笛卡尔坐标系转换（外参矩阵原理与用途）

1. 外参矩阵定义

外参矩阵（Extrinsic Matrix）描述 两个笛卡尔坐标系之间的几何关系，由以下两部分组成：

• 旋转矩阵 R：表示一个坐标系相对于另一个坐标系的方向
• 平移向量 t：表示一个坐标系原点在另一个坐标系中的位置

公式：
X目标=RX源+t \mathbf{X}{\text{目标}} = R \mathbf{X}{\text{源}} + \mathbf{t} X目标=RX源+t

齐次矩阵形式：
T=[Rt0⊤1] T = \begin{bmatrix} R & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{bmatrix} T=[R0⊤t1]

X_{源} 为源坐标系下的点，X_{目标} 为目标坐标系下的点。

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2. 原理

外参矩阵的核心原理是线性空间变换：

1. 旋转 R：调整坐标系的方向，使两个坐标系的轴对齐
2. 平移 t：将源坐标系的原点移动到目标坐标系的位置

本质上，外参矩阵是两个笛卡尔坐标系之间的"桥梁"，不依赖坐标来源，只要是笛卡尔坐标系即可使用。

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3. 使用条件

• 必须是 笛卡尔直角坐标系 (x, y, z)
• 单位、方向、原点可以任意定义，只要两个坐标系一致即可

坐标类型	外参可用性	说明
棋盘板坐标	✅	相机标定常用
SLAM 世界坐标	✅	局部坐标系
ROS map/odom	✅	机器人本地坐标
LiDAR/IMU	✅	笛卡尔系
UTM / ENU	✅	地理坐标投影成平面坐标
经纬度/海拔	❌	球面坐标，需要先转换成笛卡尔系

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4. 主要用途

1. 坐标系转换

   • 将点从源坐标系转换到目标坐标系

2. 相机标定

   • 描述相机相对于标定板或世界坐标系的位姿
   • 用于图像点在不同坐标系间投影

3. 多传感器融合

   • LiDAR ↔ 相机、IMU ↔ 相机之间坐标统一

4. 机器人与无人车定位

   • 将传感器或车辆局部坐标转换到地图或全局坐标

5. SLAM / VIO 系统

   • 将局部特征点从源坐标系转换到目标世界坐标

6. 仿真与虚拟场景

   • Unity / Gazebo 世界坐标系 ↔ 相机坐标系

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5. 核心结论

• 坐标系转换本质 = 旋转 + 平移
• 适用于 任意两个笛卡尔坐标系之间的转换
• 源坐标可以是棋盘板、SLAM世界坐标、机器人地图坐标、UTM/ENU 等
• 不适用球面坐标（经纬度），必须先投影成笛卡尔坐标
• 是多传感器融合和坐标系转换的核心工具

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6. 内参 vs 外参对比

• 内参矩阵：描述相机内部参数（焦距、主点、像素比例等）
• 外参矩阵：描述坐标系之间的位置和方向（旋转 + 平移）

简单理解：内参负责"相机镜头特性"，外参负责"坐标系之间的位置和姿态"。