一、什么是线性变换（Linear Transformation）
1️⃣ 定义
设有一个从向量空间到向量空间的映射
T:Rn→Rm T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m T:Rn→Rm
当且仅当它满足以下两个条件时，称 (T) 为线性变换：
{T(x+y)=T(x)+T(y) T(cx)=cT(x)∀c∈R \begin{cases} T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) \ T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x}) \quad \forall c \in \mathbb{R} \end{cases} {T(x+y)=T(x)+T(y) T(cx)=cT(x)∀c∈R
也就是说：
线性变换保持加法 和数乘结构，它不会破坏向量之间的线性关系。
2️⃣ 直观理解
线性变换可以看作一种"纯粹的空间拉伸、旋转、翻转或投影"。
它让"原点仍然映射到原点"，所有通过原点的直线仍然映射为直线。
（而平移不是线性变换，因为平移会把原点移开。）
3️⃣ 矩阵形式表示
所有线性变换都可以写作矩阵乘法：
T(x)=Ax T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} T(x)=Ax
其中 (A) 是一个矩阵。
因此线性变换的所有性质，都可以通过矩阵的性质来分析。
二、常见的线性变换类型
线性变换种类很多，常见的有以下几类，每一类都有清晰的几何意义👇
| 类型 | 常见形式 | 几何含义 | 是否线性 |
|---|---|---|---|
| 缩放（Scaling） | (T(x,y)=(kx,ky))(T(x,y)=(kx, ky))(T(x,y)=(kx,ky)) | 放大或缩小 | ✅ |
| 旋转（Rotation） | (R(θ)x)(R(\theta)\mathbf{x})(R(θ)x) | 保持长度与角度 | ✅ |
| 反射（Reflection） | (x−2(n⋅x)n)(\mathbf{x}-2(\mathbf{n}\cdot\mathbf{x})\mathbf{n})(x−2(n⋅x)n) | 关于直线/平面翻转 | ✅ |
| 投影（Projection） | ((u⋅x)u)((\mathbf{u}\cdot\mathbf{x})\mathbf{u})((u⋅x)u) | 投影到某方向或平面上 | ✅ |
| 错切（Shear） | (T(x,y)=(x+ky,y))(T(x,y)=(x+ky,y))(T(x,y)=(x+ky,y)) | 平行方向滑动 | ✅ |
| 零变换（Zero Map） | (T(x)=0)(T(\mathbf{x})=\mathbf{0})(T(x)=0) | 所有向量变为零 | ✅ |
| 单位变换（Identity） | (T(x)=x)(T(\mathbf{x})=\mathbf{x})(T(x)=x) | 不改变任何向量 | ✅ |
| 平移（Translation） | (T(x)=x+b)(T(\mathbf{x})=\mathbf{x}+\mathbf{b})(T(x)=x+b) | 整体移动 | ❌（非线性） |
三、各类型的线性本质与几何理解
（1）缩放变换（Scaling）
T(x,y)=(kx,ky) T(x, y) = (kx, ky) T(x,y)=(kx,ky)
矩阵形式：
A=[k0 0k] A = \begin{bmatrix} k & 0\ 0 & k \end{bmatrix} A=[k0 0k]
验证线性：
T(x+y)=k(x+y)=kx+ky=T(x)+T(y) T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=k(\mathbf{x}+\mathbf{y})=k\mathbf{x}+k\mathbf{y}=T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y}) T(x+y)=k(x+y)=kx+ky=T(x)+T(y)
T(cx)=ckx=cT(x) T(c\mathbf{x})=ck\mathbf{x}=cT(\mathbf{x}) T(cx)=ckx=cT(x)
✅ 满足线性条件。
几何意义：
- 当 (k>1) → 放大；
- 当 (0<k<1) → 缩小；
- 当 (k<0) → 翻转方向并缩放。
（2）旋转变换（Rotation）
二维情况下：
R(θ)=[cosθ−sinθ sinθcosθ] R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} R(θ)=[cosθ−sinθ sinθcosθ]
T(x)=R(θ)x T(\mathbf{x}) = R(\theta)\mathbf{x} T(x)=R(θ)x
验证线性：
R(θ)(x+y)=R(θ)x+R(θ)y,R(θ)(cx)=cR(θ)x R(\theta)(\mathbf{x}+\mathbf{y})=R(\theta)\mathbf{x}+R(\theta)\mathbf{y},\quad R(\theta)(c\mathbf{x})=cR(\theta)\mathbf{x} R(θ)(x+y)=R(θ)x+R(θ)y,R(θ)(cx)=cR(θ)x
✅ 满足线性定义。
几何意义：
旋转保持长度与角度，只改变方向，是正交线性变换 的一种。
RTR=I,detR=+1 R^T R = I, \quad \det R = +1 RTR=I,detR=+1
（3）反射变换（Reflection）
关于某个单位法向量 (n)(\mathbf{n})(n) 的反射：
T(x)=x−2(n⋅x)n T(\mathbf{x}) = \mathbf{x} - 2(\mathbf{n}\cdot\mathbf{x})\mathbf{n} T(x)=x−2(n⋅x)n
验证线性：
T(x+y)=T(x)+T(y),T(cx)=cT(x) T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y}),\quad T(c\mathbf{x})=cT(\mathbf{x}) T(x+y)=T(x)+T(y),T(cx)=cT(x)
✅ 满足线性。
几何意义：
- 反射会翻转向量在法向量方向上的分量；
- 保持平面内分量不变；
- 改变方向(detR=−1)）(\det R = -1)）(detR=−1)）。
例如关于 x 轴反射：
T(x,y)=(x,−y),A=[10 0−1] T(x, y) = (x, -y) ,\quad A = \begin{bmatrix} 1 & 0\ 0 & -1 \end{bmatrix} T(x,y)=(x,−y),A=[10 0−1]
（4）投影变换（Projection）
将向量投影到方向 (u)(\mathbf{u})(u)（单位向量）上：
T(x)=(u⋅x)u T(\mathbf{x}) = (\mathbf{u}\cdot\mathbf{x})\mathbf{u} T(x)=(u⋅x)u
验证线性：
T(x+y)=(u⋅(x+y))u=T(x)+T(y) T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = (\mathbf{u}\cdot(\mathbf{x}+\mathbf{y}))\mathbf{u} = T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y}) T(x+y)=(u⋅(x+y))u=T(x)+T(y)
T(cx)=c(u⋅x)u=cT(x) T(c\mathbf{x}) = c(\mathbf{u}\cdot\mathbf{x})\mathbf{u} = cT(\mathbf{x}) T(cx)=c(u⋅x)u=cT(x)
✅ 满足线性。
几何意义：
- 把向量"垂直压"到某一方向或平面；
- 长度减小（除非在方向上）。
（5）错切变换（Shear）
T(x,y)=(x+ky,y),A=[1k 01] T(x,y) = (x + ky, y) ,\quad A = \begin{bmatrix} 1 & k\ 0 & 1 \end{bmatrix} T(x,y)=(x+ky,y),A=[1k 01]
验证线性：
T(x+y)=T(x)+T(y),T(cx)=cT(x) T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y}), \quad T(c\mathbf{x})=cT(\mathbf{x}) T(x+y)=T(x)+T(y),T(cx)=cT(x)
✅ 满足线性。
几何意义：
- 将空间"斜着推开"，形状改变但平行性保持；
- 各向量的比例关系依旧保持。
（6）平移变换（Translation）【⚠️非线性】
T(x)=x+b T(\mathbf{x}) = \mathbf{x} + \mathbf{b} T(x)=x+b
验证：
T(cx)=cx+b≠cT(x)=c(x+b) T(c\mathbf{x}) = c\mathbf{x} + \mathbf{b} \neq cT(\mathbf{x}) = c(\mathbf{x}+\mathbf{b}) T(cx)=cx+b=cT(x)=c(x+b)
❌ 不满足线性定义。
几何意义：
- 平移改变了原点位置；
- 因此破坏了"原点到原点"的线性结构。
四、总结对比表
| 类型 | 线性 | 几何效果 | 矩阵形式 | 特征 |
|---|---|---|---|---|
| 缩放 | ✅ | 放大/缩小 | diag(k,k)diag(k,k)diag(k,k) | 改变长度，保持方向 |
| 旋转 | ✅ | 绕原点旋转 | 正交矩阵，det=+1 | 保长度与角度 |
| 反射 | ✅ | 镜像翻转 | 正交矩阵，det=-1 | 保长度但翻方向 |
| 投影 | ✅ | 压到某方向 | (uuT)(\mathbf{u}\mathbf{u}^T)(uuT) | 缩短长度 |
| 错切 | ✅ | 平行推移 | 上三角矩阵 | 改变形状 |
| 平移 | ❌ | 整体移动 | 含常数项 | 原点被移走 |
五、总结
- 线性变换的核心本质： 保持加法与数乘；
- 所有线性变换都可由矩阵乘法表示： (T(x)=Ax)(T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x})(T(x)=Ax)；
- 不同类型的线性变换只是矩阵形式不同，对空间的作用方式不同；
- **非线性变换（如平移）**破坏原点关系，因此不线性。