一、问题描述
- 大数的加法即两个非常大的数字进行相加，数字的大小超过了long long的表示范围（溢出）。由于数字可能非常大，不能直接转换为内置整型计算，必须逐位模拟竖式相加。
- 例如，要求实现两个非负整数的加法（负数的话直接算完前面加个负号即可），输入的数值为a = 42312313432351231276453587647867123561273189378912673678和b = 239123128973127663451234523478634675781267814562345612837324，请输出它们的和。
二、算法思想（竖式相加）
- 从两数的最低位（字符串最后一个字符）开始逐位相加。
- 每一位的计算包括两个对应位的值以及来自低位的进位（carry）。
- 若相加结果 ≥ 10，则该位结果为
sum - 10，并向高位产生进位 1。 - 当两个字符串长度不同，较长数剩余的位要继续加上可能存在的进位。
- 最终若最高位仍有进位，则在结果最前面补上
1。 - 将每位结果拼接回字符串并返回（注意去掉可能的前导零）。
三、示例代码解析（核心思想与实现）
c
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
typedef long long ll;
/*
将按位存放的数组转为字符串，并忽略前导零
参数 arr: 每个元素是 0~9 的位值（高位在前，低位在后），可能有前导 0
返回值: 去除前导零后的数字字符串；如果全为 0 则返回空字符串（使用者可判定）
*/
std::string num_arr_to_string(std::vector<int> arr){
std::string a("");
bool begin = false; // 标记是否遇到第一个非零位
for (int c: arr){
if (c != 0){
begin = true;
}
if (begin){
a += std::to_string(c);
}
}
return a;
}
// 调试用：打印数组中的每个元素（空格分隔）
void show_arr(std::vector<int> arr){
for (int c: arr){
std::cout << c << " ";
}
std::cout << std::endl;
}
// 检查一个字符串是否全为 0
bool is_zero_str(std::string a){
for (char c: a){
if (c != '0')
return false;
}
return true;
}
/*
大数相加（把结果保存在字符串中）
输入：a, b ------ 表示两个非负整数的字符串（例如 "123", "9"）
输出：a + b 的结果（字符串形式）
说明：
- 作者用一个整型数组 arr 保存计算过程的每一位，最后再转成字符串返回
- 注意：代码里把 arr 的长度设为 lens = max_len * max_len，这里长度远大于实际需要。
这样做虽然"安全"但浪费空间。后面博客会指出更合理的做法：长度为 max_len + 1 即可。
*/
std::string big_num_add(std::string a, std::string b){
if (is_zero_str(a) && is_zero_str(b)){
return "0";
}
int max_len = std::max(a.length(), b.length());
ll lens = max_len * max_len; // 原代码使用 max_len*max_len（过度分配）
std::vector<int> arr(lens + 1, 0); // 存放每一位的结果（高位在前，低位在后），初始化为 0
bool jin = false; // 进位标记（carry），true 表示上一位有进位 1
int i = a.length() - 1; // 指向字符串 a 的最低位（从后向前遍历）
int j = b.length() - 1; // 指向字符串 b 的最低位
int idx = lens; // arr 的填充索引（从后向前填充）
// 同时处理 a 和 b 都还有位的情况
while (i >= 0 and j >= 0){
int xi = a[i] - '0'; // 当前 a 的位（0-9）
int xj = b[j] - '0'; // 当前 b 的位（0-9）
int num = xi + xj + jin; // 当前位相加（含进位）
if (num >= 10){
jin = true;
num -= 10; // 只保留当前位
}else{
jin = false;
}
arr[idx] = num; // 存入当前位
i -= 1;
j -= 1;
idx -= 1;
}
// 如果 a 还有剩余位，继续处理（把进位加到剩余位上）
if (i >= 0){
while(i >= 0){
int xi = a[i] - '0';
int num = xi + jin;
if (num >= 10){
jin = true;
num -= 10;
arr[idx] = num;
}else{
jin = false;
arr[idx] = num;
}
i -= 1;
idx -= 1;
}
// 若遍历完仍然有进位，把 1 放到当前 idx 处（高位）
if (jin) { arr[idx] = 1; }
}
// 如果 b 还有剩余位，继续处理（逻辑与上面对称）
if (j >= 0){
while(j >= 0){
int xj = b[j] - '0';
int num = xj + jin;
if (num >= 10){
jin = true;
num -= 10;
arr[idx] = num;
}else{
jin = false;
arr[idx] = num;
}
j -= 1;
idx -= 1;
}
if (jin) { arr[idx] = 1; }
}
if (jin) {arr[idx] = 1;} // 没有分支时的进位
// show_arr(arr); // 可启用来查看数组计算状态（调试用）
return num_arr_to_string(arr); // 把结果数组转换为字符串返回（去除前导零）
}
int main(){
std::string a, b;
std::cin >> a >> b; // 从标准输入读取两个字符串（假设都是非负整数且无额外空格）
std::string res = big_num_add(a, b);
std::cout << res;
return 0;
}- 存储结构 ：代码使用
std::vector<int> arr来保存每一位的结果（高位在前，低位在后），最后通过num_arr_to_string去掉前导零并转换为字符串返回。 - 进位处理 ：用布尔变量
jin表示当前是否有进位（true表示有 1 的进位）。在每一步相加后更新jin。 - 数组大小 ：原代码中将
arr的长度设为max_len * max_len，这是一种"超保守"的做法------保证数组足够大，但会严重浪费空间。更合理的做法是把数组长度设为max_len + 1，因为两个长度为max_len的数相加最多产生一个额外的最高位进位。 - 返回值 ：
num_arr_to_string会去掉前导零；若结果为零，当前实现会返回空字符串（这点可以改进为返回"0"，更符合直觉）。
四、代码逐行要点说明（关键处总结）
int i = a.length() - 1, j = b.length() - 1;：从两数的最低位开始处理。int num = xi + xj + jin;：加上三个部分：a 的位、b 的位、进位。- 若
num >= 10，设置jin=true并num-=10，否则jin=false。 - 遍历结束后，若仍有
jin，需在更高位写入1。 - 最后调用
num_arr_to_string去掉高位多余的 0 并得到字符串结果。
五、时间与空间复杂度
- 时间复杂度：
O(n)，其中n = max(len(a), len(b))，每个位最多被访问常数次。 - 空间复杂度：原代码
O(L^2)（因为用了max_len * max_len），但最合理的实现只需O(n)（长度n + 1的数组或直接构造字符串存放结果）。
八、总结
大数运算是很多竞赛与工程场景常见的基础问题，掌握逐位相加、进位处理，以及如何在字符串/数组与结果字符串之间高效转换，是写出可靠代码的关键。