欧拉函数
定义：
1~n中与n互质的数的个数称为欧拉函数，记为 φ ( n ) \varphi(n) φ(n)
φ ( 1 ) = 1 \varphi(1)=1 φ(1)=1
φ ( 2 ) = 1 \varphi(2)=1 φ(2)=1
φ ( 3 ) = 2 \varphi(3)=2 φ(3)=2
性质：
1、若p是质数， φ ( p ) \varphi(p) φ(p)=p-1
2、若p是质数， φ ( p k ) \varphi(p^{k}) φ(pk)= p k − 1 ∗ ( p − 1 ) p^{k-1}*(p-1) pk−1∗(p−1)
性质二解释：
1 , . . . , p , . . . , 2 ∗ p , . . . . . . , p k 1,...,p,...,2*p,......,p^{k} 1,...,p,...,2∗p,......,pk
可以将它们分段处理：
1,...,p，p+1,...,2\*p，...
可以发现每一段的大小都是p，所以会有 p k / p p^{k}/p pk/p段，每一段都有(p-1)个，所以答案就是上述的描述
3、积性函数：若gcd(m,n)=1，则 φ ( m n ) = φ ( m ) ∗ φ ( n ) \varphi(mn)=\varphi(m)*\varphi(n) φ(mn)=φ(m)∗φ(n)
计算公式：
总结：
根据推导的公式可以得出欧拉函数只与n和其1~n之间的质数有关
代码：
cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int primes[N],cnt=0;
bool vis[N];
int phi[N];
void init(){
phi[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++){
if(!vis[i])primes[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;i*primes[j]<N;j++){
vis[i*primes[j]]=true;
if(i%primes[j]==0){
phi[i*primes[j]]=primes[j]*phi[i];
break;
}
else{
phi[i*primes[j]]=(primes[j]-1)*phi[i];
}
}
}
}
void solve(){
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cout<<phi[i]<<' ';
cout<<'\n';
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
init();
int _=1;
//cin>>_;
while(_--)solve();
}欧拉反演
定义：
对于任意的正整数n有：
∑ d ∣ n ϕ ( d ) = n \sum_{d \mid n}\phi(d)=n ∑d∣nϕ(d)=n
n的所有的因数(包含1和n本身)的欧拉函数之和等于n
证明：
应用：
求解 ∑ i = 1 n g c d ( i , n ) \sum_{i=1}^{n}gcd(i,n) ∑i=1ngcd(i,n)的时候可以优化，步骤如下：
g c d ( i , n ) = ∑ d ∣ g c d ( i , n ) ϕ ( d ) gcd(i,n)=\sum_{d|gcd(i,n)}\phi(d) gcd(i,n)=∑d∣gcd(i,n)ϕ(d)
例题：
https://codeforces.com/contest/1900/problem/D
题目思路：
代码：
cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int primes[N],cnt=0;
bool vis[N];
int phi[N];
void init(){
phi[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++){
if(!vis[i])primes[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;i*primes[j]<N;j++){
vis[i*primes[j]]=true;
if(i%primes[j]==0){
phi[i*primes[j]]=phi[i]*primes[j];
break;
}
else{
phi[i*primes[j]]=phi[i]*(primes[j]-1);
}
}
}
}
void solve(){
int n;
cin>>n;
vector<int>a(n+1);
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
sort(a.begin()+1,a.end());
vector<int>cnt(N);
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j*j<=a[i];j++){
if(a[i]%j==0){
sum+=(n-i)*phi[j]*cnt[j];
cnt[j]++;
if(j*j!=a[i]){
sum+=(n-i)*phi[a[i]/j]*cnt[a[i]/j];
cnt[a[i]/j]++;
}
}
}
}
cout<<sum<<'\n';
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
init();
int _=1;
cin>>_;
while(_--)solve();
}