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前言
闲来无事温习一下线性代数，作为学习笔记在博客中记录，本篇文章内容为开篇内容，主要认识一下矩阵和矩阵的计算，后续将持续更新学习内容，欢迎有兴趣的朋友一起学习共同进步！~~~。
矩阵基础
矩阵的定义
在数学中，矩阵是一个按照矩形阵列排列的复数或实数集合。更简单地说，矩阵就是一个由行和列组成的数字表格。它通常用大写粗体字母（如 A、B）来表示。由mxn个数按一定的次序排成的m行n列的矩形数表称为mxn的矩阵，简称矩阵。
矩阵的维度
矩阵的大小由它的行数和列数决定，我们称之为维度或阶，如果一个矩阵有 m 行和 n 列，我们就称它为 m×n 矩阵（读作"m 乘 n矩阵"）。
矩阵的表示法
一个矩阵通常用圆括号或方括号将数字阵列括起来。手写的时候一定用圆括弧，印刷体的时候用一般会用中括弧。通常用大写粗体字母（如 A 、B ）来表示。例如矩阵 A 是一个 m×n矩阵（m行n列），如下所示：
元素为实数的称为实矩阵，实际上只讨论实矩阵。
如果矩阵很大，可使用矩阵简单的表示方法：
矩阵的元素
矩阵中的每个数字称为矩阵的元素（或项）。我们通常使用矩阵名称的小写字母，并加上两个下标来表示元素的位置。
-
第一个下标表示行号。
-
第二个下标表示列号。
例如，对于矩阵 A ，元素 aij 表示位于第 i 行、第 j 列的元素。
-
=1（第1行第1列）
-
-
因此，一个一般的 m×n 矩阵可以写成
特殊的矩阵
行矩阵
只有一行的矩阵（1×n矩阵）。例如 [1 2 3]，写为：
列矩阵
只有一列的矩阵（m×1 矩阵）。例如 ，写为：
方阵
当m=n时，即矩阵的行数与列数相同时，称矩阵为方阵。
主对角线
只有方阵才有主对角线 。从矩阵左上角到右下角，由所有行下标 = 列下标的元素组成的对角线。
斜对角线
从矩阵的右上角 （第 1 行第 n 列）延伸到左下角 （第 n 行第 1 列）。斜对角线上的元素位置满足：行下标 + 列下标 = n + 1。即：。
单位阵
它的主对角线上的元素全为 1 ，其余所有元素全为 0 ，就得到又一个特殊的矩阵叫做单位阵，，记为 或
。
单位阵性质
对任意可乘矩阵 A，则有：
转置不变：
幂等性： （任意正整数 k）
数量阵
它的主对角线上的元素全为 k，其余所有元素全为 0，就得到又一个特殊的矩阵叫做数量阵
上三角矩阵
主对角线以下的元素全为零的方阵，对于一个矩阵 U，如果当 i>j（即行号大于列号，也就是主对角线以下的元素）时，有，那么 U就是一个上三角矩阵。
下三角矩阵
对于一个矩阵 L，如果当 i<j（即行号小于列号，也就是主对角线以上的元素）时，有 ，那么 LL就是一个下三角矩阵
零矩阵
所有元素都是0的矩阵，零矩阵用大写的O表示。
梯形阵
设为非零矩阵，若非零行(即至少有一个非零元素的行)全在零行的上面，A中各非零行中第一个(最后一个)非零元素前(后)面零元素的个数随行数增大而增多(减少)，则称为上(下)梯形矩阵。简称为上(下)梯形阵。
矩阵的运算
矩阵相等
两个矩阵 A 和 B 称为相等，记作 A = B，当且仅当它们满足以下两个条件：
维度相同：矩阵 A 和 B 必须有相同的行数和相同的列数（即同为 m×n 矩阵）。
对应元素相等 ：对于所有的 i 和 j （1≤i≤m，1≤j≤n），矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素等于矩阵 B 的第 i 行第 j 列的元素
。
换句话说，两个矩阵相等意味着它们作为数学对象是完全一样的，没有任何区别。
矩阵加法
设 和
是两个 m×n 矩阵（即行数、列数相同）。它们的和 A+B 是一个 m×n 矩阵
，其中 C 的每个元素等于 A 和 B 对应位置元素之和：
例如
结果为：
注意
-
只有同型矩阵才能相加。如果两个矩阵的行数或列数不同，则它们的和没有定义。
-
加法运算可以推广到多个矩阵相加，只要它们都是同型的。
性质
-
交换律：A+B=B+A。
-
结合律：(A+B)+C=A+(B+C)。
-
存在零矩阵：存在一个 m×n 的零矩阵 0（所有元素为零），使得 A+0=A。
-
存在负矩阵：对于每个矩阵 A，存在唯一的矩阵 −A（称为 A 的负矩阵），其元素是 A 对应元素的相反数，满足 A+(−A)=0。
矩阵减法
利用负矩阵，可以定义矩阵减法 ：
矩阵乘法
矩阵乘法是线性代数中最核心的操作之一，但它的计算规则和意义可能与大家熟悉的数的乘法有很大不同。矩阵乘法并不是两个同维数的矩阵对应元素相乘。我们通常说的矩阵乘法是指一般矩阵乘积（也称为点积或内积相乘）。
可乘性
-
并不是任意两个矩阵都能相乘。
-
设矩阵 A 的尺寸为 m×n（m 行 n 列），矩阵 B 的尺寸为 p×q。只有当 A 的列数等于 B 的行数时，即 n=p，A 和 B 才能相乘。
计算规则："左行乘右列"
假设我们计算 C=A×B，结果矩阵 C 的尺寸是 m×q（A 的行数，B 的列数）。如何求 C中第 i 行第 j 列的元素。例如我有两个矩阵A和B相乘，那么结果如下：
取 A 的第 i 行的每一个元素，取 B 的第 j 列的每一个元素，将它们对应相乘，然后求和。如果换成公式就是：，其中 n 是 A 的列数（也是 B 的行数） 。
设矩阵 A 和 B 如下：
计算 C=A×B：
-
第一行第一列 ：
-
第一行第二列 ：
-
第二行第一列 ：
-
第二行第二列 ：
结果为：
重要性质（与数的乘法不同）
矩阵乘法有很多违反直觉的性质，这是初学者容易出错的地方。
-
不满足交换律：通常 A×B = B×A。有时 AXB 有意义，但 BXA可能根本不能乘（因为维度对不上）。即使都能乘，结果也往往不同。如下所示
-
**不满足数乘法定律：**例如 AB=AC，但是B和C不一定相等。如下所示
-
满足结合律：(AB)C=A(BC)，前提是维度允许。
-
满足分配律：A(B+C)=AB+AC。
-
零因子存在：两个非零矩阵相乘，结果可能是零矩阵，如下所示
方阵的幂
只有方阵 才能算幂，设 A 是 n 阶方阵，k 是正整数则有
定律
一般来说 ，因为矩阵乘法不满足交换律。但如果 AB=BA，等式成立。
转置：
转置矩阵
将一个 m×n 的矩阵 A 的行和列互换，得到的 n×m 的新矩阵称为 A 的转置矩阵，记作 （或 A′）。
元素关系 ：如果 ，那么 B 中第 i 行第 j 列的元素等于 A 中第 j 行第 i 列的元素。 即
基本性质
双重转置等于原矩阵：
和的转置等于转置的和：
数乘的转置：
乘积的转置（反转顺序）：
推导一下，设
，根据矩阵的可乘性质那么
，所以矩阵A和B的转置矩阵为：
，那么就有
，我们可以发现矩阵C的转置就是nxm，和
的nxm相同。然后只要明证矩阵的对应元素相同即可，即证明
即可，因为
，
，所以对应元素也会相同。
对称矩阵
如果一个矩阵，它的转置和它本身相等，我们就把这个矩阵叫做对称阵。所以对阵矩阵一定是方阵。即：，对于矩阵元素有：
。
对称矩阵意味着，以主对角线为轴，两边元素完全一样。所以对称矩阵的和、数乘仍然对称。
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