线性代数 - 矩阵的等价标准形
flyfish
有的地方叫典范形 / 典范矩阵（canonical form）有的地方叫正规形 / 正规型（normal form）
对于 m×n 矩阵 A，总可经过有限次初等变换将它化为标准形
解释(挑个能看懂的)
任意m×n矩阵经过有限次初等行变换和初等列变换，一定能且唯一能化成左上角为r阶单位矩阵、其余元素全为0的标准形，其中r等于矩阵的秩。
任何一个矩阵做行变换加列变换，都能扫成'前面一个I_r，后面和下面全是0'的样子，这个样子只跟秩有关系，同秩的矩阵扫出来长得一模一样，所以叫唯一标准形。
不管多大的矩阵，行折腾列折腾，最后都能变成左上角几个1排成一个小单位矩阵，其他地方全0，长啥样就看秩几，秩一样的矩阵最后都长得一样，一个样！
对任意矩阵执行带列主元的完全高斯-约当消元（行+列同时消），最终必然得到左上角r×r单位矩阵、其余全零的唯一形式，r即为数值秩。
两个矩阵等价的充要条件是它们具有相同的秩，从而具有相同的标准形[Ir000]\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}[Ir000]。
矩阵就像乐高积木，不管你原来怎么拼，最后都能拆成'前面放几个小方块1×1，其余全是空'的样子，几个小方块由'有效信息量'（秩）决定，所以所有同等信息量的矩阵最后都拆成一样的形状。
设A为数域K上的m×n矩阵，则存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=[Ir000]PAQ = \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}PAQ=[Ir000]，其中r=rank(A)r=rank(A)r=rank(A)。此形式称为A的等价标准形，且对给定秩r是唯一的。"
样子
PAQ=[10⋯00⋯001⋯00⋯0⋮⋮⋱⋮⋮⋮00⋯10⋯000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋱⋮00⋯00⋯0]m行 n列 \boxed{ \text{PAQ} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \hline 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} _{\text{m行 n列}} } PAQ= 10⋮00⋮001⋮00⋮0⋯⋯⋱⋯⋯⋯00⋮10⋮000⋮00⋮0⋯⋯⋯⋯⋱⋯00⋮00⋮0 m行 n列
用分块矩阵更清楚地写出来就是：
PAQ=[Ir0r×(n−r)0(m−r)×r0(m−r)×(n−r)]\text{PAQ} =\begin{bmatrix} I_r & 0_{r\times(n-r)} \\[0.5em] 0_{(m-r)\times r} & 0_{(m-r)\times(n-r)} \end{bmatrix}PAQ=[Ir0(m−r)×r0r×(n−r)0(m−r)×(n−r)]
左上角：r×r 的单位矩阵 I_r（对角线全是 1，其余 0）
右上角：r 行 (n−r) 列 全 0
左下角：(m−r) 行 r 列 全 0
右下角：(m−r) 行 (n−r) 列 全 0
具体例子：
| m×n | 秩 r | PAQ 长这样 |
|---|---|---|
| 3×3 | 3 | [100010001]\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} 100010001 |
| 3×3 | 2 | [100010000]\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{bmatrix} 100010000 |
| 3×3 | 1 | [100000000]\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix} 100000000 |
| 4×5 | 3 | [10000010000010000000]\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix} 10000100001000000000 |
| 4×5 | 2 | [10000010000000000000]\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix} 10000100000000000000 |
| 2×4 | 2 | [10000100]\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}[10010000]（满秩） |
| 5×3 | 2 | [100010000000000]\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} 100000100000000 |