线性筛法求解欧拉函数以及欧拉反演

欧拉函数

定义：

1~n中与n互质的数的个数称为欧拉函数，记为 φ ( n ) \varphi(n) φ(n)
φ ( 1 ) = 1 \varphi(1)=1 φ(1)=1
φ ( 2 ) = 1 \varphi(2)=1 φ(2)=1
φ ( 3 ) = 2 \varphi(3)=2 φ(3)=2

性质：

1、若p是质数， φ ( p ) \varphi(p) φ(p)=p-1

2、若p是质数， φ ( p k ) \varphi(p^{k}) φ(pk)= p k − 1 ∗ ( p − 1 ) p^{k-1}*(p-1) pk−1∗(p−1)

性质二解释：
1 , . . . , p , . . . , 2 ∗ p , . . . . . . , p k 1,...,p,...,2*p,......,p^{k} 1,...,p,...,2∗p,......,pk

可以将它们分段处理：

$1,...,p$ ， $p+1,...,2\*p$ ，...

可以发现每一段的大小都是p，所以会有 p k / p p^{k}/p pk/p段，每一段都有(p-1)个，所以答案就是上述的描述

3、积性函数：若gcd(m,n)=1，则 φ ( m n ) = φ ( m ) ∗ φ ( n ) \varphi(mn)=\varphi(m)*\varphi(n) φ(mn)=φ(m)∗φ(n)

计算公式：

总结：

根据推导的公式可以得出欧拉函数只与n和其1~n之间的质数有关

代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int primes[N],cnt=0;
bool vis[N];
int phi[N];
void init(){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(!vis[i])primes[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;i*primes[j]<N;j++){
			vis[i*primes[j]]=true;
			if(i%primes[j]==0){
				phi[i*primes[j]]=primes[j]*phi[i];
				break;
			}
			else{
				phi[i*primes[j]]=(primes[j]-1)*phi[i];
			}
		}
	}
}
void solve(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cout<<phi[i]<<' ';
	cout<<'\n';
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	init();
	int _=1;
	//cin>>_;
	while(_--)solve();
}

欧拉反演

定义：

对于任意的正整数n有：
∑ d ∣ n ϕ ( d ) = n \sum_{d \mid n}\phi(d)=n ∑d∣nϕ(d)=n

n的所有的因数(包含1和n本身)的欧拉函数之和等于n

证明：

应用：

求解 ∑ i = 1 n g c d ( i , n ) \sum_{i=1}^{n}gcd(i,n) ∑i=1ngcd(i,n)的时候可以优化，步骤如下：
g c d ( i , n ) = ∑ d ∣ g c d ( i , n ) ϕ ( d ) gcd(i,n)=\sum_{d|gcd(i,n)}\phi(d) gcd(i,n)=∑d∣gcd(i,n)ϕ(d)

例题：

https://codeforces.com/contest/1900/problem/D

题目思路：

代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int primes[N],cnt=0;
bool vis[N];
int phi[N];
void init(){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(!vis[i])primes[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;i*primes[j]<N;j++){
			vis[i*primes[j]]=true;
			if(i%primes[j]==0){
				phi[i*primes[j]]=phi[i]*primes[j];
				break;
			}
			else{
				phi[i*primes[j]]=phi[i]*(primes[j]-1);
			}
		}
	}
}
void solve(){
	int n;
	cin>>n;
	vector<int>a(n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	sort(a.begin()+1,a.end());
	vector<int>cnt(N);
    int sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j*j<=a[i];j++){
			if(a[i]%j==0){
				sum+=(n-i)*phi[j]*cnt[j];
				cnt[j]++;
				if(j*j!=a[i]){
					sum+=(n-i)*phi[a[i]/j]*cnt[a[i]/j];
					cnt[a[i]/j]++;
				}
			}
		}
	}
	cout<<sum<<'\n';
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	init();
	int _=1;
	cin>>_;
	while(_--)solve();
}