leetcode 1611

1611:使整数变为0的最少操作次数

我们需要确定在0 ≤ n ≤ 10⁹的范围内，整数n转换为二进制后最多有多少位。

二进制位数的基本概念

一个正整数n的二进制表示的位数可以通过以下公式计算：

位数=⌊log2​n⌋+1

这个公式的含义是：n的二进制位数比n的二对数（向下取整）多1。这是因为：

• 如果n是2的幂次方（例如1, 2, 4, 8, ...），那么log₂n是整数，位数就是log₂n + 1。

• 如果n不是2的幂次方，那么log₂n不是整数，向下取整后加1得到位数。

计算10⁹的二进制位数

我们需要找到最大的n在范围内，即n = 10⁹。计算其二进制位数：

位数=⌊log2​109⌋+1

首先计算log₂10⁹：

log2​109=9×log2​10

我们知道：

log2​10≈3.321928

因此：

9×log2​10≈9×3.321928≈29.897352

然后取 floor：

⌊29.897352⌋=29

最后加1：

29+1=30

因此，10⁹的二进制表示有30位(数目)，对应下标0...29。

        while(n) {
            int id1 = -1, id2 = -1;
            for(int i = 30; i >= 0; i--) { // 从高位开始遍历，寻找 1
                if((1 << i) & n) {
                    if(id1 == -1) id1 = i; // 记录较高位的 1
                    else if(id2 == -1) id2 = i; // 记录较低位的 1
                    else {
                        break; // 都找到了就 break
                    }
                }
            }

这段代码的目的是：在 n 的二进制表示中，从高位到低位，找到最高的两个 1 的位置，分别记为 id1 和 id2。

(1 << i) & n

作用 ：判断 n 的第 i 位是否为 1 。

• & n：++与 n 按位与，如果结果非零，说明 n 的第 i 位是 1。++

• 按位与就是"两个数的二进制对齐，逐位做逻辑与"，结果只有对应位同时是 1 的位置才是 1。

  n^=(1<<id1);

class Solution {
public:
    int minimumOneBitOperations(int n) {
        int cnt[30];  //10⁹的二进制表示有30位(数目)，对应下标0...29
        int res=0;
        for(int i=0;i<30;i++) cnt[i]=(1<<(i+1))-1;  //将规律 1 的结果预处理出来存在数组 cnt[i] = 2^(i+1) - 1
        while(n){
            int id1=-1,id2=-1;
            for(int i=29;i>=0;i--){  //从高位开始遍历，寻找 1
                if((1<<i)&n){  //判断 n 的第 i 位是否为 1，按位与(包括第0位)
                    if(id1==-1) id1=i;  //记录较高位的 1
                    else if(id2==-1) id2=i;   //记录较低位的 1
                    else{
                        break;  //都找到了就 break
                    }
                }
            }
            if(id2==-1){  //只找到一个
                n^=(1<<id1);  //第 id1 位被反转，其余位保持不变
                res+=cnt[id1];  //规律1
            }
            else{
                n^=(1<<id1);
                n^=(1<<id2);
                res+=(cnt[id1]-cnt[id2]); //规律2
            }
        }

        return res;
    }
};