xtuoj Prime Twins - 技术栈

题目

思路

解题思路

1. 问题分析

核心需求：给定多组查询区间 [a, b]，统计区间内孪生素数对（即两个素数相差 2，如 (3,5)、(5,7)）的数量。
关键：孪生素数对的形式是 (x, x+2)，因此统计的本质是找满足 a ≤ x ≤ b-2 且 x 和 x+2 都是素数的 x 的个数。

2. 核心难点与解决思路

难点：如果对每个查询都逐个判断数是否为素数，时间复杂度会很高（尤其是数据范围到 500 万），无法高效处理多组查询。
解决思路：预处理 + 前缀和 （空间换时间）：
1. 先用筛法一次性找出所有素数（预处理）；
2. 再用前缀和数组记录前 i 个数中孪生素数对的总数；
3. 每个查询直接通过前缀和数组的差值快速得到结果。

3. 具体实现步骤

步骤 1：素数筛选（埃拉托斯特尼筛法）

目的：标记出 500 万以内所有非素数，为后续判断孪生素数做准备。
操作：
- 定义布尔数组 st[N+1]，st[i] = true 表示 i 不是素数，初始全为 false；
- 遍历 i 从 2 到 N：若 i 未被标记（是素数），则标记 i 的所有倍数（从 i*i 开始）为非素数。

步骤 2：孪生素数判断

目的：判断一个数 x 是否是某对孪生素数的较小数（即 x 和 x+2 都是素数）。
操作：
- 检查条件：x ≤ N-2（保证 x+2 不超范围）、!st[x]（x 是素数）、!st[x+2]（x+2 是素数）。

步骤 3：前缀和数组构建

目的：构建数组 f[N+1]，其中 f[i] 表示 2~i 范围内孪生素数对的总数。
操作：
- 初始化 f[0] = f[1] = 0（小于 2 无素数）；
- 遍历 i 从 2 到 N：
  - 若 i 是孪生素数对的较小数，f[i] = f[i-1] + 1；
  - 否则，f[i] = f[i-1]（总数不变）。

步骤 4：查询处理

目的：对每组查询 [a, b]，快速计算结果。
操作：
- 边界处理：若 a > b-2 或 b ≤ 3，结果为 0（无符合条件的孪生素数对）；
- 正常情况：结果 = f[b-2] - f[a-1]（前缀和差值，即区间 [a, b-2] 内的孪生素数对数量）。

4. 主函数流程

先执行素数筛选和前缀和数组构建（仅执行一次）；
读入查询次数 K，循环处理每组查询，调用查询逻辑并输出结果。

总结

核心思想：用筛法预处理素数 + 前缀和快速查询，将多次查询的时间复杂度从 O (n) 降为 O(1)；
关键逻辑：孪生素数对 (x, x+2) 的统计转化为对 x 的范围判断，再通过前缀和差值计算区间数量；
效率优势：预处理仅需 O (N log log N) 时间，后续每个查询都是 O (1)，适合大数据范围和多组查询场景。

代码

cpp 复制代码

#include<stdio.h>
#include<stdbool.h>
#define ll long long

#define N 5000000

int cnt=0,ans,f[N+1];
bool st[N+1]={false};

void sieve(){
	ll i,j;
	for(i=2;i<=N;i++){
		if(st[i]) continue;
		for(j=i*i;j<=N;j+=i)
			st[j]=true;
	}
}

bool check(int x){
	return (x<=N-2)&&(!st[x])&&(!st[x+2]);
}

void prefix(){
	f[0]=f[1]=0;
	int i;
	for(i=2;i<=N;i++){
		if(check(i)) f[i]=f[i-1]+1;
		else f[i]=f[i-1];
	}
}

void solves(int a,int b){
	if(a>b-2||b<=3) ans=0;
	else ans=f[b-2]-f[a-1];
	printf("%d\n",ans);
}

int main(){
	sieve();
	prefix();
	int K,a,b;
	scanf("%d",&K);
	while(K--){
		scanf("%d%d",&a,&b);
		solves(a,b);
	}
}