1.6
- 假设一个经济体系有农业、矿业和制造业三个部门．农业部门销售它的产出的5%给矿业部门，30%给制造业部门，保留余下的产出．矿业部门销售它的产出的20%给农业部门，70%给制造业部门，保留余下的产出．制造业部门销售它的产出的20%给农业部门，30%给矿业部门，保留余下的产出．构建该经济体系的交易表，表中的列给出各个部门的产出如何分配给其他部门
解答 ：
将比例用小数表示，由于要考虑所有的产出，故每列的元素之和等于1，每一列代表该部门的产出。
交易表
| 采购部门 | 农业 | 矿业 | 制造业 |
|---|---|---|---|
| 农业 | 0.65 | 0.20 | 0.20 |
| 矿业 | 0.05 | 0.10 | 0.30 |
| 制造业 | 0.30 | 0.70 | 0.50 |
结论 ：
交易表如上所示，每列表示该部门产出的分配比例，列和为1。
- 假设一个经济体系只有商品和服务两个部门．在每一年中，商品部门销售它的总产出的80%给服务部门，而保留余下的产出；服务部门销售它的总产出的70%给商品部门，保留余下的产出．找出商品和服务部门的年度产出的平衡价格，使得每一部门的收支平衡．
解答 ：
逐年填写交易表，每列小数之和为1。
交易表
| 采购部门 | 商品 | 服务 |
|---|---|---|
| 商品 | 0.2 | 0.7 |
| 服务 | 0.8 | 0.3 |
设 pGp_GpG 和 pSp_SpS 分别为商品和服务部门的总产出（美元）。
商品部门平衡方程：pG=0.2pG+0.7pSp_G = 0.2p_G + 0.7p_SpG=0.2pG+0.7pS
服务部门平衡方程：pS=0.8pG+0.3pSp_S = 0.8p_G + 0.3p_SpS=0.8pG+0.3pS
移项整理得：
{0.8pG−0.7pS=0−0.8pG+0.7pS=0 \begin{cases} 0.8p_G - 0.7p_S = 0 \\ -0.8p_G + 0.7p_S = 0 \end{cases} {0.8pG−0.7pS=0−0.8pG+0.7pS=0
增广矩阵行化简：
0.8−0.70−0.80.70\]∼\[1−0.8750000\] \\begin{bmatrix} 0.8 \& -0.7 \& 0 \\\\ -0.8 \& 0.7 \& 0 \\end{bmatrix} \\sim \\begin{bmatrix} 1 \& -0.875 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} \[0.8−0.8−0.70.700\]∼\[10−0.875000
通解为 pG=0.875pSp_G = 0.875p_SpG=0.875pS，pSp_SpS 自由。
结论 ：
一组平衡价格为 pS=1000, pG=875p_S = 1000,\ p_G = 875pS=1000, pG=875。若用分数表示，pG=78pSp_G = \frac{7}{8}p_SpG=87pS，可取 pS=80, pG=70p_S = 80,\ p_G = 70pS=80, pG=70。只有价格比例重要，经济均衡不受价格按比例缩放的影响。
考虑一个由燃料动力、化学金属和机器三个部门构成的经济体系．化学金属部门销售30%的产出给燃料动力部门和50%的产出给机器部门，保留余下的产出．燃料动力部门销售80%的产出给化学金属部门和10%的产出给机器部门，保留余下的产出．机器部门销售40%的产出给化学金属部门和40%的产出给燃料动力部门，保留余下的产出．
a. 构建该经济体系的交易表．
b. 建立方程组表示各部门收支平衡的条件．写出对应的增广矩阵以便行化简求平衡价格．
c. M 找出当机器部门产出的价格是100个单位时的一组平衡价格
解答 ：
a. 交易表（按列填写，每列之和为1）
| 采购部门 | 化学金属 | 燃料动力 | 机器 |
|---|---|---|---|
| 化学金属 | 0.2 | 0.8 | 0.4 |
| 燃料动力 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
| 机器 | 0.5 | 0.1 | 0.2 |
b. 设 pC,pF,pMp_C, p_F, p_MpC,pF,pM 为各部门总产出
化学金属部门：pC=0.2pC+0.8pF+0.4pMp_C = 0.2p_C + 0.8p_F + 0.4p_MpC=0.2pC+0.8pF+0.4pM
燃料动力部门：pF=0.3pC+0.1pF+0.4pMp_F = 0.3p_C + 0.1p_F + 0.4p_MpF=0.3pC+0.1pF+0.4pM
机器部门：pM=0.5pC+0.1pF+0.2pMp_M = 0.5p_C + 0.1p_F + 0.2p_MpM=0.5pC+0.1pF+0.2pM
移项得：
{0.8pC−0.8pF−0.4pM=0−0.3pC+0.9pF−0.4pM=0−0.5pC−0.1pF+0.8pM=0 \begin{cases} 0.8p_C - 0.8p_F - 0.4p_M = 0 \\ -0.3p_C + 0.9p_F - 0.4p_M = 0 \\ -0.5p_C - 0.1p_F + 0.8p_M = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧0.8pC−0.8pF−0.4pM=0−0.3pC+0.9pF−0.4pM=0−0.5pC−0.1pF+0.8pM=0
增广矩阵（每行乘以10简化）：
8−8−40−39−40−5−180 \begin{bmatrix} 8 & -8 & -4 & 0 \\ -3 & 9 & -4 & 0 \\ -5 & -1 & 8 & 0 \end{bmatrix} 8−3−5−89−1−4−48000
c. 行化简得 ：pC=1.417pM, pF=0.917pMp_C = 1.417p_M,\ p_F = 0.917p_MpC=1.417pM, pF=0.917pM，pMp_MpM 自由。
当 pM=100p_M = 100pM=100 时，pC=141.7, pF=91.7p_C = 141.7,\ p_F = 91.7pC=141.7, pF=91.7。
结论 ：
a. 交易表如上；
b. 方程组及增广矩阵如上；
c. 一组平衡价格为 pM=100, pC≈141.7, pF≈91.7p_M = 100,\ p_C \approx 141.7,\ p_F \approx 91.7pM=100, pC≈141.7, pF≈91.7。只有价格比例确定，经济均衡不受货币单位影响。
- 硫化硼与水剧烈反应生成硼酸和硫化氢气体（臭蛋味）．未配平的化学反应式为
B2S3+H2O→H3BO3+H2S\text{B}_2\text{S}_3 + \text{H}_2\text{O} \rightarrow \text{H}_3\text{BO}_3 + \text{H}_2\text{S}B2S3+H2O→H3BO3+H2S
解答 ：
对每个化合物构建原子向量（硼、硫、氢、氧）：
B2S3:2300, H2O:0021, H3BO3:1033, H2S:0120\text{B}_2\text{S}_3: \begin{bmatrix}2\\3\\0\\0\end{bmatrix},\ \text{H}_2\text{O}: \begin{bmatrix}0\\0\\2\\1\end{bmatrix},\ \text{H}_3\text{BO}_3: \begin{bmatrix}1\\0\\3\\3\end{bmatrix},\ \text{H}_2\text{S}: \begin{bmatrix}0\\1\\2\\0\end{bmatrix}B2S3: 2300 , H2O: 0021 , H3BO3: 1033 , H2S: 0120
设配平系数为 x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4x1,x2,x3,x4，满足：
x12300+x20021=x31033+x40120 x_1\begin{bmatrix}2\\3\\0\\0\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}0\\0\\2\\1\end{bmatrix} = x_3\begin{bmatrix}1\\0\\3\\3\end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix}0\\1\\2\\0\end{bmatrix} x1 2300 +x2 0021 =x3 1033 +x4 0120
移项并化简增广矩阵：
20−100300−1002−3−2001−300→⋯→100−130010−20001−23000000 \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -3 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \cdots \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 23000021−10−3−30−1−200000 →⋯→ 100001000010−31−2−3200000
通解：x1=13x4, x2=2x4, x3=23x4x_1 = \frac{1}{3}x_4,\ x_2 = 2x_4,\ x_3 = \frac{2}{3}x_4x1=31x4, x2=2x4, x3=32x4，x4x_4x4 自由。
取 x4=3x_4 = 3x4=3，则 x1=1, x2=6, x3=2x_1 = 1,\ x_2 = 6,\ x_3 = 2x1=1, x2=6, x3=2。
结论 ：
配平后的方程式为
B2S3+6H2O→2H3BO3+3H2S\text{B}_2\text{S}_3 + 6\text{H}_2\text{O} \rightarrow 2\text{H}_3\text{BO}_3 + 3\text{H}_2\text{S}B2S3+6H2O→2H3BO3+3H2S
- 磷酸钠和硝酸钡反应生成磷酸钡和硝酸钠的未配平方程式为
Na3PO4+Ba(NO3)2→Ba3(PO4)2+NaNO3\text{Na}_3\text{PO}_4 + \text{Ba}(\text{NO}_3)_2 \rightarrow \text{Ba}_3(\text{PO}_4)_2 + \text{NaNO}_3Na3PO4+Ba(NO3)2→Ba3(PO4)2+NaNO3
解答 ：
对每个化合物构建原子向量（钠、磷、氧、钡、氮）：
Na3PO4:31400, Ba(NO3)2:00612, Ba3(PO4)2:02830, NaNO3:10301\text{Na}_3\text{PO}_4: \begin{bmatrix}3\\1\\4\\0\\0\end{bmatrix},\ \text{Ba}(\text{NO}_3)_2: \begin{bmatrix}0\\0\\6\\1\\2\end{bmatrix},\ \text{Ba}_3(\text{PO}_4)_2: \begin{bmatrix}0\\2\\8\\3\\0\end{bmatrix},\ \text{NaNO}_3: \begin{bmatrix}1\\0\\3\\0\\1\end{bmatrix}Na3PO4: 31400 , Ba(NO3)2: 00612 , Ba3(PO4)2: 02830 , NaNO3: 10301
设系数为 x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4x1,x2,x3,x4，满足向量方程并移项化简增广矩阵：
300−1010−20046−8−3001−300020−10→⋯→100−130010−120001−16000000 \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 4 & 6 & -8 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \cdots \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 31400006120−2−8−30−10−30−100000 →⋯→ 100001000010−31−21−6100000
通解：x1=13x4, x2=12x4, x3=16x4x_1 = \frac{1}{3}x_4,\ x_2 = \frac{1}{2}x_4,\ x_3 = \frac{1}{6}x_4x1=31x4, x2=21x4, x3=61x4，x4x_4x4 自由。
取 x4=6x_4 = 6x4=6，得 x1=2, x2=3, x3=1x_1 = 2,\ x_2 = 3,\ x_3 = 1x1=2, x2=3, x3=1。
结论 ：
配平后的方程式为
2Na3PO4+3Ba(NO3)2→Ba3(PO4)2+6NaNO32\text{Na}_3\text{PO}_4 + 3\text{Ba}(\text{NO}_3)_2 \rightarrow \text{Ba}_3(\text{PO}_4)_2 + 6\text{NaNO}_32Na3PO4+3Ba(NO3)2→Ba3(PO4)2+6NaNO3
7. Alka-Seltzer碱性苏打包含碳酸氢钠（NaHCO3\text{NaHCO}_3NaHCO3）和柠檬酸（H3C6H5O7\text{H}_3\text{C}_6\text{H}_5\text{O}_7H3C6H5O7）．当一颗药片溶解在水中时，会发生化学反应生成柠檬酸钠、水和二氧化碳的反应为
NaHCO3+H3C6H5O7→Na3C6H5O7+H2O+CO2\text{NaHCO}_3 + \text{H}_3\text{C}_6\text{H}_5\text{O}_7 \rightarrow \text{Na}_3\text{C}_6\text{H}_5\text{O}_7 + \text{H}_2\text{O} + \text{CO}_2NaHCO3+H3C6H5O7→Na3C6H5O7+H2O+CO2
解答 ：
按原子出现顺序构建向量（钠、氢、碳、氧）：
NaHCO3:1113, H3C6H5O7:0867, Na3C6H5O7:3567, H2O:0201, CO2:0012\text{NaHCO}_3: \begin{bmatrix}1\\1\\1\\3\end{bmatrix},\ \text{H}_3\text{C}_6\text{H}_5\text{O}_7: \begin{bmatrix}0\\8\\6\\7\end{bmatrix},\ \text{Na}_3\text{C}_6\text{H}_5\text{O}_7: \begin{bmatrix}3\\5\\6\\7\end{bmatrix},\ \text{H}_2\text{O}: \begin{bmatrix}0\\2\\0\\1\end{bmatrix},\ \text{CO}_2: \begin{bmatrix}0\\0\\1\\2\end{bmatrix}NaHCO3: 1113 , H3C6H5O7: 0867 , Na3C6H5O7: 3567 , H2O: 0201 , CO2: 0012
设系数为 x1,x2,x3,x4,x5x_1, x_2, x_3, x_4, x_5x1,x2,x3,x4,x5，满足向量方程并移项化简：
10−300018−5−20016−60−1037−7−1−20→⋯→1000−100100−1300010−1300001−10 \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 8 & -5 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 6 & -6 & 0 & -1 & 0 \\ 3 & 7 & -7 & -1 & -2 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \cdots \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} 11130867−3−5−6−70−20−100−1−20000 →⋯→ 1000010000100001−1−31−31−10000
通解：x1=x5, x2=13x5, x3=13x5, x4=x5x_1 = x_5,\ x_2 = \frac{1}{3}x_5,\ x_3 = \frac{1}{3}x_5,\ x_4 = x_5x1=x5, x2=31x5, x3=31x5, x4=x5，x5x_5x5 自由。
取 x5=3x_5 = 3x5=3，得 x1=x4=3, x2=x3=1x_1 = x_4 = 3,\ x_2 = x_3 = 1x1=x4=3, x2=x3=1。
结论 ：
配平后的方程式为
3NaHCO3+H3C6H5O7→Na3C6H5O7+3H2O+3CO23\text{NaHCO}_3 + \text{H}_3\text{C}_6\text{H}_5\text{O}_7 \rightarrow \text{Na}_3\text{C}_6\text{H}_5\text{O}_7 + 3\text{H}_2\text{O} + 3\text{CO}_23NaHCO3+H3C6H5O7→Na3C6H5O7+3H2O+3CO2
8. 高锰酸钾和硫酸锰在水中反应生成二氧化锰、硫酸钾和硫酸的反应为
KMnO4+MnSO4+H2O→MnO2+K2SO4+H2SO4\text{KMnO}_4 + \text{MnSO}_4 + \text{H}_2\text{O} \rightarrow \text{MnO}_2 + \text{K}_2\text{SO}_4 + \text{H}_2\text{SO}_4KMnO4+MnSO4+H2O→MnO2+K2SO4+H2SO4
解答 ：
构建原子向量（钾、锰、氧、硫、氢）：
KMnO4:11400, MnSO4:01410, H2O:00102, MnO2:01200, K2SO4:20410, H2SO4:00412\text{KMnO}_4: \begin{bmatrix}1\\1\\4\\0\\0\end{bmatrix},\ \text{MnSO}_4: \begin{bmatrix}0\\1\\4\\1\\0\end{bmatrix},\ \text{H}_2\text{O}: \begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\\2\end{bmatrix},\ \text{MnO}_2: \begin{bmatrix}0\\1\\2\\0\\0\end{bmatrix},\ \text{K}_2\text{SO}_4: \begin{bmatrix}2\\0\\4\\1\\0\end{bmatrix},\ \text{H}_2\text{SO}_4: \begin{bmatrix}0\\0\\4\\1\\2\end{bmatrix}KMnO4: 11400 , MnSO4: 01410 , H2O: 00102 , MnO2: 01200 , K2SO4: 20410 , H2SO4: 00412
设系数为 x1,x2,x3,x4,x5,x6x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6x1,x2,x3,x4,x5,x6，满足向量方程并移项化简：
1000−200110−1000441−2−4−400100−1−1000200−20→⋯→10000−1001000−1.5000100−1000010−2.5000001−0.50 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 4 & 1 & -2 & -4 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & -2 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \cdots \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1.5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2.5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -0.5 & 0 \end{bmatrix} 1140001410001020−1−200−20−4−1000−4−1−200000 →⋯→ 1000001000001000001000001−1−1.5−1−2.5−0.500000
通解：x1=x6, x2=1.5x6, x3=x6, x4=2.5x6, x5=0.5x6x_1 = x_6,\ x_2 = 1.5x_6,\ x_3 = x_6,\ x_4 = 2.5x_6,\ x_5 = 0.5x_6x1=x6, x2=1.5x6, x3=x6, x4=2.5x6, x5=0.5x6，x6x_6x6 自由。
取 x6=2x_6 = 2x6=2，得 x1=x3=2, x2=3, x4=5, x5=1x_1 = x_3 = 2,\ x_2 = 3,\ x_4 = 5,\ x_5 = 1x1=x3=2, x2=3, x4=5, x5=1。
结论 ：
配平后的方程式为
2KMnO4+3MnSO4+2H2O→5MnO2+K2SO4+2H2SO42\text{KMnO}_4 + 3\text{MnSO}_4 + 2\text{H}_2\text{O} \rightarrow 5\text{MnO}_2 + \text{K}_2\text{SO}_4 + 2\text{H}_2\text{SO}_42KMnO4+3MnSO4+2H2O→5MnO2+K2SO4+2H2SO4
9. M 如果可能，使用精确的算术或合理的计算格式配平如下的化学反应方程式：
PbN6+CrMn2O8→Pb3O4+Cr2O3+MnO2+NO\text{PbN}_6 + \text{CrMn}_2\text{O}_8 \rightarrow \text{Pb}_3\text{O}_4 + \text{Cr}_2\text{O}_3 + \text{MnO}_2 + \text{NO}PbN6+CrMn2O8→Pb3O4+Cr2O3+MnO2+NO
解答 ：
构建原子向量（铅、氮、铬、锰、氧）：
PbN6:16000, CrMn2O8:00128, Pb3O4:30004, Cr2O3:00203, MnO2:00012, NO:01001\text{PbN}_6: \begin{bmatrix}1\\6\\0\\0\\0\end{bmatrix},\ \text{CrMn}_2\text{O}_8: \begin{bmatrix}0\\0\\1\\2\\8\end{bmatrix},\ \text{Pb}_3\text{O}_4: \begin{bmatrix}3\\0\\0\\0\\4\end{bmatrix},\ \text{Cr}_2\text{O}_3: \begin{bmatrix}0\\0\\2\\0\\3\end{bmatrix},\ \text{MnO}_2: \begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\\2\end{bmatrix},\ \text{NO}: \begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\\1\end{bmatrix}PbN6: 16000 , CrMn2O8: 00128 , Pb3O4: 30004 , Cr2O3: 00203 , MnO2: 00012 , NO: 01001
设系数为 x1,x2,x3,x4,x5,x6x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6x1,x2,x3,x4,x5,x6，满足向量方程并移项化简：
10−3000060000−10010−20000200−10008−4−3−2−10→⋯→10000−16001000−2245000100−118000010−1145000001−44450 \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \cdots \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{22}{45} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{18} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{11}{45} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{44}{45} & 0 \end{bmatrix} 1600000128−3000−400−20−3000−1−20−100−100000 →⋯→ 1000001000001000001000001−61−4522−181−4511−454400000
通解：x1=16x6, x2=2245x6, x3=118x6, x4=1145x6, x5=4445x6x_1 = \frac{1}{6}x_6,\ x_2 = \frac{22}{45}x_6,\ x_3 = \frac{1}{18}x_6,\ x_4 = \frac{11}{45}x_6,\ x_5 = \frac{44}{45}x_6x1=61x6, x2=4522x6, x3=181x6, x4=4511x6, x5=4544x6，x6x_6x6 自由。
取 x6=90x_6 = 90x6=90，得 x1=15, x2=44, x3=5, x4=22, x5=88x_1 = 15,\ x_2 = 44,\ x_3 = 5,\ x_4 = 22,\ x_5 = 88x1=15, x2=44, x3=5, x4=22, x5=88。
结论 ：
配平后的方程式为
15PbN6+44CrMn2O8→5Pb3O4+22Cr2O3+88MnO2+90NO15\text{PbN}_6 + 44\text{CrMn}_2\text{O}_8 \rightarrow 5\text{Pb}_3\text{O}_4 + 22\text{Cr}_2\text{O}_3 + 88\text{MnO}_2 + 90\text{NO}15PbN6+44CrMn2O8→5Pb3O4+22Cr2O3+88MnO2+90NO
11. 求下图中网络流量的通解．假设流量都是非负的，x5x_5x5 可能的最大值是什么？
解答 ：
写出各节点方程：
| 节点 | 流入 | 流出 |
|---|---|---|
| A | x1+x3x_1 + x_3x1+x3 | 20 |
| B | x2x_2x2 | x3+x4x_3 + x_4x3+x4 |
| C | 80 | x1+x2x_1 + x_2x1+x2 |
| 总计 | 80 | x4+20x_4 + 20x4+20 |
整理得：
{x1+x3=20x2−x3−x4=0x1+x2=80x4=60 \begin{cases} x_1 + x_3 = 20 \\ x_2 - x_3 - x_4 = 0 \\ x_1 + x_2 = 80 \\ x_4 = 60 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+x3=20x2−x3−x4=0x1+x2=80x4=60
增广矩阵化简：
10102001−1−10110080000160→10102001−106000016000000 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 20 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 80 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 60 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 20 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 60 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 60 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 101001101−1000−1012008060 → 100001001−10000102060600
通解：
{x1=20−x3x2=60+x3x3是自由变量x4=60 \begin{cases} x_1 = 20 - x_3 \\ x_2 = 60 + x_3 \\ x_3 是自由变量 \\ x_4 = 60 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1=20−x3x2=60+x3x3是自由变量x4=60
因为非负 所以 x3x_3x3 最大是20