一、题目概述
给你一个旋转排序数组 ，其中没有重复元素，让你在其中查找指定元素 target。
例如：
cpp
nums = [4,5,6,7,0,1,2]
target = 0 → 输出 4
target = 3 → 输出 -1旋转数组的结构是这样的：
cpp
原有序数组：0 1 2 4 5 6 7
旋转 k 次： 4 5 6 7 0 1 2
↑ ↑
左段仍有序 右段有序二、我们采用的策略：两次二分
本题最佳方案之一：
✔ 第一次二分：找到旋转点（最小值的位置）
也就是找到整个数组中的 最小值的下标。
例如：
cpp
[4,5,6,7,0,1,2]
最小值在 4 号位第二次二分：选择正确的区间做普通的二分查找
因为旋转后的数组其实是两段独立的有序数组：
cpp
[4 5 6 7] | [0 1 2]找到最小值的下标 i，就能得到两个有序区间：
-
第一区：
[0 ... i-1] -
第二区：
[i ... n-1]
然后根据 target 和 nums.back() 的关系，判断 target 落在哪个有序区间，再进行一次普通二分法。
三、第一次二分：寻找最小值（旋转点）
代码如下：
cpp
int findMin(vector<int>& nums) {
int left = 0;
int right = nums.size() - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] > nums.back()) {
left = mid + 1;
}
else {
right = mid - 1;
}
}
return left;
}为什么比较 nums[mid] > nums.back()？
因为旋转数组有一个性质：
-
比末尾大的数字一定在左侧有序段（红区）
-
比末尾小的数字一定在右侧有序段（蓝区，也就是最小值所在段）
我们用"红蓝染色法"理解：
| 区域 | 特点 | 与 nums.back() 的关系 |
|---|---|---|
| 红区（左段） | 值更大 | nums[mid] > nums.back() |
| 蓝区（右段） | 值更小（包括最小值） | nums[mid] <= nums.back() |
目标：
找到 蓝色区域（右段）中的第一个数，它就是最小值。
所以 right = mid - 1 是为了锁定蓝区的第一个元素。
四、第二次二分：普通二分查找（带红蓝染色法）
为了在有序区间查找 target，我们写了一个精确的 lower_bound：
cpp
int lower_bound(vector<int>& nums, int left, int right, int target) {
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if(nums[mid] < target) { // 左边红区
left = mid + 1;
}
else { // 右边蓝区
right = mid - 1;
}
}
return nums[left] == target? left : -1;
}红区：小于 target
蓝区：大于等于 target
最终 left 会来到 蓝区的第一个位置。
如果该位置恰好等于 target，则返回下标，否则返回 -1。
五、主函数逻辑：根据 target 落在哪一段
cpp
int search(vector<int>& nums, int target) {
int i = findMin(nums);
// 第一段
if (target > nums.back()){
return lower_bound(nums, 0, i - 1, target);
}
else return lower_bound(nums, i, nums.size() - 1, target);
}逻辑非常清晰：
-
若 target > nums.back()
→ target 必在左侧红区
[0 ... i-1] -
否则
→ target 在右侧蓝区
[i ... n-1]
这是由旋转数组的结构决定的。
六、完整代码（推荐写法）
cpp
class Solution {
int findMin(vector<int>& nums) {
int left = 0;
int right = nums.size() - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] > nums.back()) {
left = mid + 1;
}
else {
right = mid - 1;
}
}
return left;
}
int lower_bound(vector<int>& nums, int left, int right, int target) {
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if(nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
}
else {
right = mid - 1;
}
}
return nums[left] == target? left : -1;
}
public:
int search(vector<int>& nums, int target) {
int i = findMin(nums);
if (target > nums.back()){
return lower_bound(nums, 0, i - 1, target);
}
else return lower_bound(nums, i, nums.size() - 1, target);
}
};七、这种两次二分法的优势
① 逻辑清晰，结构稳定
不会出现常见的：
-
左右边界写反
-
mid 的判断错乱
-
死循环 / 越界等问题
② 利用红蓝染色法，可严格证明每一步正确
每个区间都有清晰的数学意义。
③ 时间复杂度依旧是 O(log n)
两次二分仍然是 O(log n)。
④ 适合拓展到更多题目
例如 154, 153, 81 等旋转数组题几乎可以模板化处理。
总结
本题的精髓不是"二分"，而是结构化思维------把问题拆成两个独立的二分：
-
找旋转点（找蓝区第一个数）
-
在对应有序段做普通二分（找蓝区第一个等于 target 的数）
用红蓝染色法可以让你彻底理解"为什么 mid > nums.back() 就是红区"。