//计算入度
        }

在实现拓扑排序之前，我们需要先知道拓扑图的信息。已知题目传递的参数为数组，如何将图和数组建立关联呢？这里的关联是，我们需要知道每个顶点四周边的走向，这里我们可以通过HashMap来实现，具体情况为HashMap<Integer,List<Integer>>，其中key表示先需要执行活动顶点对应的 val 值，value 表示 key 顶点指出方向的顶点对应 val 值。拿示例 1 来看，学习 1 课程前必须要学会 0 课程，箭头的指示方向就应该从 0 指向 1 ，key = 0，value 包含 1，如下图所示：

现在建图这一步我们已经完成，根据上面的拓扑排序实现具体步骤我们可以知道，我们需要将图中入度为 0 的顶点加入到队列中。在上面的代码实现中，我们定义数组 in

来记录元素入度的次数，因为题目已知课程名字记为 [0~n-1] ，所以说定义数组刚好通过int[] in=new int[n];就可以实现，下标表示课程名字。数组初始值默认为0，上述代码中 b 表示 a 执行的条件，所以说箭头应是 b->a，就应该是 in[a]++ 。

代码解析part2

java 复制代码

        for(int i=0;i<n;i++){
            if(in[i]==0) queue.offer(i);
        }

寻找出入度为 0 的起始顶点，并将其加入到队列中

代码解析part3

java 复制代码

 while(!queue.isEmpty()){
            int size=queue.size();
            while(size-->0){
                int cur=queue.poll();
                List<Integer> list=map.getOrDefault(cur,new ArrayList<>());
                for(int x:list){
                    in[x]--;
                    if(in[x]==0) queue.offer(x);
                }
            }
        }

queue.size()记录当前入度为 0 的顶点的个数，queue.poll()弹出顶点，map.getOrDefault(cur,new ArrayList<>());查找当前顶点是否是其他顶点的前提条件，如若有返回对应的 list 集合，若没有返回空集合，for(int x:list)遍历返回的 list 数组，in[x]--当前订单所指向的所有顶点入度数 -1 ， if(in[x]==0) queue.offer(x)随后进行判断，是否入度数为 0 ，若为 0 加入队列。此步骤是在实现拓扑排序步骤中的第二步。

代码解析part4

java 复制代码

        for(int i=0;i<n;i++){
            if(in[i]!=0) return false;
        }

if(in[i]!=0)循环判定，当前所有顶点的入度是否均为0，如为0表示所有课程均可学完，若存在顶点值不为0，表示当前课程未能进行学习，返回false，否则返回true。

加餐练习题

加餐题和上文题思想不能说毫不相干，简直一模一样！

点击这里进行跳转 --> 课程表II

本篇文章看到这里已经渐渐步入尾声了，希望各位小伙伴看完本文后对拓扑排序会有一个新的认识，也要记得吃掉加餐嗷。以上就是本期分享的全部内容啦~~上文有不对的地方欢迎大家在评论区进行指正。