非齐次状态方程的两种解法：直接积分法与拉氏变换法详解
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- [1. 引言](#1. 引言)
- [2. 问题描述](#2. 问题描述)
- [3. 直接积分法（时域法）](#3. 直接积分法（时域法）)
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- [3.1 推导过程](#3.1 推导过程)
- [3.2 解的表达式](#3.2 解的表达式)
- [4. 拉氏变换法（频域法）](#4. 拉氏变换法（频域法）)
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- [4.1 推导过程](#4.1 推导过程)
- [4.2 解的表达式（s域）](#4.2 解的表达式（s域）)
- [4.3 时域解的还原](#4.3 时域解的还原)
1. 引言
在线性时变系统的分析与控制中，状态空间方程是核心的数学模型。对于线性时不变系统 ，其非齐次状态方程描述了系统在外部输入作用下的动态行为。本文将详细推导求解该方程的两种经典方法：直接积分法（时域法） 和 拉氏变换法（频域法），并阐明两者之间的内在联系。
2. 问题描述
考虑如下线性时不变系统的状态空间方程：
x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) , x ( 0 ) = x 0 \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t), \quad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0 x˙(t)=Ax(t)+Bu(t),x(0)=x0
其中：
- x ( t ) ∈ R n \mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n x(t)∈Rn 为状态向量
- u ( t ) ∈ R m \mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^m u(t)∈Rm 为输入（控制）向量
- A ∈ R n × n \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n} A∈Rn×n 为系统矩阵
- B ∈ R n × m \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{n \times m} B∈Rn×m 为输入矩阵
- 初始状态 x 0 \mathbf{x}_0 x0 在 t 0 = 0 t_0 = 0 t0=0 时刻给定（为简化，不失一般性）。
我们的目标是求解任意 t ≥ 0 t \ge 0 t≥0 时刻的状态 x ( t ) \mathbf{x}(t) x(t)。
3. 直接积分法（时域法）
这种方法直接在时间域上求解微分方程，核心思想是利用矩阵指数作为积分因子。
3.1 推导过程
将原方程重写为：
x ˙ ( t ) − A x ( t ) = B u ( t ) \dot{\mathbf{x}}(t) - \mathbf{A} \mathbf{x}(t) = \mathbf{B} \mathbf{u}(t) x˙(t)−Ax(t)=Bu(t)
为了构造全微分，我们在方程两边左乘积分因子 e − A t e^{-\mathbf{A}t} e−At：
e − A t x ˙ ( t ) − e − A t A x ( t ) = e − A t B u ( t ) e^{-\mathbf{A}t} \dot{\mathbf{x}}(t) - e^{-\mathbf{A}t} \mathbf{A} \mathbf{x}(t) = e^{-\mathbf{A}t} \mathbf{B} \mathbf{u}(t) e−Atx˙(t)−e−AtAx(t)=e−AtBu(t)
利用矩阵指数导数的性质 d d t e − A t = − A e − A t \frac{d}{dt}e^{-\mathbf{A}t} = -\mathbf{A} e^{-\mathbf{A}t} dtde−At=−Ae−At，可以验证上式左边恰好是乘积的导数：
d d t [ e − A t x ( t ) ] = e − A t B u ( t ) \frac{d}{dt} \left[ e^{-\mathbf{A}t} \mathbf{x}(t) \right] = e^{-\mathbf{A}t} \mathbf{B} \mathbf{u}(t) dtd[e−Atx(t)]=e−AtBu(t)
对上述等式从初始时刻 0 0 0 到当前时刻 t t t 进行积分：
∫ 0 t d d τ [ e − A τ x ( τ ) ] d τ = ∫ 0 t e − A τ B u ( τ ) d τ \int_0^t \frac{d}{d\tau} \left[ e^{-\mathbf{A}\tau} \mathbf{x}(\tau) \right] d\tau = \int_0^t e^{-\mathbf{A}\tau} \mathbf{B} \mathbf{u}(\tau) d\tau ∫0tdτd[e−Aτx(τ)]dτ=∫0te−AτBu(τ)dτ
根据微积分基本定理：
e − A t x ( t ) − x ( 0 ) = ∫ 0 t e − A τ B u ( τ ) d τ e^{-\mathbf{A}t} \mathbf{x}(t) - \mathbf{x}(0) = \int_0^t e^{-\mathbf{A}\tau} \mathbf{B} \mathbf{u}(\tau) d\tau e−Atx(t)−x(0)=∫0te−AτBu(τ)dτ
最后，在等式两边左乘 e A t e^{\mathbf{A}t} eAt（即 e − A t e^{-\mathbf{A}t} e−At 的逆），得到状态解：
3.2 解的表达式
x ( t ) = e A t x 0 + ∫ 0 t e A ( t − τ ) B u ( τ ) d τ \boxed{\mathbf{x}(t) = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{x}_0 + \int_0^t e^{\mathbf{A}(t-\tau)} \mathbf{B} \mathbf{u}(\tau) d\tau} x(t)=eAtx0+∫0teA(t−τ)Bu(τ)dτ
其中：
- 第一项 e A t x 0 e^{\mathbf{A}t} \mathbf{x}_0 eAtx0 称为零输入响应 ，由初始状态 x 0 \mathbf{x}_0 x0 产生，与外部输入无关。
- 第二项 ∫ 0 t e A ( t − τ ) B u ( τ ) d τ \int_0^t e^{\mathbf{A}(t-\tau)} \mathbf{B} \mathbf{u}(\tau) d\tau ∫0teA(t−τ)Bu(τ)dτ 称为零状态响应 ，是系统矩阵 A \mathbf{A} A、输入矩阵 B \mathbf{B} B 和输入信号 u ( t ) \mathbf{u}(t) u(t) 的卷积，描述了外部输入对系统状态的影响。
4. 拉氏变换法（频域法）
这种方法在复频域（s域）求解，通过拉氏变换将微分方程转化为代数方程，简化了运算。
4.1 推导过程
对原状态方程两边取单边拉普拉斯变换 。利用拉氏变换的线性性质和微分性质 L { x ˙ ( t ) } = s X ( s ) − x ( 0 ) \mathcal{L}\{\dot{\mathbf{x}}(t)\} = s\mathbf{X}(s) - \mathbf{x}(0) L{x˙(t)}=sX(s)−x(0)，可得：
s X ( s ) − x 0 = A X ( s ) + B U ( s ) s\mathbf{X}(s) - \mathbf{x}_0 = \mathbf{A} \mathbf{X}(s) + \mathbf{B} \mathbf{U}(s) sX(s)−x0=AX(s)+BU(s)
其中 X ( s ) = L { x ( t ) } \mathbf{X}(s) = \mathcal{L}\{\mathbf{x}(t)\} X(s)=L{x(t)}， U ( s ) = L { u ( t ) } \mathbf{U}(s) = \mathcal{L}\{\mathbf{u}(t)\} U(s)=L{u(t)}。
将包含 X ( s ) \mathbf{X}(s) X(s) 的项移到等式一边：
s X ( s ) − A X ( s ) = x 0 + B U ( s ) s\mathbf{X}(s) - \mathbf{A} \mathbf{X}(s) = \mathbf{x}_0 + \mathbf{B} \mathbf{U}(s) sX(s)−AX(s)=x0+BU(s)
提取公因子 X ( s ) \mathbf{X}(s) X(s)（注意矩阵乘法顺序）：
( s I − A ) X ( s ) = x 0 + B U ( s ) (s\mathbf{I} - \mathbf{A}) \mathbf{X}(s) = \mathbf{x}_0 + \mathbf{B} \mathbf{U}(s) (sI−A)X(s)=x0+BU(s)
其中 I \mathbf{I} I 是 n × n n \times n n×n 单位矩阵。假设 ( s I − A ) (s\mathbf{I} - \mathbf{A}) (sI−A) 可逆，两边左乘其逆矩阵 ( s I − A ) − 1 (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} (sI−A)−1，解得：
4.2 解的表达式（s域）
X ( s ) = ( s I − A ) − 1 x 0 + ( s I − A ) − 1 B U ( s ) \boxed{\mathbf{X}(s) = (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{x}_0 + (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{B} \mathbf{U}(s)} X(s)=(sI−A)−1x0+(sI−A)−1BU(s)
为了得到时域解 x ( t ) \mathbf{x}(t) x(t)，需对 X ( s ) \mathbf{X}(s) X(s) 进行拉普拉斯逆变换。
4.3 时域解的还原
利用拉氏变换的重要性质：
L { e A t } = ( s I − A ) − 1 和 L − 1 { F ( s ) G ( s ) } = f ( t ) ∗ g ( t ) \mathcal{L}\{e^{\mathbf{A}t}\} = (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \quad \text{和} \quad \mathcal{L}^{-1}\{\mathbf{F}(s)\mathbf{G}(s)\} = \mathbf{f}(t) * \mathbf{g}(t) L{eAt}=(sI−A)−1和L−1{F(s)G(s)}=f(t)∗g(t)
对上式逐项进行逆变换：
- 第一项逆变换： L − 1 { ( s I − A ) − 1 x 0 } = e A t x 0 \mathcal{L}^{-1}\{(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{x}_0\} = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{x}_0 L−1{(sI−A)−1x0}=eAtx0。
- 第二项是 ( s I − A ) − 1 B (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{B} (sI−A)−1B 与 U ( s ) \mathbf{U}(s) U(s) 的乘积，对应时域的卷积：
L − 1 { ( s I − A ) − 1 B U ( s ) } = ∫ 0 t e A ( t − τ ) B u ( τ ) d τ \mathcal{L}^{-1}\{(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{B} \mathbf{U}(s)\} = \int_0^t e^{\mathbf{A}(t-\tau)} \mathbf{B} \mathbf{u}(\tau) d\tau L−1{(sI−A)−1BU(s)}=∫0teA(t−τ)Bu(τ)dτ。
由此得到时域解，与直接积分法的结果完全一致 ：
x ( t ) = e A t x 0 + ∫ 0 t e A ( t − τ ) B u ( τ ) d τ \mathbf{x}(t) = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{x}_0 + \int_0^t e^{\mathbf{A}(t-\tau)} \mathbf{B} \mathbf{u}(\tau) d\tau x(t)=eAtx0+∫0teA(t−τ)Bu(τ)dτ