一 为什么要使用泰勒公式
先看一段代码
for (k = 0; k < 10; k++)
{
a += b_a[k] * (2.0 / (exp(-2.0 * ((c_a[k] * b_y1 + c_a[k + 10] * c_idx_1) + dv[k])) + 1.0) - 1.0);
}
由于这段函数包含指数运算，指数运算对于一般的单片机而言比较复杂，转换成泰勒多项式计算会大大简化计算的复杂度，减轻CPU的负担，缩短计算时间，尽管会在计算精度上有所损失
二 泰勒公式
1. 泰勒公式核心思想：用"多项式"逼近"复杂函数"
想象你是一个科学家，面对一个复杂的曲线函数，比如 f(x)=exf(x)=ex 或 cos(x)cos(x)。你想在某个点（例如 x=0x=0）附近，用一个简单易懂的多项式来近似它。
为什么？
因为多项式只涉及加、减、乘 和乘方运算，计算非常简单，无论是人还是计算机都能轻松处理。
泰勒展开的核心目标就是：找到一个在特定点附近与复杂函数"最像"的多项式。
2 构建泰勒多项式
假设我们要在点 x=a附近逼近函数 f(x)。我们希望找到一个多项式 P(x)：
P(x)=c0+c1(x−a)+c2(x−a)2+c3(x−a)3+...
关键问题是：系数 c0,c1,c2,...应该取什么值，才能让 P(x) 在 x=a 附近最像 f(x)？
答案是：让 P(x) 在 x=a处的函数值，以及尽可能多阶的导数值，都与 f(x)相等。
这里为什么都选用的x-a，而不是x,因为我们要求的是函数值跟导数。用x-a便于计算。
第0步：匹配函数值（位置）
在 x=a处，我们要求多项式等于函数值：
P(a)=f(a)
代入多项式：
c0+c1(0)+c2(0)2+⋯=f(a) ⟹ c0=f(a)
✅ 我们得到了第1个系数： c0=f(a)
多项式等于函数值这个是条件，所以得出c0=F(a)；
第1步：匹配一阶导数值（斜率）
我们希望多项式在 x=a 处的切线斜率也和原函数一样：
P′(a)=f′(a)
先求 P(x)的导数：
P′(x)=c1+2c2(x−a)+3c3(x−a)2+...（第二个2.3是平方的意思）见下图，
代入 x=a：
P′(a)=c1+0+0+⋯=f′(a) ⟹ c1=f′(a)
✅ 我们得到了第2个系数： c1=f′(a)
x=a 处的切线斜率也和原函数一样，这个是条件，所以得出c1=f′(a)，具体求导数的方法要搜索幂函数求导法则，见下图，就是把指数拿下来当系数，然后指数减1。
第3步：匹配三阶导数
继续这个过程：
P′′′(a)=f′′′(a)
P′′′(x)=6c3+24c4(x−a)+...
代入 x=a：
P′′′(a)=6c3=f′′′(a) ⟹ c3=f′′′(a)/6=f′′′(a)/3!
✅ 我们得到了第4个系数： c3=f′′′(a)/3!
3. 泰勒公式的最终形式
继续这个模式，我们就得到了著名的泰勒公式：
特殊情形：当 a=0a=0 时 ，称为麦克劳林级数：
三 Tanh 函数
先看一段代码
for (k = 0; k < 10; k++)
{
a += b_a[k] * (2.0 / (exp(-2.0 * ((c_a[k] * b_y1 + c_a[k + 10] * c_idx_1) + dv[k])) + 1.0) - 1.0);
}
由于这段函数包含指数运算，指数运算对于一般的单片机而言比较复杂，转换成泰勒多项式计算会大大简化计算的复杂度，减轻CPU的负担，缩短计算时间，尽管会在计算精度上有所损失
1. 数学形式
代码中的核心表达式是：
其中
即 t=w1x1+w2x2+b 的形式（这里 dv[k]是偏置项）。
2. 泰勒展开
我们要在 t=0 处展开 tanh(t)。
注意不是所有函数都能用泰勒展开，tanh(t)是双曲正切函数，能够使用泰勒展开式。
已知：
代入 t 的表达式
令：
那么：
展开到一阶（线性近似）
tanh(u)≈u
所以：
a≈k=0∑9ba[k]⋅u 见上文原代码等价式
展开到三阶
其中
最终计算得到
上式有误，知道意思即可
3. 代码表示：
换算成代码的形式可以使用deepseek，复制整段泰勒展开之前的代码进去，输入命令"将次段代码用5阶泰勒展开式替代"
1. 一阶泰勒展开（线性近似）
for (k = 0; k < 10; k++)
{
double t = c_a[k] * b_y1 + c_a[k + 10] * c_idx_1 + dv[k];
a += b_a[k] * t;
}
2. 三阶泰勒展开
for (k = 0; k < 10; k++)
{
double t = c_a[k] * b_y1 + c_a[k + 10] * c_idx_1 + dv[k];
double t_sq = t * t;
a += b_a[k] * (t - t * t_sq / 3.0);
}
3. 五阶泰勒展开（更精确）
for (k = 0; k < 10; k++)
{
double t = c_a[k] * b_y1 + c_a[k + 10] * c_idx_1 + dv[k];
double t_sq = t * t;
double t_fourth = t_sq * t_sq;
a += b_a[k] * (t - t * t_sq / 3.0 + 2.0 * t * t_fourth / 15.0);
}
4. 七阶泰勒展开（高精度）
for (k = 0; k < 10; k++)
{
double t = c_a[k] * b_y1 + c_a[k + 10] * c_idx_1 + dv[k];
double t_sq = t * t;
double t_fourth = t_sq * t_sq;
double t_sixth = t_fourth * t_sq;
a += b_a[k] * (t - t * t_sq / 3.0 + 2.0 * t * t_fourth / 15.0 - 17.0 * t * t_sixth / 315.0);
}
推荐使用
对于大多数应用，五阶展开在精度和计算效率之间提供了良好的平衡：
总结：
-
适用条件 ：泰勒展开在
t接近 0 时精度最高，当|t| > 1.5时误差会明显增大 -
性能考虑：原函数包含
exp计算，泰勒展开用多项式替换可以显著提高计算速度 -
精度权衡 ：如果
t的范围较大，建议使用五阶或七阶展开，或者保持原函数
你可以根据 t 的典型取值范围选择合适的展开阶数。
四 为什么 exp(x) 在单片机上很慢？
1 原因
(1) 复杂的数学运算
-
exp(x)不是像加减乘除那样的基本指令 -
需要一系列乘、加、除和迭代计算
-
通常通过泰勒展开、查表法或CORDIC算法实现，这些都涉及多次循环和计算
(2) 缺乏硬件支持
-
大多数低端单片机没有硬件浮点单元（FPU）
-
即使有FPU，
exp()也通常不是单指令操作 -
需要软件库实现，计算步骤繁多
(3) 内存和速度限制
-
精确计算需要高精度迭代，消耗大量CPU周期
-
可能还需要存储常数表，占用宝贵的内存
2. 实际性能对比
举个例子，在常见的STM32系列单片机上（无硬件FPU）：
| 运算类型 | 大致CPU周期 | 时间 @ 72MHz |
|---|---|---|
| 整数加法 | 1 cycle | ~0.014μs |
| 浮点乘法 | ~20 cycles | ~0.28μs |
exp(x) |
~1000-5000 cycles | ~14-70μs |
可以看到，一次 exp() 计算可能相当于几百次甚至几千次基本运算！
3. 你在原始代码中的情况
你的代码：
c
a += b_a[k] * (2.0 / (exp(-2.0 * t) + 1.0) - 1.0);这实际上是在计算 tanh(t)，其中涉及：
-
一次乘法：
-2.0 * t -
一次指数：
exp(...)← 主要瓶颈！ -
一次加法：
... + 1.0 -
一次除法：
2.0 / ... -
一次减法：
... - 1.0
指数运算 exp() 消耗了绝大部分计算时间。
4. 解决方案：为什么用泰勒展开
这就是为什么之前建议你用泰勒展开来替换：
原始代码（慢）：
c
// 包含昂贵的 exp() 调用
result = 2.0 / (exp(-2.0 * t) + 1.0) - 1.0;泰勒展开（快）：
c
// 只用加减乘，没有 exp()
double t3 = t * t * t;
double t5 = t3 * t * t;
result = t - t3/3.0 + 2.0*t5/15.0; // 五阶近似性能提升可能达到10倍甚至100倍！
5. 其他优化方法
除了泰勒展开，还有：
(1) 查表法
c
// 预计算 tanh 值表
const float tanh_table[100] = { ... };
// 使用时直接查表
int index = (int)(t * 10 + 50); // 映射到数组索引
if (index < 0) index = 0;
if (index > 99) index = 99;
result = tanh_table[index];(2) 分段近似
-
小值时用泰勒展开
-
大值时直接返回 ±1（因为 tanh 饱和）
(3) 有理函数近似
用多项式比值来获得更好的精度：
c
// Pade 近似等6. 实际建议
对于你的具体应用：
-
如果
t的范围较小（如 |t| < 2.0）：-
使用3阶或5阶泰勒展开
-
在精度和速度间取得良好平衡
-
-
如果需要高精度：
-
使用查表法 + 线性插值
-
或者使用优化的近似公式
-
-
如果性能极其敏感：
-
考虑使用定点数运算代替浮点数
-
使用汇编优化关键部分
-
总结
是的，单片机计算 exp() 等指数运算非常耗时，应该尽量避免在循环或实时处理中使用。泰勒展开、查表法和各种近似方法是嵌入式开发中常用的优化手段。
在你的代码中，用泰勒多项式替换 tanh(t) 可以显著提高运行速度，这是嵌入式优化中的经典技巧！