数据结构：树

数据结构：树（Tree）详细解析

一、基本概念

1.1 定义

树是一种非线性 数据结构，由n（n≥0）个节点组成的有限集合：

• 若n=0，称为空树
• 若n>0，则：
  • 有且仅有一个根节点（Root）
  • 其余节点可分为m（m≥0）个互不相交的有限集合 ，每个集合本身又是一棵树，称为根的子树

1.2 重要术语

术语	定义
节点（Node）	树的基本单元，包含数据和指向其他节点的指针
根节点（Root）	树的最顶层节点，没有父节点
父节点（Parent）	当前节点的直接上层节点
子节点（Child）	当前节点的直接下层节点
兄弟节点（Sibling）	具有相同父节点的节点
叶节点（Leaf）	没有子节点的节点（度为0）
内部节点	至少有一个子节点的节点
度（Degree）	节点拥有的子树数量（子节点数）
树的度	树中所有节点度的最大值
层次（Level）	根为第1层，向下递增
深度/高度	树中节点的最大层次
路径	从根到某节点所经过的节点序列
祖先/子孙	从根到某节点的路径上的所有节点是该节点的祖先；反之为其子孙
森林	多棵互不相交的树的集合

二、树的分类

2.1 二叉树（Binary Tree）

定义 ：每个节点最多有两个子节点（左子节点和右子节点），是最基础且应用最广泛的树结构。二叉树在计算机科学中常用于实现搜索、排序等算法。

特殊类型：

1. 满二叉树

   • 所有非叶节点都有两个子节点，形成完美对称结构
   • 所有叶节点都在同一层，具有最大节点数
   • 深度为k的满二叉树有 2^k - 1 个节点（如深度3的满二叉树有7个节点）
   • 典型应用：完全平衡的决策树

2. 完全二叉树

   • 除最后一层外，每层节点数达到最大（即2^{i-1}个节点）
   • 最后一层节点从左向右连续排列，允许缺失右侧节点
   • 适用于数组存储（父子节点可通过下标计算定位）
   • 示例：二叉堆的实现基础

3. 二叉搜索树（BST）

   • 严格遵循：左子树所有节点值 < 根节点值 < 右子树所有节点值
   • 中序遍历结果为升序序列（重要性质）
   • 查找/插入/删除时间复杂度：平均O(log n)，最坏O(n)
   • 变种：支持重复值的BST可定义左子树≤根节点

4. 平衡二叉树（AVL树）

   • 通过平衡因子（左右子树高度差）严格保证不超过1
   • 四种旋转操作（LL/RR/LR/RL）保持平衡
   • 示例：数据库索引需要保证稳定查询效率
   • 优势：最坏情况下仍保持O(log n)操作复杂度

5. 红黑树

   • 通过颜色标记和旋转实现自平衡
   • 五大特性：
     1. 节点是红或黑
     2. 根节点是黑
     3. 所有叶节点(NIL)是黑
     4. 红节点的子节点必须是黑
     5. 从任一节点到其叶节点的路径包含相同数量的黑节点
   • 应用：Java的TreeMap、Linux进程调度

2.2 多叉树

1. B树

   • 每个节点最多包含m个子节点（m阶B树）
   • 键值按序排列，实现高效区间查询
   • 典型应用：文件系统（如NTFS）、MySQL的InnoDB引擎
   • 与B+树对比：B树节点存储数据，可能导致非叶节点访问

2. B+树

   • 改进特点：
     • 数据仅存储在叶节点，非叶节点作为索引
     • 叶节点通过指针连接形成有序链表
     • 更高扇出（更多子节点），降低树高
   • 数据库首选：支持范围查询（如SQL的BETWEEN语句）

3. Trie树（字典树）

   • 典型结构：
     • 根节点表示空字符串
     • 边表示字符
     • 节点标记是否为单词结尾
   • 优势：O(L)时间完成字符串查找（L为字符串长度）
   • 应用案例：搜索引擎自动补全、拼写检查

2.3 特殊树结构

1. 堆（Heap）

   • 存储方式：通常用数组实现，下标关系：
     • 父节点i的左子节点：2i+1
     • 父节点i的右子节点：2i+2
   • 操作示例：
     • 插入：上浮（sift up）
     • 删除：下沉（sift down）
   • 应用场景：Dijkstra算法中的优先队列

2. 线段树

   • 构建方法：
     1. 叶子节点存储原始数据
     2. 非叶节点存储子节点区间合并值（如求和/最大值）
   • 查询示例：求数组[2,5]区间和
   • 优势：支持动态数据的高效区间操作

3. 树状数组（Fenwick Tree）

   • 核心思想：利用二进制低位技术
   • 操作复杂度：
     • 更新/查询：O(log n)
     • 建树：O(n log n)
   • 适用场景：频繁计算前缀和（如股票交易分析）

三、存储结构

3.1 链式存储（最常用）

struct TreeNode {
    int data;
    struct TreeNode* left;
    struct TreeNode* right;
};

3.2 数组存储（完全二叉树）

• 父节点索引：i
• 左子节点：2*i + 1
• 右子节点：2*i + 2
• 父节点：(i-1)/2

3.3 孩子表示法

struct ChildNode {
    int index;
    struct ChildNode* next;
};

struct TreeNode {
    int data;
    struct ChildNode* firstChild;
};

3.4 孩子兄弟表示法

将多叉树转换为二叉树：

• 左指针：指向第一个孩子
• 右指针：指向下一个兄弟

四、遍历算法

4.1 深度优先遍历（DFS）

# 递归实现
def preorder(root):  # 前序：根->左->右
    if root:
        visit(root)
        preorder(root.left)
        preorder(root.right)

def inorder(root):   # 中序：左->根->右
    if root:
        inorder(root.left)
        visit(root)
        inorder(root.right)

def postorder(root): # 后序：左->右->根
    if root:
        postorder(root.left)
        postorder(root.right)
        visit(root)

4.2 广度优先遍历（BFS/层次遍历）

from collections import deque

def level_order(root):
    if not root:
        return
    
    queue = deque([root])
    while queue:
        node = queue.popleft()
        visit(node)
        if node.left:
            queue.append(node.left)
        if node.right:
            queue.append(node.right)

五、重要操作

5.1 查找

• 二叉搜索树查找：O(log n) ~ O(n)
• 平衡二叉树查找：O(log n)
• B树/B+树查找：O(log_m n)，m为阶数

5.2 插入

• 二叉搜索树：找到适当位置插入
• 平衡二叉树：插入后可能需要旋转
• B树：可能分裂节点

5.3 删除

• 叶节点：直接删除
• 有一个子节点：用子节点替代
• 有两个子节点：用前驱或后继替代

5.4 旋转操作（平衡树）

1. 左旋
2. 右旋
3. 左右旋
4. 右左旋

六、复杂度分析

操作	普通二叉树	平衡二叉树	B树/B+树
查找	O(n)	O(log n)	O(log_m n)
插入	O(n)	O(log n)	O(log_m n)
删除	O(n)	O(log n)	O(log_m n)
空间	O(n)	O(n)	O(n)

七、总结与对比

树类型	优点	缺点	适用场景
二叉搜索树	简单直观，中序遍历有序	可能退化为链表	教学、简单应用
AVL树	严格平衡，查找效率高	旋转开销大，插入删除慢	查询密集型
红黑树	近似平衡，插入删除快	实现复杂	综合性能要求高
B树	磁盘友好，适合大数据	内存中不如二叉树	文件系统、数据库
B+树	范围查询高效	内部节点不存数据	数据库索引
Trie树	前缀匹配高效	空间消耗大	字典、自动补全