LeetCode 238. 除自身以外数组的乘积 问题分析+解析

LeetCode 238. 除自身以外数组的乘积 - 题解

问题概述

给定一个整数数组 nums，返回一个数组 answer，其中 answer[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余所有元素的乘积。要求不能使用除法，且时间复杂度为 O (n)。

核心思路：前缀与后缀乘积的结合

解决问题的关键是将「除自身以外的乘积」拆分为两部分：

• 左侧乘积：当前元素左边所有元素的乘积（不包含自身）

• 右侧乘积：当前元素右边所有元素的乘积（不包含自身）

最终结果 answer[i] = 左侧乘积 × 右侧乘积

为了高效计算这两部分，我们引入前缀乘积数组 和后缀乘积数组：

• 前缀乘积数组 prefix：存储「从数组起点到当前位置的累积乘积」

• 后缀乘积数组 suffix：存储「从当前位置到数组终点的累积乘积」

详细步骤解析（含实例）

示例数组

以 nums = [1, 2, 3, 4] 为例，逐步演示计算过程。

1. 计算前缀乘积数组（prefix）

定义 ：prefix[i] 表示 nums[0] × nums[1] × ... × nums[i]（包含当前元素）

prefix[0] = nums[0];  // 第一个元素的前缀乘积就是自身​
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {​
    prefix[i] = nums[i] * prefix[i - 1];  // 累积前一个位置的乘积​
}

计算过程：

• prefix[0] = nums[0] = 1

• prefix[1] = nums[1] × prefix[0] = 2 × 1 = 2

• prefix[2] = nums[2] × prefix[1] = 3 × 2 = 6

• prefix[3] = nums[3] × prefix[2] = 4 × 6 = 24

结果 ：prefix = [1, 2, 6, 24]

2. 计算后缀乘积数组（suffix）

定义 ：suffix[i] 表示 nums[i] × nums[i+1] × ... × nums[n-1]（包含当前元素）

suffix[nums.length - 1] = nums[nums.length - 1];  // 最后一个元素的后缀乘积就是自身​
for (int i = nums.length - 2; i >= 0; i--) {​
    suffix[i] = nums[i] * suffix[i + 1];  // 累积后一个位置的乘积​
}

计算过程：

• suffix[3] = nums[3] = 4

• suffix[2] = nums[2] × suffix[3] = 3 × 4 = 12

• suffix[1] = nums[1] × suffix[2] = 2 × 12 = 24

• suffix[0] = nums[0] × suffix[1] = 1 × 24 = 24

结果 ：suffix = [24, 24, 12, 4]

3. 计算最终结果（answer）

核心逻辑：

• 对于第 i 个元素，左侧乘积 = prefix[i-1]（若 i > 0）

• 对于第 i 个元素，右侧乘积 = suffix[i+1]（若 i < n-1）

• 边界情况：

  • 第一个元素（i=0）：左侧无元素，结果 = 右侧乘积（suffix[1]）

  • 最后一个元素（i=n-1）：右侧无元素，结果 = 左侧乘积（prefix[n-2]）

for (int i = 0; i < nums.length; i++) {​
    if (i == 0) {​
        answer[i] = suffix[i + 1];  // 第一个元素无左侧​
    } else if (i == nums.length - 1) {​
        answer[i] = prefix[i - 1];  // 最后一个元素无右侧​
    } else {​
        answer[i] = prefix[i - 1] * suffix[i + 1];  // 中间元素 = 左 × 右​
    }​
}

计算过程 （以 nums = [1,2,3,4] 为例）：

• i=0：answer[0] = suffix[1] = 24

• i=1：answer[1] = prefix[0] × suffix[2] = 1 × 12 = 12

• i=2：answer[2] = prefix[1] × suffix[3] = 2 × 4 = 8

• i=3：answer[3] = prefix[2] = 6

结果 ：answer = [24, 12, 8, 6]

nums:   [1,   2,   3,   4]

prefix: [1,   2,   6,  24]  → 从左到右累积

suffix: [24, 24,  12,   4]  → 从右到左累积

answer[i] 计算：

i=0 → 右侧：suffix[1] → 24

i=1 → prefix[0] × suffix[2] → 1×12=12

i=2 → prefix[1] × suffix[3] → 2×4=8

i=3 → 左侧：prefix[2] → 6

复杂度分析

• 时间复杂度：O (n)，仅需 3 次线性遍历（前缀、后缀、结果计算）。

• 空间复杂度：O (n)，需要额外存储前缀和后缀两个数组（可优化至 O (1)，但此解法更直观）。

总结

通过前缀乘积和后缀乘积的拆分，我们巧妙避开了除法运算，同时满足了时间复杂度要求。核心思想是将「全局问题」拆解为「左侧局部乘积」和「右侧局部乘积」的组合，这种分治思想在数组类问题中非常常见。