拯救暗淡图像：深度解析直方图均衡化（原理、公式与计算）

导语

你是否遇到过一些拍摄出来过于暗淡、或者曝光过度导致细节模糊的照片？在图像处理中，这种现象通常被称为低对比度。而**直方图均衡化（Histogram Equalization, HE）**正是解决这一问题的经典利器。

本文将带你从数学的角度，彻底搞懂这个让图像"焕然一新"的算法。

一、核心思想：为什么要"均衡化"？

直方图反映了图像中像素亮度的分布情况。

低对比度图像：直方图通常挤在某个狭窄的区域（例如暗部或亮部）。
高对比度图像：直方图分布均匀，覆盖了从黑到白的整个动态范围。

直方图均衡化的目标，就是通过一个变换函数 ，将原始图像的分布"拉伸"开，使得变换后图像的直方图近乎均匀分布。

二、数学推导：变换函数怎么求？

假设图像的灰度级范围为 [0,L−1][0, L-1][0,L−1]（例如 8 位图像 L=256L=256L=256）。

1. 概率密度函数 (PDF)

首先，统计原始图像中各个灰度级 rkr_krk 出现的概率：
Pr(rk)=nkM×NP_r(r_k) = \frac{n_k}{M \times N}Pr(rk)=M×Nnk

其中：

nkn_knk 是灰度级为 rkr_krk 的像素个数。
M×NM \times NM×N 是图像的总像素数。

2. 变换函数的约束

我们需要寻找一个变换函数 s=T(r)s = T(r)s=T(r)，满足：

单调递增：保证原始的亮暗次序不变。
值域约束 ：当 0≤r≤L−10 \le r \le L-10≤r≤L−1 时，0≤T(r)≤L−10 \le T(r) \le L-10≤T(r)≤L−1。

3. 累积分布函数 (CDF) ------ 算法的灵魂

数学证明（基于概率积分变换），最理想的变换函数就是累积分布函数（CDF） 。

对于离散图像，变换公式如下：
sk=T(rk)=(L−1)∑j=0kPr(rj)=L−1MN∑j=0knjs_k = T(r_k) = (L-1) \sum_{j=0}^{k} P_r(r_j) = \frac{L-1}{MN} \sum_{j=0}^{k} n_jsk=T(rk)=(L−1)j=0∑kPr(rj)=MNL−1j=0∑knj

这个公式的意思是 ：输出的灰度值 sks_ksk，等于其原始灰度概率的累加和 乘以最大灰度值。

三、手算实例：五步完成均衡化

为了清晰展现计算过程，我们假设有一幅极小的 3-bit 图像 （灰度级 L=8L=8L=8，范围 0-7），大小为 64×64=409664 \times 64 = 409664×64=4096 像素。

其原始分布如下表：

灰度级 rkr_krk	像素个数 nkn_knk	概率 P(rk)P(r_k)P(rk)
r0=0r_0 = 0r0=0	790	0.19
r1=1r_1 = 1r1=1	1023	0.25
r2=2r_2 = 2r2=2	850	0.21
r3=3r_3 = 3r3=3	656	0.16
r4=4r_4 = 4r4=4	329	0.08
r5=5r_5 = 5r5=5	245	0.06
r6=6r_6 = 6r6=6	122	0.03
r7=7r_7 = 7r7=7	81	0.02

计算步骤：

第一步：计算累积概率 (CDF)

CDF(0)=0.19CDF(0) = 0.19CDF(0)=0.19
CDF(1)=0.19+0.25=0.44CDF(1) = 0.19 + 0.25 = 0.44CDF(1)=0.19+0.25=0.44
CDF(2)=0.44+0.21=0.65CDF(2) = 0.44 + 0.21 = 0.65CDF(2)=0.44+0.21=0.65
...依次累加

第二步：映射到新灰度级 (L−1=7L-1=7L−1=7)

使用公式 sk=round(7×CDF(rk))s_k = round(7 \times CDF(r_k))sk=round(7×CDF(rk))：

s0=round(7×0.19)=round(1.33)=1s_0 = round(7 \times 0.19) = round(1.33) = \mathbf{1}s0=round(7×0.19)=round(1.33)=1
s1=round(7×0.44)=round(3.08)=3s_1 = round(7 \times 0.44) = round(3.08) = \mathbf{3}s1=round(7×0.44)=round(3.08)=3
s2=round(7×0.65)=round(4.55)=5s_2 = round(7 \times 0.65) = round(4.55) = \mathbf{5}s2=round(7×0.65)=round(4.55)=5
s3=round(7×0.81)=round(5.67)=6s_3 = round(7 \times 0.81) = round(5.67) = \mathbf{6}s3=round(7×0.81)=round(5.67)=6
s4=round(7×0.89)=round(6.23)=6s_4 = round(7 \times 0.89) = round(6.23) = \mathbf{6}s4=round(7×0.89)=round(6.23)=6
s5=round(7×0.95)=round(6.65)=7s_5 = round(7 \times 0.95) = round(6.65) = \mathbf{7}s5=round(7×0.95)=round(6.65)=7
s6=round(7×0.98)=round(6.86)=7s_6 = round(7 \times 0.98) = round(6.86) = \mathbf{7}s6=round(7×0.98)=round(6.86)=7
s7=round(7×1.00)=round(7.00)=7s_7 = round(7 \times 1.00) = round(7.00) = \mathbf{7}s7=round(7×1.00)=round(7.00)=7

结果分析：

原始图像中灰度为 0 的像素，现在全都变成了 1；原始为 1 的变成了 3。

注意到 s3s_3s3 和 s4s_4s4 都映射到了 6，这说明均衡化过程可能会合并一些灰度级，从而减少了总灰度级数，但拉开了亮暗的对比。

四、 Python 代码实现 (OpenCV)

在实际开发中，我们不需要手动计算，OpenCV 已经内置了该功能。

python 复制代码

import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 读取灰度图
img = cv2.imread('low_contrast.jpg', 0)

# 2. 执行直方图均衡化
equ = cv2.equalizeHist(img)

# 3. 显示结果对比
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray'), plt.title('Original')
plt.subplot(122), plt.imshow(equ, cmap='gray'), plt.title('Equalized')
plt.show()

五、直方图均衡化的优缺点

优点：

无参数设计：不需要人为干预，自动计算变换函数。
可逆性：如果已知原始直方图，该过程理论上是可逆的。
全局增强：能显著提升细节阴影部分的可见度。

缺点与改进：

噪声放大：如果背景有噪点，均衡化会把噪声也变得很明显。
过度增强：有些场景下会导致图像看起来不自然（比如人脸光影）。
改进方案 ：CLAHE（限制对比度自适应直方图均衡化）。它将图像切成小块进行局部均衡化，并限制对比度的放大程度，效果通常比全局 HE 更好。

六、结语

直方图均衡化是理解数字图像处理的基石之一。它完美地结合了统计学 与视觉感知。通过简单的累积分布函数映射，我们就能让计算机"看清"原本隐藏在黑暗中的细节。

下一次，当你遇到光线不好的图像时，不妨先跑一个 equalizeHist 看看奇迹是否会发生！

作者寄语：希望这篇手算实例能帮你彻底掌握 HE 算法。如果有帮助，别忘了点赞关注！